第110讲 材料力学六新版文档格式.docx

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V、M图如图（d）、（e）所示。

[例5—6—2]写出图示梁的剪力方程和弯矩方程，井作剪力图和弯矩图。

[解]1．求支座反力

故所求的支座反力正确。

2．分段建立剪力方程和弯矩方程

3．作剪力图和弯矩图

根据AC段，CB段剪力方程绘制剪力图

AC段V为常量，故y图为水平线。

CB段V为一次函数，因而y图为斜直线：

只需确定两个截面V值。

根据AC段，CB段弯矩方程绘制弯矩图

AC段M为一次函数，因而M图为一斜直线，只需确定两个截面M值。

CB段M为二次抛物线，只少要确定三个截面M值，然后用光滑曲线连起来。

抛物线顶点在V=2qa-qx=0处

x=2a

[例5－6－3]根据弯矩、剪力和荷载集度间的关系作图5－6－6所示梁的剪力图和弯矩图。

[解]首先求支座反力（悬臂梁可以不求）

Rb=4kN（↑）MB=4kNm（顺时针）

根据q、V、M关系作V、M图通常步骤为

1．分段根据梁上荷载不连续点（集中力，集中力偶作用处，分布荷载起讫点）为界点。

2．定形根据各段荷载情况，定出V、M图形状。

3．定控制截面V、M值

用截面法

或用积分关系式

本例题的分段和定V、M形状情况见下表。

有关控制截面值确定如下：

V图AC段定两个控制截面值

CB段定一个控制截面值

Vc=已求出

M图AC段只少定三个控制截面值

因为A截面处V=0，M有极值，即为抛物线顶点。

CB段只要定二个控制截面值

因C截面作用有集中力偶，故M图有突变

第七节弯曲应力

弯曲正应力正应力强度条件

（一）纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。

（二）中性层与中性轴

中性层杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。

中性轴中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。

中性轴位置当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。

中性层的曲率杆件发生平面弯曲时，中性层（或杆轴）的曲率与弯矩间的关系为

式中ρ为变形后中性层（或杆轴）的曲率半径；

EI2为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的中性轴。

（三）平面弯曲杆件横截面上的正应力

分布规律正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力，如图5—7—1（a）。

计算公式

任一点应力

最大应力

式中M为所求截面的弯矩，Iz为截面对中性轴的惯性矩，Wz为抗弯截面系数。

Wz是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量。

对于矩形截面：

对于圆形截面：

其余Wz按式Wz＝Iz/ymax计算。

讨论：

1，公式适用于线弹性范围、且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等情况。

2．在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面；

横力弯曲时，由于剪应力的存在，横截面发生翘曲，但精确研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比L／h>

5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。

（四）梁的正应力强度条件

强度条件梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即

注意，当梁内σtmax≠σcmax，且材料的[σt]≠[σc]时，梁的拉伸与压缩强度均应得到满足。

弯曲剪应力剪应力强度条件

（一）矩形截面梁的剪应力

两个假设：

1．剪应力方向与截面的侧边平行。

2．沿截面宽度剪应力均匀分布（见图5—7—2）。

式中V为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩，Sz*为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。

最大剪应力发生在中性轴处

（二）其他常用截面图形的最大剪应力

工字型截面

式中d为腹板厚度，

工字型钢中，Iz/

可查型钢表。

圆形截面

环形截面

最大剪应力均发生在中性轴上。

（三）剪应力强度条件

梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即

式中Vmax为全梁的最大剪力；

为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；

b为横截面在中性轴处的宽度；

Iz为整个横截面对中性轴的惯矩。

三、梁的合理截面

梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。

由弯曲正应力强度条件

，可知，在截面积A一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。

因此就Wz／A而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。

此外对于[σt]=[σc]的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。

对于[σt]≠[σc]的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面如T形、门形等，使最大拉

应力σtmax和最大压应力σcmax一同时达到[σt]和[σc]，如图5—7—3所示。