三角形的内角和与外角的性质Word文档格式.docx

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D、10°

9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（　　）

A、至少有两个锐角B、最多有一个直角

C、必有一个角大于60°

D、至少有一个角不小于60°

10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°

，则∠A=（　　）

A、50°

B、40°

C、70°

D、35°

11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（　　）

A、120°

B、180°

C、200°

D、240°

12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（　　）

A、3个B、2个C、1个D、0个

13、如图在△ABC中，∠ABC=50°

，∠ACB=80°

，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（　　）

A、100°

B、110°

C、115°

D、120°

14、以下说法中，正确的个数有（　　）

（1）三角形的内角平分线、中线、高都是线段；

（2）三角形的三条高一定都在三角形的内部；

（3）三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形；

（4）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角．

A、1B、2C、3D、4

15、若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°

，则这个三角形的形状为（　　）

A、锐角三角形B、直角三角形

C、钝角三角形D、等腰三角形

16、已知：

△ABC，现将∠A的度数增加1倍，∠B的度数增加2倍，刚好使∠C是直角，则∠A的度数可能是（　　）

A、75°

C、30°

17、如图，BE、CF是△ABC的角平分线，且∠A=70°

，那么∠BDC的度数是（　　）

A、70°

B、115°

C、125°

D、145°

18、如图，∠ABC=31°

，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（　　）

A、14.5°

B、15.5°

C、16.5°

D、20°

19、（2010•武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°

，∠DAC=30°

，则∠BDC的大小是（　　）

B、80°

D、50°

20、（2010•聊城）如图，l∥m，∠1=115°

，∠2=95°

，则∠3=（　　）

B、130°

C、140°

D、150°

21、（2009•湘西州）如图，l1∥l2，∠1=120°

，∠2=100°

A、20°

C、50°

D、60°

22、（2007•临沂）如图，△ABC中，∠A=50°

，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（　　）

A、130°

B、230°

C、180°

D、310°

23、（2005•吉林）如图，在Rt△ADB中，∠D=90°

，C为AD上一点，则x可能是（　　）

A、10°

B、20°

D、40°

24、（2003•台湾）如图是A、B两片木板放在地面上的情形．图中∠1、∠2分别为A、B两木板与地面的夹角，∠3是两木板问的夹角．若∠3=110°

，则∠2﹣∠1=（　　）

A、55°

B、70°

C、90°

D、l10°

25、（2002•烟台）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=a，则∠A等于（　　）

A、90°

﹣2αB、90°

﹣

﹣2αD、180°

26、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的内部，则（　　）

A、∠A=∠1+∠2B、2∠A=∠1+∠2

C、3∠A=2∠1+∠2D、3∠A=2（∠1+∠2）

27、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°

，∠D=10°

，则∠P的度数为（　　）

A、15°

C、25°

D、30°

28、（2006•黑龙江）如图，AB∥CD，∠A=120°

，∠1=72°

，则∠D的度数为　_________　度．

29、如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D﹦24°

，则∠A﹦　_________　度．

30、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　_________　度．

答案与评分标准

一、选择题（共27小题）

C、75°

考点：

三角形内角和定理。

专题：

计算题。

分析：

根据三角形三内角之和等于180°

求解．

解答：

解：

如图．

∵∠2=60°

，∠3=45°

，

∴∠1=180°

﹣∠2﹣∠3=75°

．

故选C．

点评：

考查三角形内角之和等于180°

C、35°

三角形内角和定理；

平行线的性质。

几何图形问题。

由已知可以推出∠A的同旁内角的度数为120°

，根据三角形内角和定理得∠E=35°

设AE和CD相交于O点

∵AB∥CD，∠A=60°

∴∠AOD=120°

∴∠COE=120°

∵∠C=25°

∴∠E=35°

本题主要考查平行线的性质、三角新股内角和定理，关键看出∠A的同旁内角的对顶角是三角形的一个内角

对顶角、邻补角；

三角形的外角性质。

根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB+∠4+∠6=180°

，即可得出答案．

∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，

∵∠1=∠AOB，

∵∠AOB+∠4+∠6=180°

∴∠1+∠4+∠6=180°

此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．

解二元一次方程组；

对顶角、邻补角。

由∠A+∠B+∠C=180°

，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°

，求出∠B=72°

，根据∠B的外角度数=180°

﹣∠B即可求出答案．

∵∠A+∠B+∠C=180°

∴2（∠A+∠B+∠C）=360°

∵2（∠A+∠C）=3∠B，

∴∠B=72°

∴∠B的外角度数是180°

﹣∠B=108°

本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．

推理填空题。

根据钝角三角形有一内角大于90°

且三角形内角和为180°

，①∠C＞90°

，②∠B＞90°

，分类讨论解答．

∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°

∴∠B+∠C=180°

﹣27°

=153°

又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：

①∠C＞90°

∴∠B＜153°

﹣90°

=63°

∴选项A、B合理；

②∠B＞90°

∴选项D合理，

∴∠B不可能为77°

本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．

C、63°

根据三角形内角和为180°

，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数．

∵AB∥CD，

∴∠A=∠C+∠E，

∵∠E=37°

∴∠A=57°

故选A．

本题考查了三角形内角和为180°

，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难度适中．

角平分线的定义。

利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义计算．

如图：

∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，

∴∠OAB+∠OBA=90°

÷

2=45°

两角平分线组成的角有两个：

∠BOE与∠EOD这两个交互补，

根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°

∴∠EOD=180°

﹣45°

=135°

①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；

②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°

这一隐含的条件；

③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．

C、20°

三角形的外角性质；

翻折变换（折叠问题）。

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'

D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'

D=∠A=50°

，易求∠B=90°

﹣∠A=40°

，从而求出∠A′DB的度数．

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∴∠B=90°

﹣50°

=40°

∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'

D=∠A，

∵∠CA'

D是△A'

BD的外角，

∴∠A′DB=∠CA'

D﹣∠B=50°

﹣40°

=10°

故选D．

本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．

C、必有一个角大于60°

D、至少有一个角不小于60°

可以利用反证的方法来判定各个命题是否正确．

根据三角形的内角和定理，不正确的是：

必有一个角大于60°

因为当三角形是等边三角形时三个角都相等，都是60度．

本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．

C、70°

根据数据线的内角和定理以及角平分线的定义，可以证明．

∠BDC=90°

+

∠A，

故∠A=2（110°

）=40°

故选B．

注意此题中的∠A和∠BDC之间的关系：

∠A．

多边形内角与外角。

根据等边三角形的性质求出∠B、∠C的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠1+∠2的大小．

因为△ABC为等边三角形，

所以∠B+∠C=60°

+60°

=120°

根据四边形内角和为360°

可知∠1+∠2=360°

﹣120°

=240°

此题通过剪切，将四边形的内角和等边三角形的知识结合起来，是一道好题．

A、3个B、2个

C、1个D、0个

在锐角三角形的外角中，有三个钝角；

在直角三角形外角中，有两个钝角；

在钝角三角形外角中，有两个钝角．综上可知，在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．

根据三角形的内角和是180度可知：

三角形的三个内角中最多可有3个锐角，

所以对应的在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有3个．

主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．

（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．

（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°

这一隐含的条件．

13、如图，在△ABC中，∠ABC=50°

C、115°

D、120°

根据三角形内角和定理计算．

∠ABC=50°

BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC=25°

，∠PCB=40°

∴∠BPC=115°

此题主要考查了三角形的内角和定理：

三角形的内角和为180°

A、1B、2

C、3D、4

三角形的角平分线、中线和高。

分别根据三角形的内角平分线、中线、高的定义及三角形内角和定理进行逐一判断即可．

（1）正确，符合三角形的内角平分线、中线、高的定义；

（2）错误，当三角形为直角三角形或钝角三角形时不成立；

（3）正确，可根据三角形的中线把原三角形分成的小三角形中，一个小三角形与原三角形同底但高为原三角形的一半进行证明；

（4）正确，根据三角形的内角和定理即可证明．

本题涉及面较广，涉及到三角形内角平分线、中线、高的定义及性质、三角形内角和定理，涉及面较广但难度适中．

如图，CD，BD分别是∠ACB，∠ABC的角的平分线，∠D=145°

．要判断△ABC的形状，需算出△ABC中内角的度数．

在△BCD中，∠1+∠2+∠D=180°

∴∠1+∠2=180°

﹣145°

=35°

∵∠1=

∠ACB，∠2=

∠ABC，

∴∠ACB+∠ABC=2（∠1+∠2）=70°

∴∠A=180°

﹣（∠ACB+∠ABC）=110°

∴△ABC的形状为钝角三角形．

本题先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2=35°

，再根据角的平分线的性质求出∠ACB+∠ABC的值，再次利用三角形内角和定理求出∠A的度数，从而判断三角形的形状为钝角三角形．

C、30°

根据三角形内角和定理判断．

A、当∠A为75°

时，∠A的度数增加1倍，变为150°

，∠C不可能是直角；

B、当∠A为60°

时，∠A的度数增加1倍，变为120°

C、当∠A为30°

，∠B为10°

时，∠A的度数增加1倍为60°

，∠B的度数增加2倍为30°

，∠C刚好是直角；

D、当∠C为45°

时，∠A的度数增加一倍，变为90°

，∠C不可能是直角．

本题有一定的开放性，需要对各条件进行验证和猜想，各角之和符合三角形内角和定理．

根据三角形的内角和定理和∠A的度数求得另外两个内角的和，利用角平分线的性质得到这两个角和的一半，用三角形内角和减去这两个角的一半即可．

∵∠A=70°

∴∠ABC+∠ACB=180°

﹣∠A=180°

﹣70°

=110°

∵BE、CF是△ABC的角平分线，

∴∠EBC+∠FCB=

（∠ABC+∠ACB）=55°

∴∠BDC=180°

﹣55°

=125°

本题考查了三角形的内角和定理，此定理对学生来说比较熟悉，但有时运用起来却不很熟练，难度较小．

C、16.5°

设∠BAC=2x°

，根据三角形外角的性质得：

∠BCE=（x+

）°

，然后根据AE平分∠BAC和外角的性质得∠E+x=x+

，解得：

∠E=15.5°

则根据三角形外角的性质得：

∠BCD=（2x+31）°

∵∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，

∴∠EAC=x°

，∠ECD=（∠E+x）°

∵∠ECD是△AEC的外角，

∴∠ECD=∠E+∠EAD，

即：

∠E+x=x+

解得：

本题综合考查了三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，解题时设出了一个中介值，从而使运算方便．

如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA=DB=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°

，∠ECD=∠DAC=30°

，进而得出结果．

延长BD交AC于E．

∵DA=DB=DC，

∴∠ABE=∠DAB=20°

又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°

∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，

∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°

+50°

+30°

=100°

本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠4，再求出∠2的邻补角∠5，然后利用三角形外角性质即可求出∠3．

∵l∥m，∠1=115°

∴∠4=180°

﹣∠1=180°

﹣115°

=65°

又∠5=180°

﹣∠2=180°

﹣95°

=85°

∴∠3=∠4+∠5=65°

+85°

=150°

本题利用平行线的性质和三角形外角的性质求解．

C、50°

先延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，利用两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再利用外角性质求解．

如图，延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，

∵l1∥l2，∠1=120°

=60°

∴∠3=∠2﹣∠4=100°

﹣60°

本题主要考查作辅助线构造三角形，然后再利用平行线的性质和外角性质求解．

根据三角形内角和以及平角定义即可解答．

∵△ABC中，∠A=50°

∴∠AED+∠ADE=130°

∴∠1+∠2=360°

﹣（∠AED+∠ADE）=230°

正确理解三角形的内角和定理是解决本题的关键．

23、（2005