中考数学特殊四边形专题复习导学案.docx

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中考数学特殊四边形专题复习导学案

2017年中考数学特殊四边形专题复习导学案

2017年中考数学专题练习23《特殊四边形》

【知识归纳】

一、矩形

1.定义：

有一个角是的平行四边形叫做矩形

2.性质

（1）矩形的四个角都是；

（2）矩形的对角线互相平分并且

（3）矩形是一个轴对称图形，它有条对称轴

3.判定

（1）根据矩形的定义；

（2）有个角是直角的平行四边形是矩形；

（3）对角线的平行四边形是矩形

二．菱形

1.定义

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.性质

（1）菱形的四条边；

（2）菱形的对角线互相平分；

（3）每条对角线平分

（4）菱形是对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点

3.判定

（1）根据菱形的定义；

（2）四条边的四边形是菱形；

（3）对角线互相的平行四边形是菱形

三．正方形

1.定义

有一组邻边相等，且有一个角是直角的叫做正方形

2.性质

①正方形对边平行；

②正方形四边；

③正方形四个角都是；

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分；

⑤正方形既是轴对称图形也是图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点

3.判定

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的是正方形；

（3）有一个角是直角的是正方形

【基础检测】

1．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）

A．B．C．1D．

2．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）

A．2B．4C．4D．8

3.（2016•云南昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：

①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（2016•黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．

5.（2013山东烟台）如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为___________.

6.（2013四川雅安）在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若DF＝BF，求证：

四边形DEBF为菱形．

7.（2016•贵州安顺•10分）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

8．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：

BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

【达标检测】

一．选择题

1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE.AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）

A．45°B．55°C．60°D．75°

2．（2016•四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．矩形的对角线相等且互相平分

C．对角线互相平分的四边形是矩形

D．矩形的对角线互相垂直且平分

3.（2016•四川内江）下列命题中，真命题是（）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

4．（2016•四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

5．（2016•四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）

A．B．C．D．

6．（2016•湖北荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）

A．△AFD≌△DCEB．AF=ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF

二．填空题

7.（2016•内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．

8.（2016•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．

9.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．

10.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为.

11.如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为．

三．解答题

12.（2016•黑龙江哈尔滨）已知：

如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

（1）求证：

AP=BQ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

13．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：

BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

14．（2016河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．

（1）求证：

MD=ME；

（2）填空：

①若AB=6，当AD=2DM时，DE=；

②连接OD，OE，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形．

15．（2016•陕西）问题提出

（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？

若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？

若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

【知识归纳答案】

一、矩形

1.定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2.性质

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线互相平分并且相等

（3）矩形是一个轴对称图形，它有2条对称轴

3.判定

（1）根据矩形的定义；

（2）有1个角是直角的平行四边形是矩形；

（3）对角线相等的平行四边形是矩形

二．菱形

1.定义

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.性质

（1）菱形的四条边相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分；

（3）每条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点

3.判定

（1）根据菱形的定义；

（2）四条边相等的四边形是菱形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

三．正方形

1.定义

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

2.性质

①正方形对边平行；

②正方形四边相等；

③正方形四个角都是直角；

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

⑤正方形既是轴对称图形也是中心图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点

3.判定

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）有一个角是直角的菱形是正方形

【基础检测答案】

1．（2016•舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）

A．B．C．1D．

【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．

【解答】解：

过F作FH⊥AE于H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF=CE，

∴DE=BF，

∴AF=3﹣DE，

∴AE=，

∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，

∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，

∴∠DAE=∠AFH，

∴△ADE∽△AFH，

∴，

∴AE=AF，

∴=3﹣DE，

∴DE=，

故选D．

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

2．（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）

A．2B．4C．4D．8

【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．

【解答】解：

连接OE，与DC交于点F，

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，

∵OD∥CE，OC∥DE，

∴四边形ODEC为平行四边形，

∵OD=OC，

∴四边形ODEC为菱形，

∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，

∵DE∥OA，且DE=OA，

∴四边形ADEO为平行四边形，

∵AD=2，DE=2，

∴OE=2，即OF=EF=，

在Rt△DEF中，根据勾股定理得：

DF==1，即DC=2，

则S菱形ODEC=OE•DC