最新高三教案高考第一轮复习86圆锥曲线的应用 精品.docx

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8.6圆锥曲线的应用

●知识梳理

解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.

●点击双基

1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为

A.mB.2mC.4.5mD.9m

解析：

建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2Py（P>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），

∴4=2p×2.∴p=1.∴x2=－2y.

当y0=－3时，得x18=6.

∴水面宽为2|x0|=2.

答案：

B

2.某抛物线形拱桥的跨度是20m，拱高是4m，在建桥时每隔4m需用一柱支撑，其中最长的支柱是

A.4mB.3.84mC.1.48mD.2.92m

解析：

建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0），由题意知其过定点（10，－4），代入x2=－2py，得p=.

∴x2=－25y.当x0=2时，y0=，∴最长支柱长为4－|y0|=4－=3.84（m）.

答案：

B

3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是

A.椭圆B.圆

C.双曲线的一支D.抛物线

解析：

设旗杆高为m，华表高为n，m＞n.旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+（m2－n2）a2=0.

答案：

B

4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是____________cm.

解析：

设抛物线方程为y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，

∴900=2p×40.∴p=.∴=.因此，光源到反射镜顶点的距离为cm.

答案：

5.在相距1400m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3s，已知声速340m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.

解析：

设M（x，y）为曲线上任一点，

则|MA|－|MB|=340×3=1180<1400.

∴M点轨迹为双曲线，且a==510，

c==700.

∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190.

∴M点轨迹方程为－=1.

答案：

－=1

●典例剖析

【例1】设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离.

剖析：

本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：

由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：

只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样把问题就转化为求a，c或a－c.

解：

建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为+=1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）.

作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m，

故由椭圆的第二定义可得

m=（－c），①

m=（－c+m）.②

两式相减得m=·m，∴a=2c.

代入①，得m=（4c－c）=c，

∴c=m.∴a－c=c=m.

答：

彗星与地球的最近距离为m万千米.

评述：

（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c.

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.

思考讨论

椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？

怎样证明？

提示：

利用焦半径易求得最大值为a+c，最小值为a－c.

【例2】某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如下图所示）.已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工.

剖析：

首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：

（1）沿AP到P较近；

（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远.

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜.

于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50.

从而发现第三类点M满足性质：

点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.

解：

以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则

｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，

∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50.

在△PAB中，由余弦定理得

｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，且50＜｜AB｜.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0）.

∵

2a=50，

4c2=17500，

c2=a2+b2，

解之得

a2=625，

b2=3750.

∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.

评述：

（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.

（2）应用分类思想解题的一般步骤：

①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.

【例3】根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过的a的最小整数值.

剖析：

根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2m（即在横断面上距拱口中点2m）处隧道的高度是否够3m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.

解：

如下图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x2=－2p（y－），

∵点A（－，0）在抛物线上，

∴（－）2=－2p（0－），得p=.

∴抛物线方程为x2=－a（y－）.

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得

22=－a（y－），y=.

由题意，令y＞3，得＞3，

∵a＞0，∴a2－12a－16＞0.

∴a＞6+2.

又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，….

答：

满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14m.

评述：

本题的解题过程可归纳为两步：

一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.

●闯关训练

夯实基础

1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为mkm，远地点为nkm，地球的半径为Rkm，则通信卫星运行轨道的短轴长等于

A.2

B.

C.2mn

D.mn

解析：

由题意

－c=m+R，①

+c=n+R，②

∴c=，

2b=2

=2.

答案：

A

2.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线对称轴1m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是

A.2.5mB.4m

C.5mD.6m

解析：

以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为

y=a（x－1）2+2，P点坐标为（0，1），

∴1=a+2.∴a=－1.

∴y=－（x－1）2+2.

令y=0，得（x－1）2=2，∴x=1±.

∴水池半径OM=+1≈2.414（m）.

因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）.

答案：

C

3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）.在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为____________.

解析：

玻璃球的轴截面的方程为

x2+（y－r）2=r2，由

得y2+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）2=0，得r=1.

x2=2y，

x2+（y－r）2=r2，

答案：

0＜r≤1

4.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航.

解析：

建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0）.

将点（4，－5）代入求得p=.

∴x2=－y.

将点（2，y1）代入方程求得y1=－.

∴+|y1|=+=2（m）.

答案：

2

5.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12m，镜深2m，

（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；

（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.

解：

（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.

由已知，得A点坐标是（2，6），

设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

则36=2p×2，p=9.

所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，

焦点坐标是F（，0）.

（2）∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长.

|AF|==（或|AF|=+2=）.

故每根铁筋的长度是6.5m.

6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5cm，灯丝距顶面距离为2.8cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?

试求这个曲线方程.

分析：

由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.

解：

采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是