K12学习版高中数学 第二章 平面向量导学案 新人教A版必修4Word文档格式.docx

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同第一步方法作出＝b，一定要保证方向相同且长度相等.（此处最易错的是把作成与b的方向相反.）

第三步：

作，即连接OB，在B处打上箭头，即为a＋b.

作图如下：

（2）第一步：

在平面上a，b位置之外任取一点O；

依照前面方法过O作＝a，＝b；

连接AB，在A处加上箭头，向量即为a－b.

点评　向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；

向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.

作法2　（应用平行四边形法则）

在平面上任取一点A，以点A为起点作＝a，

＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则＝a＋b，＝a－b.作图如下：

点评　向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.

向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作＝b，可实际上作的是＝－b.只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.

2　向量线性运算的应用

平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.

一、化简

例1化简下列各式：

（1）（2－）－（－2）；

（2）[3（2a＋8b）－6（4a－2b）].

解　

（1）（2－）－（－2）

＝2－－＋2＝2＋＋＋2

＝2（＋）＋（＋）＝2＋＝.

（2）[3（2a＋8b）－6（4a－2b）]

＝（6a＋24b－24a＋12b）＝（－18a＋36b）

＝－a＋b.

点评　向量的基本运算主要有两个途径：

一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；

二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.

二、求参数

例2如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.

解析　如图，因为＋＋＝0，

即＝－（＋），

即＝＋，

延长AM，交BC于D点，

所以D是BC边的中点，所以＝2，

所以＝，所以＋＝2＝3，

所以m＝3.

答案　3

点评　求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值.

三、表示向量

例3如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用向量a，b表示、、、、.

解　因为DE∥BC，＝，

所以＝＝b，＝－＝b－a，

由△ADE∽△ABC，得＝＝（b－a），

又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，

所以＝＝（b－a），

＝＋＝a＋＝a＋（b－a）＝（a＋b）.

点评　用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.

3　平面向量的基本定理应用三技巧

技巧一　构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则用来求解.

例1　在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量.

解　∵B，P，M共线，

∴存在常数s，使＝s，

则＝＋.

即＝＋

＝a＋b.①

同理，存在常数t，使＝t，

则＝a＋b.②

∵a，b不共线，∴，

解之得，∴＝a＋b.

点评　这里选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.

技巧二　构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解.

例2　如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.

（1）用a、b表示；

（2）已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：

＋＝1.

（1）解　设＝ma＋nb，则

＝（m－1）a＋nb，＝－a＋b.

∵点A、M、D共线，∴与共线，

∴（m－1）－（－1）×

n＝0，∴m＋2n＝1.①

而＝－＝（m－）a＋nb，＝－a＋b.

∵C、M、B共线，∴与共线，

∴－n－（m－）＝0.∴4m＋n＝1.②

联立①②可得m＝，n＝，

∴＝a＋b.

（2）证明　＝（－p）a＋b，＝－pa＋qb，

∵与共线，

∴（－p）q－×

（－p）＝0.

∴q－pq＝－p，即＋＝1.

点评　这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.

技巧三　将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式（e1，e2不共线），根据λ1＝λ2＝0来求解.

例3　如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示.

解　∵＝＋，＝＋，

∴（＋）＋2（＋）＋3＝0，

∴＋3＋2＋3＝0，

又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，

∴＝λ，＝μ，

∴λ＋3＋2＋3μ＝0，

∴（λ＋2）＋（3＋3μ）＝0.

而，为不共线向量，∴

∴λ＝－2，μ＝－1.∴＝－＝.

故＝＋＝2＝2p.

点评　这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e1＋λ2e2＝0的形式来求解.

4　直线的方向向量和法向量的应用

直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.

一、直线的方向向量

1.定义

设P1，P2是直线l：

Ax＋By＋C＝0上的不同两点，那么向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，若P1（x1，y1），P2（x2，y2），则的坐标为（x2－x1，y2－y1）；

特别当直线l与x轴不垂直时，即x2－x1≠0，直线的斜率k存在时，那么（1，k）是它的一个方向向量；

当直线l与x轴平行时，方向向量可为（1，0）；

而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为（－B，A）.

2.应用

（1）求直线方程

例1　已知三角形三顶点坐标分别为A（2，－3），B（－7，9），C（18，9），求AB边上的中线、高线方程以及∠C的内角平分线方程.

解　①求中线方程

由于＝（－25，0），＝（－16，－12），那么AB边上的中线CD的方向向量为＋＝（－41，－12），

也就是，因而直线CD的斜率为，

那么直线CD的方程为y－9＝（x－18），

整理得12x－41y＋153＝0.

②求高线方程

由于kAB＝＝－，

因而AB的方向向量为，

而AB边上的高CE⊥AB，

则直线CE的方向向量为，

那么高线CE的方程为y－9＝（x－18），

整理得3x－4y－18＝0.

③求∠C的内角平分线方程

＝（－1，0），＝，

则∠C的内角平分线的方向向量为

＋＝，也就是，

因而内角平分线CF的方程为y－9＝（x－18），

整理得x－3y＋9＝0.

点评　一般地，经过点（x0，y0），与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程是A（x－x0）＋B（y－y0）＝0；

与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程是B（x－x0）－A（y－y0）＝0.

（2）求直线夹角

例2　已知l1：

x＋3y－15＝0与l2：

y－3mx＋6＝0的夹角为，求m的值.

解　直线l1的方向向量为v1＝（－3，1），

直线l2的方向向量为v2＝（1，3m），

∵l1与l2的夹角为，

∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝，

化简得18m2＋9m－2＝0.解得m＝－或m＝.

点评　一般地，设直线l1：

y＝k1x＋b1，其方向向量为v1＝（1，k1），直线l2：

y＝k2x＋b2，其方向向量为v2＝（1，k2），当1＋k1k2＝0时，两直线的夹角为90°

；

当1＋k1k2≠0时，设夹角为θ，则cosθ＝＝；

若设直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，其方向向量为（－B1，A1），直线l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，其方向向量为（－B2，A2），那么cosθ＝.

二、直线的法向量

直线Ax＋By＋C＝0的法向量：

如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v，则n·

v＝0，从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝（B，－A），则由于n·

v＝0，于是可取n＝（A，B）.

（1）判断直线的位置关系

例3　已知直线l1：

ax－y＋2a＝0与直线l2：

（2a－1）x＋ay＋a＝0.

（1）若l1⊥l2，求实数a的值；

（2）若l1∥l2，求实数a的值.

解　直线l1，l2的法向量分别为n1＝（a，－1），n2＝（2a－1，a），

（1）若l1⊥l2，则n1·

n2＝a（2a－1）＋（－1）×

a＝0，解得a＝0或a＝1.∴a＝0或1时，l1⊥l2.

（2）若l1∥l2，则n1∥n2，∴a2－（2a－1）×

（－1）＝0.解得a＝－1±

，且＝－≠2.∴a＝－1±

时，l1∥l2.

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝（A1，B1），n2＝（A2，B2），当n1⊥n2，即A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2，反之亦然；

当n1∥n2，即A1B2－A2B1＝0时，l1∥l2或l1与l2重合.

（2）求点到直线的距离

例4　已知点M（x0，y0）为直线l：

Ax＋By＋C＝0外一点.

求证：

点M（x0，y0）到直线l的距离d＝.

证明　设P（x1，y1）是直线Ax＋By＋C＝0上任一点，n是直线l的一个法向量，不妨取n＝（A，B）.则M（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d等于向量在n方向上投影的长度，如图所示.

d＝||·

|cos〈，n〉|

＝

＝.

∵点P（x1，y1）在直线l上，

∴Ax1＋By1＋C＝0，∴Ax1＋By1＝－C，

∴d＝.

点评　同理应用直线的法向量可以证明平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与直线l2：

Ax＋By＋C2＝0（A2＋B2≠0且C1≠C2）的距离为d＝.

证明过程如下：

设P1（x1，y1），P2（x2，y2）分别为直线l1：

Ax＋By＋C1＝0，直线l2：

Ax＋By＋C2＝0上任意两点，取直线l1，l2的一个法向量n＝（A，B），则＝（x2－x1，y2－y1）在向量n上的投影的长度，就是两平行线l1、l2的距离.

d＝|||cos〈，n〉|＝

＝＝.

5　向量法证明三点共线

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.

典例　已知＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1.求证：

A、B、C三点共线.

思路　通过向量共线（如＝k）得三点共线.

证明　如图，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ，则＝λ＋μ＝（1－μ）＋μ.∴－＝μ（－），

∴＝μ，

∴A、B、C三点共线.

思考　1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O具有灵活性；

2.反之也成立（证明略）：

若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质；

3.特别地，λ＝μ＝时，＝（＋），点B为的中点，揭示了△OAC中线OB的一个向量公式，应用广泛.

应用举例

例1　如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.利用向量法证明：

M、N、C三点共线.

思路分析　选择点B，只须证明＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.

证明　由已知＝＋，又点N在BD上，且BN＝BD，得＝＝（＋）＝＋.

又点M是AB的中点，

∴＝，即＝2.∴＝＋.

而＋＝1.∴M、N、C三点共线.

点评　证明过程比证明＝m简洁.

例2　如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与AB相交于E，求证：

BE＝BA.

思路分析　可以借助向量知识，只需证明：

＝，而＝＋，又O、D、E三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λ＋μ＝1，使＝λ＋μ，从而得到与的关系.

证明　由已知条件，＝＋，又B、E、A三点共线，可设＝k，则

＝k＋k，①

又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，

使＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.

又＝，

∴＝λ＋μ，②

根据①②得解得

∴＝，∴BE＝BA.

点评　借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.

6　平面向量中的三角形“四心”问题

在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍：

1.重心

三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有＋＋＝0或＝（＋＋）（其中P为平面任意一点）.反之，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心.在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则有x＝，y＝.

例　已知△ABC内一点O满足关系＋2＋3＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值.

解　如图，延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1.

则＝2，＝3.

由条件，得＋＋＝0，

∴点O是△AB1C1的重心.

从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝S，其中S表示△AB1C1的面积.

∴S△COA＝S，S△AOB＝S，S△BOC＝S△B1OC＝×

S△B1OC1＝S.

于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶＝1∶2∶3.

点评　本题条件＋2＋3＝0与三角形的重心性质＋＋＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.

引申推广　已知△ABC内一点O满足关系λ1＋λ2＋λ3＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.

2.垂心

三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则·

＝·

或2＋2＝2＋2＝2＋2.反之，若·

，则H是△ABC的垂心.

3.内心

三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有||·

＋||·

＝0.反之，若||·

＝0，则点I是△ABC的内心.

4.外心

三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则（＋）·

＝（＋）·

＝0或||＝||＝||.反之，若||＝||＝||，则点O是△ABC的外心.