走向高考高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题八Word文档格式.docx

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0，n<

0，这时方程mx2＋ny2＝1不表示椭圆，故选B.

5．（文）（2014·

云南景洪市一中期末）点P（2，－1）为圆（x－1）2＋y2＝25内一条弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）

A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0

C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0

[解析]　圆心C（1,0），由条件知PC⊥AB，∴kAB＝－＝1，∴直线AB的方程为y－（－1）＝1×

（x－2），即x－y－3＝0.

银川九中一模）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（　　）

A．（x＋1）2＋（y－1）2＝2B．（x－1）2＋（y＋1）2＝2

C．（x－1）2＋（y－1）2＝2D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

[解析]　设圆心C（x0，－x0），则

＝，

∴x0＝1，∴圆心C（1，－1），半径r＝，

方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

6．（2014·

广东执信中学期中）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（　　）

A.＋＝1或＋＝1

B.＋＝1

C.＋＝1或＋＝1

D.＋＝1或＋＝1

[解析]　由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.

7．（2014·

云南景洪市一中期末）从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为（　　）

A．10B．8

C．6D．4

[解析]　设P（x0，y0），∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±

4，

∴S△MPF＝|PM|·

|y0|＝10.

8．（文）（2014·

河南淇县一中模拟）椭圆＋＝1（a>

b>

0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）

C.D.－2

[解析]　由条件知，|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，

由条件知，（2c）2＝（a－c）·

（a＋c），∴a2＝5c2，∴e＝.

抚顺二中期中）在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝（　　）

[解析]　设|AB|＝x>

0，则|BC|＝x，

AC2＝AB2＋BC2－2AB·

BC·

cosB

＝x2＋x2－2x2·

（－）＝x2，∴|AC|＝x，

由条件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，

∴x＋x＝2a，x＝2c，∴c＝＝＝＝.

9．（2014·

威海期中）已知变量x，y满足约束条件则z＝的最大值为（　　）

[解析]　不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，z＝表示平面区域内的点P（x，y）与原点连线的斜率，∴kOA≤≤kOB，

∵kOA＝＝－，kOB＝，故－≤≤，选B.

10．（文）（2014·

山东省博兴二中质检）已知双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（　　）

C．2D．2

[解析]　∵抛物线y2＝4x的焦点（，0）为双曲线的右焦点，∴c＝，

又＝，结合a2－b2＝c2，得e＝，故选B.

浙北名校联盟联考）过双曲线－＝1（a>

0）上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，若·

＝2b2，则该双曲线的离心率为（　　）

[解析]　由条件知，双曲线两渐近线方程为y＝±

x，设P（x0，y0），则－＝1，∴x－＝a2，

由y＝y0与y＝±

x得M（－，y0），N（，y0），

∵·

＝（－－x0,0）·

（－x0,0）＝x－＝a2＝2b2，

又b2＝c2－a2，∴3a2＝2c2，∴e＝＝.

11．（2014·

山西曲沃中学期中）已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A．5－4B.－1

C．6－2D.

[解析]　⊙C1的圆心C1（2,3），半径r＝1，⊙C2的圆心C2（3,4），半径R＝3，

设E为x轴上任一点，EC1交⊙C1于A，EC2交⊙C2于B，则|EA|＋|EB|＝|EC1|＋|EC2|－4为E到⊙C1与⊙C2上的点的距离之和的最小值，而|EC1|＋|EC2|的最小值为|C1′C2|（其中C1′为C1关于x轴的对称点），∴当P为直线C1′C2：

7x－y－17＝0与x轴的交点（，0）时，|PM|＋|PN|取到最小值，|PC1|＋|PC2|－4＝＋－4＝＋－4＝5－4，故选A.

12．（2014·

海南省文昌市检测）设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（　　）

A．4B．8

C．24D．48

[解析]　由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>

|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2|＝10，

∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．）

13．（2014·

西安市长安中学期中）已知椭圆x2＋ky2＝3k（k>

0）的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．

[答案]　

[解析]　抛物线的焦点为F（3,0），椭圆的方程为：

＋＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴离心率e＝＝.

14．（2014·

浙北名校联盟联考）已知直线l与圆O：

x2＋y2＝1在第一象限内相切于点C，并且分别与x，y轴相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．

[答案]　2

[解析]　设A（a,0），B（0，b），则a>

0，

l：

＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，

∵l与⊙O相切，∴＝1，∴a2＋b2＝a2b2，

∵a2＋b2≥2ab，∴（a2＋b2）2≥4a2b2＝4（a2＋b2），

∴a2＋b2≥4，∴≥2，即|AB|的最小值为2.

15．（文）（2013·

泗阳县模拟）两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率为________．

[解析]　∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，

∴解得a＝5，b＝4，

∴双曲线方程为－＝1，∴c＝＝，

∴双曲线－＝1的离心率e＝＝.

抚顺市六校联合体期中）已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．

[答案]　（1,1＋）

[解析]　∵双曲线关于x轴对称，∴A、B两点关于x轴对称，∴|F2A|＝|F2B|，△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B为锐角⇔∠AF2F1<

45°

⇔|AF1|<

|F1F2|，

∵F1（－c,0），∴A（－c，），即|AF1|＝，

又|F1F2|＝2c，

∴<

2c，∴c2－2ac－a2<

0，∴e2－2e－1<

∴1－<

e<

1＋，

∵e>

1，∴1<

1＋.

16．（2014·

山西曲沃中学期中）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1,1）的距离，记点P的轨迹为曲线W.

（1）给出下列三个结论：

①曲线W关于原点对称；

②曲线W关于直线y＝x对称；

③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；

其中，所有正确结论的序号是________；

（2）曲线W上的点到原点距离的最小值为________．

[答案]　

（1）②③　

（2）2－

[解析]　由条件知：

|x|＋|y|＝，

两边平方得，|xy|＝－x－y＋1，

当xy≥0时，xy＝－x－y＋1，∴y＝＝－1，

当xy<

0时，－xy＝－x－y＋1，

∴（x－1）（y－1）＝0，∴x＝1（y<

0）或y＝1（x<

0），

∴曲线W如图所示．

由图易知：

W的图象关于直线y＝x对称，关于原点不对称，W与x轴、y轴非负半轴围成图形的面积S<

×

1×

1＝，

由得x＝y＝－1，∴A（－1，－1）到原点距离d＝为W上点到原点距离的最小值．

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）（2014·

广东执信中学期中）已知两点M（－1,0）、N（1,0），点P为坐标平面内的动点，满足||·

||＝·

.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）若点A（t,4）是动点P的轨迹上的一点，K（m,0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋（y－2）2＝4的位置关系．

[解析]　

（1）设P（x，y），则＝（2,0），＝（x－1，y），＝（x＋1，y）．

∵||·

，

∴2＝2（x＋1），化简得y2＝4x.

所以动点P的轨迹方程为y2＝4x.

（2）由A（t,4）在轨迹y2＝4x上，则42＝4t，解得t＝4，即A（4,4）．

当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时直线AK与圆x2＋（y－2）2＝4相离．当m≠4时，直线AK的方程为y＝（x－m），即4x＋（m－4）y－4m＝0.

圆x2＋（y－2）2＝4的圆心（0,2）到直线AK的距离d＝，

令d＝<

2，解得m<

1；

令d＝＝2，解得m＝1；

令d＝>

2，解得m>

1.

综上所述，当m<

1时，直线AK与圆x2＋（y－2）2＝4相交；

当m＝1时，直线AK与圆x2＋（y－2）2＝4相切；

当m>

1时，直线AK与圆x2＋（y－2）2＝4相离．

18．（本小题满分12分）（文）（2014·

山东省博兴二中质检）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

[解析]　

（1）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0）．

故可设圆C的圆心为（3，t），则有32＋（t－1）2＝

（2）2＋t2，解得t＝1.

则圆C的半径为3.

∴圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程2x2＋（2a－8）x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>

0.

从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①

由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，

又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，

所以2x1x2＋a（x1＋x2）＋a2＝0.②

由①②得a＝－1，满足Δ>

0，故a＝－1.

北京西城区期末）已知A，B是抛物线W：

y＝x2上的两个点，点A的坐标为（1,1），直线AB的斜率为k，O为坐标原点．

（1）若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；

（2）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

[解析]　

（1）抛物线y＝x2的焦点为（0，）．

由题意得直线AB的方程为y－1＝k（x－1），

令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点（0,1－k）．

因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，

所以1－k>

，解得k<

（2）由题意，设B（x1，x），C（x2，x），D（x3，y3），

联立方程消去y得x2－kx＋k－1＝0，由韦达定理得1＋x1＝k，所以x1＝k－1.

同理，得AC的方程为y－1＝－（x－1），x2＝－－1.

对函数y＝x2求导，得y′＝2x，

所以抛物线y＝x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y－x＝2x1（x－x1），即y＝2x1x－x.

同理，抛物线y＝x2在点C处的切线CD的方程为y＝2x2x－x.

联立两条切线的方程解得x3＝＝（k－－2），y3＝x1x2＝－k，

所以点D的坐标为（（k－－2），－k）．

因此点D在定直线2x＋y＋2＝0上．

因为点O到直线2x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以|OD|≥，当且仅当点D（－，－）时等号成立．由y3＝－k＝－，得k＝，验证知符合题意．所以当k＝时，|OD|有最小值.

19．（本小题满分12分）（文）（2014·

韶关市曲江一中月考）设椭圆C：

＋＝1（a>

0）过点（0,4），离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求过点（3,0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

[解析]　

（1）将点（0,4）代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，

又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）过点（3,0）且斜率为的直线方程为y＝（x－3），

设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y＝（x－3）代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为（－3）＝－，即所截线段的中点坐标为（，－）．

康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.

（2）设直线l经过点M（0,1），且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．

[解析]　

（1）设椭圆方程为＋＝1，（a>

∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝，

∴所求椭圆方程为＋＝1.

（2）由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx＋1，则由消去y得（3＋4k2）x2＋8kx－8＝0，且Δ>

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴

由＝2得x1＝－2x2，

∴消去x2得（）2＝，

解得k2＝，∴k＝±

所以直线l的方程为y＝±

x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

20．（本小题满分12分）（文）（2014·

浙北名校联盟联考）已知椭圆C：

0）的焦点为F1（－1,0），F2（1,0），且经过点P（1，）．

（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

[解析]　

（1）∵c＝1，＝，a2＝b2＋c2，

∴a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），

设直线l的方程为x＝my－1，

由消去x得：

（3m2＋4）y2－6my－9＝0，

由条件知Δ>

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，

∴AB的中点为（－，），

∵四边形AMBF2为平行四边形，

∴AB的中点与MF2的中点重合，

即∴M（－，），

把点M的坐标代入椭圆C的方程得：

27m4－24m2－80＝0，解得m2＝，

∴存在符合条件的直线l，其方程为：

y＝±

（x＋1）．

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模）已知椭圆C：

0）的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过右焦点F作斜率为－的直线l交曲线C于M、N两点，且＋＋＝0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？

若共圆，求出圆心坐标和半径；

若不共圆，请说明理由．

[解析]　

（1）由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2，

∵直线x－y＋＝0与圆相切，∴d＝＝b，即b＝1，

又e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a＝，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

（2）∵直线l过点F（1,0），且斜率为k＝－，

∴l的方程为y＝－（x－1）．

联立方程组消去y得2x2－2x－1＝0.

设M（x1，y1）、N（x2，y2），可得

于是

又＋＋＝0，得＝（－x1－x2，－y1－y2），

即H（－1，－），

而点G与点H关于原点对称，于是可得点G（1，）．

∴kGH＝.

若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：

y－＝（x－），l2：

y＝－x.

联立方程组解得l1和l2的交点为O1（，－）．

因此，可求得|O1H|＝＝，

|O1M|＝＝.

所以M、G、N、H四点共圆，且圆心坐标为O1（，－），半径为.

21．（本小题满分12分）（文）（2014·

绵阳市南山中学检测）已知椭圆C：

0）经过（1,1）与（，）两点．

（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：

＋＋为定值．

[解析]　

（1）将（1,1）与（，）两点坐标代入椭圆C的方程得，解得

（2）由|MA|＝|MB|知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．

①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时

＋＋＝＋＋＝2（＋）＝2.

同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，此时

②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx（k≠0），

则直线OM的方程为y＝－x，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由解得x＝，y＝，

∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，

同理|OM|2＝，

所以＋＋＝2×

＋＝2，故＋＋＝2为定值．

浙江台州中学期中）已知焦点在y轴上的椭圆C1：

＋＝1经过点A（1,0），且离心率为.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）过抛物线C2：

y＝x2＋h（h∈R）上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．

[解析]　

（1）由题意可得解得a＝2，b＝1，

所以椭圆C1的方程为x2＋＝1.

（2）设P（t，t2＋h），由y′＝2x知，抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′|x＝t＝2t，所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h，代入椭圆方程得4x2＋（2tx－t2＋h）2－4＝0，

化简得4（1＋t2）x2－4t（t2－h）x＋（t2－h）2－4＝0，

又MN与椭圆C1有两个交点，

∴Δ＝16[－t4＋2（h＋2）t2－h2＋4]>

0，①

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点G的横坐标为x0，则

x0＝＝，

设线段PA的中点H横坐标为x3＝，

∵GH与y轴平行，∴x0＝x3，即＝，②

显然t≠0，∴h＝－（t＋＋1），③

当t>

0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3不符合①式，故舍去；

当t<

0时，（－t）＋（－）≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．

综上，h的最小值为1.

22．（本小题满分14分）（文）（2014·

长沙市重点中学月考）已知椭圆C：

0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为.

（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；

若不存在，说明理由．

[解析]　

（1）设F（c,0），当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，

∴O到l的距离为＝，

由已知得，＝，∴c＝1.

由e＝＝，得a＝，∴b＝＝.

∴所求椭圆C的方程为＋＝1.

（2）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1＋x2，y1＋y2），

由

（1），知C的方程为＋＝1.

由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：

x＝ty＋1.

由消去x并化简整理得，（2t2＋3）y2＋4ty－4＝0.

由韦达定理，得y1＋y2＝－，

∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t（y1＋y2）＋2

＝－＋2＝，

∴P（，－）．

∵点P在C上，∴＋＝1，

化简整理得，4t4＋4t2－3＝0，即（2t2＋3）（2t2－1）＝0，解得t2＝.

当t＝时，P（，－），l的方程为x－y－＝0；

当t＝－时，P（，），l的方程为x＋y－＝0.

故C上存在点P（，±

），使＝＋成立，此时l的方程为x±

y－＝0.

西安市长安中学期中）已知椭圆C：

0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P（4,0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点．

（2）求·

的取值范围．

[解析]　

（1）由条件知e＝＝，b＝，

∴a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.

（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－4），

由消去y得：

（4k2＋3）x2－32k2x＋64k2－12＝0，

由Δ＝（－32k2）2－4（4k2＋3）（64k2－12）>

0得：

k2<

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1＋x2＝，x1x2＝，

∴y1y2＝k（x1－4）k（x2－4）＝k2x1x2－4k