224全章热门考点整合应用Word文档格式.docx
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a，b与图象的关系
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）
A．a＞0B．b＜0
C．3a＋b＞0D．b＞－2a
8．如果抛物线y＝
x2＋（n＋2）x－5的对称轴是直线x＝－
，则（3m－2n）2－
的值为________．
a，c与图象的关系
9．二次函数y＝（3－m）x2－x＋n＋5的图象如图所示，试求
＋
－|m＋n|的值．
a，b，c与图象的关系
10．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是（ ）
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝－
，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋c＝0
C．b＝2a D．4a＋c＝2b
专训2 求二次函数解析式的常见类型
求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以使解题过程简便．
由函数的基本形式求解析式
利用一般式求二次函数解析式
1．【2016·
黔南州】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C（0，－6），与x轴的一个交点坐标是A（－2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移
个单位长度，当y<
0时，求x的取值范围．
利用顶点式求二次函数解析式
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是（ ）
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋6
3．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－6）．求这个二次函数的解析式．
利用交点式求二次函数解析式
4．已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（－4，0）两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．
利用平移式求二次函数解析式
5．【2015·
绥化】把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式是______________．
6．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的解析式为y＝x2－2x－3.
（1）b＝________，c＝________；
（2）求原函数图象的顶点坐标；
（3）求两个图象顶点之间的距离．
利用对称轴法求二次函数解析式
7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是________________．
8．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．
灵活运用方法求二次函数的解析式
9．已知抛物线的顶点坐标为（－2，4），且与x轴的一个交点坐标为（1，0），求抛物线对应的函数解析式．
由函数图象中的信息求解析式
10．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的解析式是（ ）
A．y＝x2－x－2
B．y＝－
x2－
x＋2
C．y＝－
x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
11．【2015·
南京】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：
元）、销售价y2（单位：
元）与产量x（单位：
kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？
最大利润是多少？
由表格信息求解析式
12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（ ）
x
－1
1
ax2
ax2＋bx＋c
8
3
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋8
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
…
－
y
－2
则该二次函数的解析式为______________．
几何应用中求二次函数的解析式
14．【2016·
安顺】某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（ ）
（第14题）
实际问题中求二次函数解析式
15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2.
（1）求S与x之间的函数解析式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
专训 二次函数图象信息题的四种常见类型
利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键．
根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1．【2015·
孝感】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：
①abc＜0；
②
＞0；
③ac－b＋1＝0；
④OA·
OB＝－
.其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
利用二次函数的图象比较大小
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1<
x2<
1，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1≤y2 B．y1＜y2
C．y1≥y2 D．y1＞y2
利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集
3．【中考·
黄石】二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜－1B．x＞3
C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3
4．【中考·
阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A（－1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．
根据抛物线的特征确定其他函数的图象
5．【中考·
聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是（ ）
6．如图，A（－1，0），B（2，－3）两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
全章热门考点整合应用
二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合．有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：
一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；
二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；
三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力．其主要热门考点可概括为：
一个概念，一个性质，两个关系，三个应用，两个技巧，三种思想．
一个概念——二次函数的定义
1．已知函数y＝（m＋3）xm²
+4m-3＋5是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
一个性质——二次函数的图象与性质
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值
B．图象的对称轴是x＝
C．当x＜
时，y随x的增大而减小
D．当－1＜x＜2时，y＞0
两个关系
抛物线的位置与二次函数各项系数的关系
3．【2015·
安顺】如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0；
②2a＋b＝0；
③a＋b＋c＞0；
④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二次函数与一元二次方程的关系
4．已知关于x的函数y＝（a2＋3a＋2）x2＋（a＋1）x＋
的图象与x轴总有交点．
（1）求a的取值范围；
（2）设函数的图象与x轴有两个不同的交点，分别为A（x1，0），B（x2，0），当
＝a2－3时，求a的值．
三个应用
最大面积的应用
安徽】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，y有最大值？
最大值是多少？
“抛物线”形几何应用
6．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距（A与B间的距离）为6m，到地面的距离AO和BD均为0.9m，身高为1.4m的小丽站在距点O的水平距离为1m的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（不考虑自变量的取值范围）
（2）如果小华站在O，D之间，且离点O的距离为3m，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
（3）如果身高为1.4m的小丽站在O，D之间，且离点O的距离为tm，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围．
7．某跳水运动员进行10m高台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10
m，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式．
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是
（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3
m，问此次跳水会不会出现失误？
生活实际应用
8．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月销售利润最大？
最大月销售利润是多少？
（3）当每件商品的售价定为多少元时，月销售利润恰好是1920元？
9．【2015·
黔南州】为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（km/h）是车流密度x（辆/km）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0km/h；
当车流密度为20辆/km时，车流速度为80km/h.研究表明：
当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/km时的车流速度．
（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40km/h且小于60km/h，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/h）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：
车流量＝车流速度×
车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．
两个技巧
巧用二次函数求几何最值
10．如图，线段AB的长为2，点C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求DE长的最小值．
巧用二次函数设计方案
11．某市“建立社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；
购置滴灌设备的费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；
另外种植每公顷蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．
（1）某基地的菜农共修建大棚x公顷，当年收益（扣除修建和种植成本后）为y万元，写出y关于x的函数解析式．
（2）除种子、化肥、农药投资只能当年使用外，其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大，收益就越大？
如果不是，修建面积为多少时可以获得最大收益？
请帮助工作组为基地修建大棚提一项合理化的建议．
三种思想
数形结合思想
12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置如图，则点P（a，bc）在第________象限．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中不正确的是________．
①ac>
0；
②当x>
1时，y随x的增大而减小；
③b－2a＝0；
④x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根．
分类讨论思想
14．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B.
（1）求此二次函数的解析式和点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点P，使得△PAB为等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
方程思想
15．【2016·
安徽】如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．
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