高教杯数学建模竞赛获奖论文Word下载.docx
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（1）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况
按照设置交巡警服务平台的原则和任务。
a.分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。
b.如果有明显不合理，给出解决方案。
（2）如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件
条件：
a.在案发3分钟后接到报警b.犯罪嫌疑人已驾车逃跑
为了快速搜捕嫌疑犯，给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二.问题一的建模和求解
2.1警察巡逻模型
2.1.1.模型假设
1.某一交通路口节点案件发生与其它交通路口节点案件发生独立
2.警车速度不变
2.1.2定义符号说明：
Dij：
距离矩阵服务平台到达每个路口的最短距离
pij:
交通路口的事故发生频率
dij:
每个路口到最近的服务平台的距离
Wij:
任务量Wij=pijdij从交巡警服务台到达固定一个路口所需时间及此路口事故发生频率的乘积
2.1.3模型建立：
1.用Dijkstra算法计算距离矩阵，并给出对应路径
Dijkstra算法思想为：
设G=（V,E）是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S到v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或∞（若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；
若从源点v到顶点u（uU）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值为顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤
（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
（点标号完全按题所给定的序号）
2.以到达路口时间最短为原则，将路口分配给各交巡警服务平台
整理数据可得到A1~A20个警区分别到编号21~92共72个交通路口的最短距离,可用一个20x72的矩阵表示Dij（其中i表示警区标号，j表示个交通路口节点的标号，Dij表示第i警区到第j路口的最短距离）。
从点出发考虑，离该点的警区哪一个的最短距离最小，该点就为哪个警区所管辖。
对距离归类后得到每个服务平台对应的距离最近的路口标号。
我们考虑到现实生活中，警察不只应该管辖路口处，还应该管辖路口之间的道路，由此我们在分配路口的基础上将各个路段也分配给A1~A20个服务平台。
3.分路：
将两路口之间的路段分配给各服务平台
将每个路口所对应的最近服务平台找到之后，对应所给A区图像中两路口之间的路段情况，进行路段的划分，但是发现存在两种情况的路段无法以最短路径的方法进行划分，于是我们对其进行分类讨论。
a.分配绝对效率路径
按距离分配对于所有的路口都以最短距离为标准分配给服务台，则既包括路径一端是服务台的路径，也包括路径两端都是路口或者都是服务台的情况。
b.绝对效率路径的补充，
如果完全按距离分配结合图1发现即以两路口或者两服务台为端点之间的路段出现了两不管区域，见图1中红色线标注的路段。
这些路径可以分为两类：
（一）双点路径：
路径两端点的路口分属于同一个服务平台的路径
（二）单点路径：
在这两类路径中分为
（1）不需权衡的路径：
不论是按照距离长短分还是事故发生频率分配结果相同
（2）需要权衡的路径
指标a.距离更重要：
按距离分配
指标b.事故发生频率更重要：
按所管辖范围内所有路口的事故发生频率之和分配具体要用哪一个指标来分，可以根据实际情况需要来确定。
2.1.4.模型求解：
1.用Dijkstra算法计算距离矩阵Dij
由于距离矩阵过于庞大，我们只选取其中的一部分作为样板来显示距离矩阵Dij的格式。
表1A区服务平台到达每个路口的最短距离的部分数据（单位：
km）
路口12345678
服务台
101.89873.88394.53529.37439.537511.50039.0226
21.898702.11175.68517.83379.84219.72817.2504
33.88392.111704.04345.72217.73047.61655.1387
44.53525.68514.043404.92005.00237.65678.3273
59.37437.83375.72214.920002.94262.73663.5357
69.53759.84217.73045.00232.942602.76723.5663
711.50039.72817.61657.65672.73662.767202.4777
89.02267.25045.13878.32733.53573.56632.47770
2.进行归类后得出A区每个服务台按照距离最短的原则需要管辖的路口编号表格，见表2
3.结合图像1发现在分别距离两平台最近的两个路口之间的路段出现了两不管区域，见图1中红色线标注的路段，我们以任务量的大小为标准来分配这些路段。
（1）双点路径路径两端点的路口分属于同一个服务平台的路径
（2）单点路径：
按所管辖范围内所有路口的事故发生频率之和分配具体要用哪一个指标来分，可以根据实际情况需要来确定。
例如图1中的服务台A4和服务台A20，62-85这个路径为单点路径。
从表1中我们可以看到编号为62的路口距离A4最近，编号为85的路口距离A20最近，于是A4的管辖范围应包括从服务台到62号路口之间的路段，同样的A20的管辖范围应为服务台到85号路口之间的路段，而62号路口与85号路口之间的路段并未归任何服务台管辖，这样便出现了管辖的盲区。
我们将A4和A20的任务量进行对比发现A4的总任务量较小，则将62-85号路口之间的这段距离分给A4管辖。
表2：
A区服务台对应的路口编号
服务台各服务台所分配的管辖范围路口编号
编号
1697478757371687667
2437044724039
355656654
46263605764
54950535159525658
6
73032474861
83346
935344531
10
112627
1225
1323222421
14
152829
16363738
174142
1883818082
197977
20868589848890879192
（加粗、加斜标注的数字为不能在3分钟内到达）
图1：
A区的未分配路段示意图（红色标注）
2.2最优封堵模型
2.2.1.模型假设
1.假设三岔路口需一个平台的警力封锁，十字路口则需要2个平台的警力才能完全封锁
2.2.2定义符号说明：
Sij：
20个服务平台到15条交通要道路口（包含23、29两个十字路口处的虚拟路口）的矩阵
Xij:
表示第i个服务平台封锁第j个路口Xij=1否则Xij=0（Xij为0-1变量）
i:
表示各服务平台的编号，i=1,2…20
j:
表示15个路口的编号（包含2个虚拟路口），j=1,2…15
2.2.3.模型建立：
突发事故要封锁13条交通要道，且一个平台的警力只能封锁一个路口，根据实际情况和图像分析，假设三岔路口需一个平台的警力封锁，十字路口则需要2个平台的警力才能完全封锁，将十字路口处虚拟为两条个路口，事件简化为14个路口由20个服务平台封锁的综合时间最短问题，引入0-1变量，以14个路口总封锁路程最短为目标函数，利用Lingo软件得出了最优结果。
目标函数Min
约束条件
（即一个点只能由一个警区把守）
（即一个警区只能把守一个点）
=0或1（i=1,2…20,j=1,2…14）
2.2.4.模型求解：
运用Lingo软件编程求得的结果如下：
表3：
封锁14个出入路口相对应的服务平台距离
路口服务平台距离
12120
14140
16160
21911.5391673814779
22113.26955654485436
23130.500000000000000
24108.24363527977290
28154.75184174820669
29810.4931815042301
29610.6458792290618
3070.583095189484530
3823.98218592487403
4852.47582588057466
6240.350000000000000
（此程序及结果见附录）
2.3布局优化模型
2.3.1.定义符号说明：
DSt：
各路口事故响应时间的均衡性（方差）
DSw：
各警察事故发生频率的均衡性（方差）
2.3.2.模型建立
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
1.根据题设中给出的数据，我们可以将影响交巡警服务台设置方案合理性的因素归结为各路口事故响应时间的均衡性（方差）、各服务台任务量的均衡性（方差）、该分配方案坏点的个数（响应时间>
3分钟）并且列出了衡量：
指标1：
指标2：
2.A1~A20作为服务平台不变，从路口21~路口92逐一变为服务平台，得出增加一个平台后A区的服务平台相对应的管辖范围内的路口的DSt和DSw
3.对这72个路口转化为服务台后的指标1和指标2进行排序，选择均衡性好的5个路口作为新增的服务平台位置及个数。
2.3.3．模型求解：
此数据为增加的5个服务台的路口编号，事故频率均衡，相应时间均衡
表4：
A区中增加的服务台
路口编号事故频率均衡相应时间均衡
392.77941.4305
582.80051.4362382.69761.4238482.39931.4010871.99701.4057
三.问题二的建模和求解
3.1针对全市主城六区交巡警服务平台设置方案
3.1.1.模型假设
1.在不增加服务台个数的情况下对六个区的服务平台设置方案进行调整。
2.每个服务台的警力资源相同且每个服务台的警员人数大于等于2.
3.1.2.定义符号说明：
Sn:
为各区域所有服务台总任务量的方差
n=1,2,3,4,5,6分别代表全市A,B,C,D,E,F六个区
3.1.3.模型建立：
按照模型3.1“警察巡逻模型”对A区各个服务台进行管辖范围的分配原则，推广到全市六区，得到全市所有服务台的管辖范围。
结合各个路口点的案发频率，计算出六个区内的所有平台的总任务量。
通过对全市六个区域的每个路口的总任务量，可以分析出每个区的总任务量的方差Sn,以方差为标准来判断其服务平台设置方案是否合理。
3.1.4．模型求解：
表5：
全市六个区A，B，C，D，E，F的编号与总任务量
ABC
编号任务量编号任务量编号任务量
1
7.6872
93
6.3631
166
13.8573
2
12.5447
94
19.4588
167
30.2898
3
6.8258
95
13.9612
168
5.4756
4
6.6571
96
16.5797
169
1.7763
5
10.6986
97
2.3993
171
31.1407
6
98
17.0611
172
4.7535
7
9.1747
99
3.9938
173
26.566
8
2.5436
100
2.8062
174
11.975
9
6.9463
S2
44.5343
175
20.5184
11
3.412
176
8.7136
12
1.9677
177
10.9469
13
12.8385
178
40.118
15
11.2122
179
34.5232
16
2.4222
180
72.3233
17
2.8238
181
19.9198
18
3.2852
182
11.0293
19
1.4412
S3
297.4033
20
12.7697
S1
15.9152
DEF
322
3.23
375
2.3899
485
3.8747
326
3.8106
374
4.3746
484
9.2978
324
5.5786
377
4.5255
483
9.7904
323
8.6718
381
5.8709
481
13.817
327
10.6605
373
10.1869
480
15.778
321
15.5299
378
11.4981
476
16.328
320
23.8092
386
12.2026
482
16.7015
328
30.7532
384
16.905
475
25.0297
S4
87.1398
383
25.9613
479
25.4623
385
28.864
478
37.3229
382
38.3897
477
48.2374
379
45.0943
S6
155.5946
380
64.494
S5
329.6266
3.1.5.解决方案
由模型假设及表计算结果可分析出每个区的服务平台设置方案不合理。
解决方案如下：
1.对全市六个区域中的每一个服务台与其相邻的服务台进行对比，选出总任务量最大的和最小的服务台，分别记为M和m，将M中距离m最近的路口归到m的管辖范围内。
2.然后将调整后的服务台的任务量再进行比较，如果方差大于最大任务量，重复步骤1，知道方差小于最大任务量。
3.从实际情况来说，可以通过在路口处或街道旁树立醒目的警示牌，提醒行人注意安全。
4.将服务台的设备进行升级换代，提高警车的行驶速度。
对警务人员进行培训，增强警员素质。
提高服务平台的工作效率。
3.2围堵方案
3.2.1.基本假设：
1犯罪嫌疑人的车速与警车车速一样快。
2服务平台接到报案就立即就进行围堵
3.2.2.方案建立：
1．在案发3分钟后犯罪嫌疑人可能逃离的最大范围-曲线所包含的范围内（假设犯罪嫌疑人以最短逃离案发地点）
图2：
案发3分钟后犯罪嫌疑人可能逃离的最大范围（曲线所包含的范围内）
步骤一：
在案发3分钟时接到报警就能立即封锁的路口（服务台就位于路口），尽可能的缩小围堵范围
立即进行围堵任务的服务台的编号为A5A6A10A15A16
步骤二：
若犯罪嫌疑人没有通向方案一已封锁的路口，其在案发3分钟后可能出现的最远路段为
36→3946→5545→330→2948→6148→23530→237
能在犯罪嫌疑人到达之前就能封锁的路口（即服务台先于犯罪嫌疑人到达此路口）
46→55服务台A3调向55号路口
45→3服务台A2调向3号路口
48→235服务台A173调向235号路口
30→29服务台A182调向29号路口
步骤三：
方案一与方案二都没有封锁住的路口：
39路口61路口237路口。
因为最近的服务台到达这些路口时，犯罪嫌疑人很可能已经通过了路口，故只能封锁该路口通向的下一个或几个路口。
4服务台A4封锁4号路口
3940服务台A17调向40号路口
38561服务台A480调向561号路口
61
60服务台A186封锁60号路口
236235
237247246245
238293服务台A186封锁60号路口
鉴于236路口与235路口只有0.5千米246路口与245路口只有0.9千米，
两路口间相聚不远，警车能在一分钟内到达，而且在这些路口附近范围内警力小，故让C173在236路口与235路口来回巡逻，让C171在246路口与245路口来回巡逻。
四.参考文献
[1]张志勇、杨祖樱等，《MATLAB教程》，北京:
北京航空航天大学出版,2006。
[2]胡运权，《运筹学基础及应用》，北京:
高等教育出版社,2004。
[3]姜启源、谢金星、叶俊,《数学模型》，北京:
高等教育出版社,2003。
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