初二奥赛培训01因式分解Word格式文档下载.docx

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5．（3分）下列因式分解的变形中，正确的是（　　）

x2﹣（a+1）x+a2=（x﹣1）（x﹣a）

y2+（a2+b2）•y+a2b2=（y+a2）（y+b2）

（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=（x﹣1）（x﹣2）（x+4）（x﹣1）

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）

6．（4分）在代数式

（1）4x2﹣4x+1，

（2）m2+mn+n2，（3）64n2+1中是完全平方式的是　_________　．

7．（4分）若：

2x2+ax﹣9被2x﹣3除后余3，则商式是　_________　，且a=　_________　．

8．（4分）在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为　_________　cm2．

9．（4分）（1﹣

）（1﹣

）┅（1﹣

）=　_________　．

10．（4分）已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数　_________　整除．

三、解答题（共5小题，满分65分）

11．（13分）分解因式：

．

12．（13分）已知三角形的三条边a，b，c适合等式：

a3+b3+c3=3abc，请确定三角形的形状．

13．（13分）已知：

三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数．

14．（13分）已知：

2x﹣3和3x+1是f（x）=ax3+bx2+32x+15的因式，求a，b的值．

15．（13分）证明：

（1）若n为整数，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是8的倍数；

（2）若n为正整数时，n3﹣n的值必是6的倍数；

（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数．

初二奥赛培训01：

因式分解

参考答案与试题解析

考点：

因式分解的意义．1552088

专题：

因式分解．

分析：

依据因式分解的定义：

将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．对A、B、C、D四个选项进行求解．

解答：

解：

将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式．

只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法．

故选B．

点评：

此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：

：

①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；

②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；

如果多项式有两项应思考用平方

差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；

如果多项式超过三项应思考用完全平方公式

法；

③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．

因式分解-提公因式法．1552088

按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正．

A、公因式是﹣7，应为﹣7ab﹣14+49aby=﹣7（ab+2﹣7aby），错误；

B、公因式是﹣xmyn﹣1，应为﹣3xmyn+xm+1yn﹣1=﹣xmyn﹣1（3y﹣x），错误；

C、提公因式法，正确；

D、公因式是x（x﹣y），应为xy（x﹣y）﹣x（y﹣x）=x（x﹣y）（y+1），错误．

故选C．

本题考查提公因式法分解因式．准确确定公因式是求解的关键．

提公因式法与公式法的综合运用．1552088

A中可用立方差公式，B中可用平方差公式，C中可用完全平方公式，D中可用提取公因式，利用以上方法即可因式分解，但必须注意结果要彻底．

A、应为1﹣8（a+b）3=（1﹣2a﹣2b）（1+2a+2b+4a2+8ab+4b2），故本选项错误；

B、应为（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2，故本选项错误；

C、应为8a﹣4a2﹣4=﹣4（a﹣1）2，故本选项错误；

D、提取公因式，正确．

故选D．

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底．

提公因式法与公式法的综合运用；

去括号与添括号．1552088

利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确．

A、（a﹣1）（b+1）=ab+a﹣b﹣1≠ab﹣a+b+1；

故本选项错误．

B、4xy+1﹣4x2﹣y2=1﹣（4x2﹣4xy+y2）=1﹣（2x﹣y）2=（1+2x﹣y）（1﹣2x+y）≠（1+2x﹣y）（1﹣2x﹣y）；

C、（a﹣b）（3﹣x）=3a﹣ax﹣3b+bx≠3a﹣3b+3x﹣bx；

D、﹣4xy+1﹣4x2﹣y2=1﹣（4x2+4xy+y2）=1﹣（2x+y）=（1+2x+y）（1﹣2x﹣y）；

故本选项正确．

本题考查了分组分解法，分组分解法就是把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

因式分解-十字相乘法等．1552088

利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，再逐个检验．

A、假设x2﹣（a+1）x+a2=（x﹣1）（x﹣a）成立，进一步化简可得a2=a，所以，不正确；

B、假设

成立，右式=6m2+5m+1，可见左式≠右式；

C、y2+（a2+b2）•y+a2b2=（y+a2）（y+b2）符合十字相乘法的条件．

D、（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=[（x2﹣3x）﹣4][（x2﹣3x）+2]=（x﹣4）（x+1）（x﹣2）（x﹣1），可见左式≠右式

故选C

利用十字相乘法进行因式分解，对于多项式中次数较多的可多次使用十字相乘法．

6．（4分）在代数式

（1）4x2﹣4x+1，

（2）m2+mn+n2，（3）64n2+1中是完全平方式的是　

（1）　．

完全平方式．1552088

计算题．

若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解，依次验证即可得出答案．

若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解．

而

（1）式=（2x﹣1）2是完全平方式．

而

（2）不能用公式法进行因式分解，故不是完全平方公式．

而（3）也不能用公式法进行因式分解，故也不是完全平方公式．

故答案为：

（1）．

本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是根据代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解．

2x2+ax﹣9被2x﹣3除后余3，则商式是　x+4　，且a=　5　．

带余除法．1552088

先根据由二项系数为2可知商式的一次项系数为1，故可设商式为x+b，再根据题意列出方程即可求出a、b的值．

观察二次项系数可知商式的一次项系数为1，设为x+b

（2x﹣3）（x+b）+3=2x2+（2b﹣3）x﹣3b+3=2x2+ax﹣9

故2b﹣3=a，

﹣3b+3=﹣9，

解得a=5，b=4．

故商式是x+4，且a=5．

x+4，5．

本题考查的是带余数的除法，先根据题意判断出商式的一次项系数是最关键的问题．

8．（4分）在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积为　110　cm2．

因式分解的应用．1552088

根据正方形的面积公式，即可得到剩下部分的面积可表示为12.752﹣7.252，再利用平方差公式分解求值比较简单．

12.752﹣7.252，

=（12.75+7.25）（12.75﹣7.25），

=20×

5.5，

=110．

110．

本题考查了平方差公式分解因式，运用平方差公式计算更加简便．

）=　

　．

有理数的混合运算．1552088

规律型．

1﹣

=（1+

）=

×

；

同理可得：

=

，…，1﹣

，根据此条件即可解答．

原式=

…×

利用平方差公式把每个因式进行分解，注意到各个因式的特点是解决本题的关键．

10．（4分）已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数　7、11或13　整除．

数的整除性．1552088

设出六位数为

，用十进制表示出结果，提公因式分组分解，找出公有的因数，再进一步分解质因数即可求得问题的答案．

依题意，设所求的站位数为：

，a，b，c均为自然数，

则

=a×

105+b×

104+c×

103+a×

102+b×

10+c，

=103（a×

10+c）+（a×

10+c）

=（a×

10+c）（103+1）

=1001（100a+10b+c），

∵1001=7×

11×

13，

∵a，b，c为自然数，

∴100a+10b+c为自然数，

∴7

，

故填7、11或13．

此题主要考查利用十进制、分组分解因式以及分解质因数研究数的整除性．

（1）利用十字相乘法，先进行第一步分解，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．

（2）利用配方进行分解因式即可．

（3）将﹣4ab分成﹣2ab和﹣2ab，然后凑成两个完全平方式，进而套用因式分解的完全平方公式进行进一步分解即可．

（4）先分组，分别进行因式分解，然后再提取公因式即可．

（5）先按降幂排列，然后变形，最后提取公因式．

（6）先去括号，合并同类项，然后分组，提取公因式．

（7）先变形，然后把（a2+a）看作一个整体，利用十字相乘法进行因式分解即可．

（8）利用反数法进行分解即可．

（1）十字相乘法：

原式=（x2+3）（x+1）（x﹣1）

（2）配方法：

原式=（x2﹣2x+3）（x2+2x+3）

（3）配方法：

原式=1﹣a2﹣b2+a2b2﹣4ab

（4）原式=x2+2x﹣3﹣xy+y

（5）法1：

原式=a2+a2+2a+1+a4+2a3+a2

法2：

原式=a2+a2+2a+1+（a2+a）2

（6）法1：

原式=（m3+3m2n+2mn2+n3）+2mn﹣2m2n﹣2mn2﹣1

原式=（m+n）3﹣13+2mn（1﹣m﹣n）

（7）原式=（a2+a）2+3（a2+a）+2﹣12

（8）反数法：

原式=12（x4+1）+89x2﹣56（x3+x）

本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，先考虑提取公因式，再对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．

立方公式．1552088

根据a3+b3+c3﹣3abc+a3+b3+c3﹣3abc配方后的式子可得出a2+b2+C2﹣ab﹣ac﹣bc=0，然后再配方根据非负性即可判断出三角形的形状．

解，依题意：

a3+b3+c3=3abc，

而a3+b3+c3﹣3abc+a3+b3+c3﹣3abc

∵a，b，c为三角形的三边长，

∴a+b+c＞0，

∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，

∴只有（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，

∴a=b=c，即三角形为等边三角形．

本题考查立方公式的应用，难度较大，注意掌握立方公式的特点是解答本题的关键．

一元二次方程的应用．1552088

数字问题．

设出这三个奇数，根据它们的平方和为251列方程解答即可．

设这三个奇数依次为n﹣2，n，n+2，其中n为自然数，则n＞2，则依题意列方程得，

（n﹣2）2+n2+（n+2）2=251，3n2=243，n2=81，

∴n=9或n=﹣9，

当n=9时，n﹣2=7，n+2=11；

当n=﹣9时，n﹣2=﹣11，n+2=﹣7；

答：

这三个连续奇数为7、9、11或﹣7、﹣9、﹣11．

此题考查利用连续奇数的特点，列方程解决实际问题．

待定系数法．

（1）用多项式除法观察余数

（2）运用待定系数法．首先假设该多项式分解后的因式为（2x﹣3）（3x+1）（mx+n），再利用展开后x的各次项系数对应相等，依次解得n、m、b、a的值．

若（2x﹣3）和（3x+1）都是f（x）=ax2+bx2+32x+15的因式，

则（2x﹣3）（3x+1）=6x2﹣7x﹣3能整除f（x）．

解法1：

利用多项式与多项式的大除法：

∴

∴a=6且b=﹣37

即：

f（x）=bx3﹣37x2+32x+15=（2x﹣3）（3x+1）（x﹣5）

解法2：

f（x）=（2x﹣3）（3x+1）（mx+n）

∴n=﹣5，m=1，b=﹣37，a=6

即f（x）=（2x﹣3）（3x+1）（x﹣5）=6x3﹣37x2+32x+15

本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是同学们彻底明白待定系数的意义，并能做到灵活运用．

证明题．

（1）运用完全平方式展开后合并，可得含有8的式子，从而可得出结论；

（2）先将式子因式分解，然后讨论三因式的奇偶性，从而可证得结论；

（3）先设出这四个自然数，先后表示出它们的积和1的和，从而化简配方即可得出结论．

证明：

（1）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n

∵n为整数，∴8|8n．

即8|（2n+1）2﹣（2n﹣1）2命题得证；

（2）n3﹣n=n（n2﹣1）=（n﹣1）n（n+1）

∵n为正整数，（n+1）和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，

所以，2|n（n+1）；

而（n﹣1），n，（n+1）是连续3个整数，

必有一个是3的倍数，所以3|（n﹣1）n（n+1），

即6|（n﹣1）n（n+1）．命题得证．

（3）设这四个连续自然数依次为n﹣2，n﹣1，n，n+1，

其中n＞2且n为自然数，则依题意：

（n﹣2）（n﹣2）n（n+1）+1

=（n﹣2）（n+1）（n﹣1）n+1

=（n2﹣n﹣2）（n2﹣n）+1

=（n2﹣n）2﹣2（n2﹣n）+1

=（n2﹣n﹣1）2，

因为n为自然数，所以n2﹣n﹣1必为整数，即命题得证．

本题考查数的整除性问题，比较经典，注意掌握证明整除的一般方法，即想办法得到含有此因式的式子．

参与本试卷答题和审题的老师有：

王金铸；

0232；

73zzx；

mengcl；

zhjh；

CJX；

lf2-9；

心若在；

leidan；

workholic；

HJJ；

mrlin（排名不分先后）

菁优网

2014年2月24日