吉林省延吉市金牌教育中心届高三数学一轮复习 基础知识课时作业四十三Word格式.docx
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②反例:
正方体共顶点的三个平面两两垂直,故为假命题.③m∥α,n∥α,m和n可能平行、相交或异面,故为假命题.所以①④为真命题,故选C.
4.已知α,β,γ是三个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列命题一定正确的是( D )
A.若l⊥α,l∥β,则α∥β
B.若γ⊥α,γ⊥β,则α∥β
C.若l∥m,且l⊂α,m⊂β,l∥β,m∥α,则α∥β
D.若l,m异面,且l⊂α,m⊂β,l∥β,m∥α,则α∥β
A选项中α∥β或α⊥β;
B选项中α∥β或α与β相交;
C选项中α与β可能平行也可能相交,故D选项正确,关键在于l与m异面.
5.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题
①
⇒a∥b ②
⇒a∥b ③
⇒α∥β
④
⇒α∥β ⑤
⇒α∥a ⑥
⇒α∥a
A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④
①④正确,②错在a、b可能相交或异面.③错在α与β可能相交.⑤⑥错在a可能在α内.
6.下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( A )
A.①②B.①④C.②③D.③④
由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.
二、填空题
7.若α、β是两个相交平面,点A不在α内,也不在β内,则过点A且与α和
β都平行的直线有且只有________条.
据题意如图,要使过点A的直线m与平面α平行,则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行,同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行,则推出n∥k,由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行,即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可,显然这样的直线有且只有一条.
答案:
1
8.设α、β、γ为三个不同的平面,m、n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;
②m∥γ,n∥β;
③n∥β,m⊂γ.
①或③
9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
6
三、解答题
10.
如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°
,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°
.
证明:
平面PAB与平面PCD的交线平行于底面.
设面PAB与面PCD的交线为l.
因为AB∥CD,AB不在面PCD内,所以AB∥面PCD.
又AB⊂面PAB,面PAB与面PCD的交线为l,所以AB∥l.
由直线AB在底面内而l在底面外可知,l与底面平行.
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1、A1D1的中点,E、F分别为B1C1、C1D1的中点.
(1)求证:
四边形BDEF是梯形;
(2)求证:
平面AMN∥平面EFDB.
(1)连接B1D1.
在△B1D1C1中,E、F分别是B1C1、C1D1的中点,
∴EF綊
B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD綊B1D1.
BD.∴四边形BDFE是梯形.
(2)在△A1B1D1中,M、N分别为A1B1、A1D1的中点,
∴MN∥B1D1,由
(1),知EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM綊A1D1,
而正方体的侧面ADD1A1为正方形,∴AD綉A1D1,
∴FM綊AD,∴四边形ADFM为平行四边形,∴AM∥DF.
又∵AM∩MN=M,DF∩FE=F,
∴平面AMN∥平面EFDB.
12.如图,三棱柱ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧
棱A1A⊥底面ABC,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB.
当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
解:
如图,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.
∵侧棱A1
A⊥底面ABC,
∴侧面A1ACC1⊥底面ABC,
∴OM⊥底面ABC.
又∵EC=2FB,∴OM∥FB綊
EC,
∴四边形OMBF为矩形,
∴BM∥OF,
又∵OF⊂面AEF,BM⊄面AEF.
故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.
[热点预测]
13.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.
(1)求该多面体的体积与表面积;
GN⊥AC;
(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.
(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,
AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为
a3.
表面积
为
a2×
2+
a2
+a2+a2=(3+
)a2.
(2)证明:
连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点,知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,
∴FD⊥平面ABCD.
∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.
又DN∩FD=D,∴AC⊥平面FDN.
又GN⊂平面FDN,∴GN⊥AC.
(3)点P与点A重合时,GP∥平面FMC.
取FC的中点H,连接GH,GA,MH.
∵G是DF的中点,∴GH綊
CD.
又M是AB的中点,∴AM綊
∴GH∥AM且GH=AM.
∴四边形GHMA是平行四边形.
∴GA∥MH.
∵MH⊂平面FMC,GA⊄平面FMC,
∴GA∥平面FMC,即当点P与点A重合时,GP∥平面FMC.
课时作业(四十四)
1.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的( A )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
l⊥α,α∥β则l⊥β,又m∥β,所以l⊥m;
l⊥α,l⊥m则m⊂α或m∥α,又m∥β,所以α∥β或α与β相交,所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件,选A.
2.设O是空间一点,a,b,c是空间三条直线,α,β
是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( C )
A.当a∩b=O且a⊂α,b⊂α时,若c⊥a,c⊥b,则c⊥α
B.当a∩b=O且a⊂α,b⊂α时,若a∥β,b∥β,则α∥β
C.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥β
D.当b⊂α时,且c⊄α时,若c∥α,
则b∥c
b⊂α且α⊥β,若α∩β=l,b⊥l,则b⊥β,所以b⊂α,若α⊥β,则b⊥β,不正确,选C.
3.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为( B )
A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β
由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此平行于平面β,因此A正确,B不正确.根据面面垂直的性质定理知,选项C、D正确.
4.已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A )
A.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β
B.若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β
C.若m⊥α
,n∥β,且m⊥n,则α⊥β
D.若m⊥α,n∥β,且m∥n,则α∥β
m⊥α,m⊥n,那么n⊂α或n∥α,①当n⊂α时,若n⊥β,则α⊥β,②当n∥α时,则平面α内存在一条直线l∥n,若n⊥β,则l⊥β,所以有α⊥β,综合可知,m⊥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥β正确,选A.
5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为
,底面是边长为
的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( B )
A.
B.
C.
D.
设三棱柱的高为h,则
×
(
)2×
h=
,解得h=
.设三棱柱中底面ABC的中心为Q,则PQ=
,AQ=
=1.在Rt△APQ中,∠PAQ即为直线PA与平面ABC所成的角,且tan∠PAQ=
,所以∠PAQ=
6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( D )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l,故选D.
7.已知直线l,m,n,平面α,m⊂α,n⊂α,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
若l⊥α,则l垂直于平面α内的任意直线,若l⊥m且l⊥n,但若l⊥m且l⊥n,不能得出l⊥α.
充分不必要
8.给出下列命题:
①若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,所有真命题的序号为________.
根据定理和一些常用结论得:
①、③、④正确.②中没有强调两条直线一定相交,否则就不一定平行.
①③④
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M分别是AD,DD1,D1A
1,A1A,AB的中点,点N在四边形EFGH的四边及其内部运动,则当N只需满足条件________时,就有MN⊥A1C1;
当N只需满足条件________时,就有
MN∥平面B1D1C.
可证A1C1⊥平面EGM,故当N在EG上时,MN⊥A1C.
可证平面MEH∥平面B1CD1,故当N在EH上时,MN∥平面B1D1C.
点N在EG上 点N在EH上
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=
AD=2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°
,点M,N分别是PA,PB的中点.
MN∥平面PCD;
四边形MNCD是直角梯形;
(3)求证:
DN⊥平面PCB.
(1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.
因为CD∥AB,所以MN∥CD.
又CD⊂平面PCD,MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.
(2)因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,
又因为PD⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.
因为MD⊂平面PAD,所以CD⊥MD,
所以四边形MNCD是直角梯形.
(3)因为PD⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,从而∠PAD=60°
在Rt△PDA中,AD=
,PD=
,PA=2
,MD=
在直角梯形MNCD中,MN=1,ND=
,CD=3,CN=
=
,
从而DN2+CN2=CD2,所以DN⊥CN.
在Rt△PDB中,PD=DB=
,N是PB的中点,则DN⊥PB.
又因为PB∩
CN=N,所以DN⊥平面PCB.
11.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
BN⊥平面C1B1N;
(2)设M为AB中点,在BC边上找一点P,使MP∥平面CNB1,并求
的值.
(1)证明:
∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形
∴四边形BB1C1C是矩形,AB⊥BC,AB⊥BB1,BC⊥BB1,
由三视图中的数据知:
AB=BC=4,BB1=C1C=8,AN=4,
∵AB⊥BC,BC⊥BB1,∴BC⊥平面ANBB1,
∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥平面ANBB1,
因此B1C1⊥BN.
在直角梯形B1BAN中,过N作NE∥AB交BB1于E,
则B1E=BB1-AN=4
故△NEB1是等腰直角三角形,
∠B1NE=45°
又AB=4,AN=4,∴∠ANB=45°
因此∠BNB1=90°
,即BN⊥B1N
又B1N∩B1C1=B1,∴BN⊥平面C1B1N.
(2)过M作MR∥BB1,交NB1于R,则MR=
=6,
过P作PQ∥BB1,交CB1于Q,则PQ∥MR,
设PC=a,则
,∴
,即PQ=2a,
由PQ=MR得:
2a=6,∴a=3,
此时,四边形PMRQ是平行四边形,∴MP∥RQ,
∵RQ⊂平面CNB1,MP⊄平面CNB1,
∴MP∥平面CNB1,
12.在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1.
(1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF∥平面ACD,并证明这一事实;
(2)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值.
如图,
(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥ED,
设F为线段CE的中点,H是线段CD的中点,
连接FH,则FH綊
ED,FH綊AB,
∴四边
形ABFH是平行四边形,∴BF∥AH,
BF⊄平面ACD,AH⊂平面ACD,∴BF∥平面ACD;
(2)取AD中点G,连接CG、EG,则CG⊥AD,
又平面ABED⊥平面ACD,∴C
G⊥平面ABED,
∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角,
设为α,则在Rt△CEG中,
有sinα=
13.如图,△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,点P在平面ABC射影为AB的中点D,O是线段CD的中点,∠APC=60°
(1)判断PC与AB是否垂直(不需说明理由);
(2)求PD与平面PBC所成角的正切值;
(3)在PB上是否存在点E,使OE∥平面PAC.若存在,
求出PE的长,若不存在,说明理由.
(1)不垂直
(2)由题意知:
PA=PB=PC=AC=4,OD=DB=
,取BC的中点Q,连接PQ、DQ,则BC⊥DQ,BC⊥PQ,∴BC⊥面PDQ,∴面PDQ⊥面PBC,∴D在面PBC上的射影落在PQ上,则PD与平面PBC所成角即为∠QPD,由于PD=
,DQ=2,PD⊥DQ,故所求角的正切值为
(3)过O作OM∥AB交AC于M,在平面PAB内平面直线AB,使之交PB于E,交PA于N,并使OM=EN,此时MOEN为平行四边形,易知OE∥平面PAC.由于OM是△CAD的中位线,∴PE∶PB=NE∶AB=MO∶AB=1∶4.
又△ABC是直角三角形,CD是斜边上的中线,
PD⊥平面ABC,有△PAD≌△PCD≌△PBD
∴PA=PC=PB,由于∠APC=60°
,△PAC为正三角形,所以PB=PC=AC=4,
∴PE=
PB=1,即在线段PB上存在点E,
当PE=1时,OE∥平面PAC.