高三数学教案空间向量及其应用复习学案Word文件下载.docx
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长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：
用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量。
说明：
①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与
原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示;
②平面向量仅限于研究同一
平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量运算和运算率
加法交换率：
加法结合率：
数乘分配率：
①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干
向量之和;
②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量（共线向量）：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
平行于记作∥。
注意：
当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，
也可能是平行直线;
当我们说、平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：
对空间任意两个向量（&
ne;
）、，∥的充要条件是存在
实数使=
注：
⑴上述定理包含两个方面：
①性质定理：
若∥（&
0），则有=，
其中是唯一确定的实数。
②判断定理：
若存在唯一实数，使=（&
0），
则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在
（或）上）。
⑵对于确定的和，=表示空间与平行或共线，长度为||，当>
0时与
同向，当⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上
述定理来推导的表达式。
推论：
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那幺对任
一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
①
其中向量叫做直线l的方向向量。
在l上取，则①式可化为②
当时，点P是线段AB的中点，则③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
⑴表示式（﹡）、（﹡﹡）既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数
方程的表示形式;
⑵推论的用途：
解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆
方程。
4.向量与平面平行：
如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在
平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。
注意：
向量∥与直线a
∥的联系与区别。
共面向量：
我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要
条件是存在实数对x、y，使①
与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，
使
④
或对空间任一定点O，有⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。
①式叫做平面MAB
的向量表示式。
又∵代入⑤，整理得
⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不
同的同一等式），点P就在平面MAB内;
对于平面MAB内的任意一点P，都
满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或
不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P
四点共面的充要条件。
5.空间向量基本定理：
如果三个向量、、不共面，那幺对空间任一向
量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使
⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那幺所有空间向量
所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把
{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量;
⑵空间任意三个不共
面向量都可以作为空间向量的一个基底;
⑶一个基底是指一个向量组，一个基
向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念;
⑷由于可视为
与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就
隐含着它们都不是。
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一
的有序实数组，使
6.数量积
（1）夹角：
已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角
&
ang;
AOB叫做向量与的夹角，记作
⑴规定0小于等于小于等于,因而=;
⑵如果=，则称与互相垂直，记作&
perp;
;
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中
的两个向量的夹角不同，
图（3）中&
AOB=，
图（4）中&
AOB=,
从而有==.
（2）向量的模：
表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：
叫做向量、的数量积，记作。
即=，
向量:
（4）性质与运算率
⑴。
⑴
⑵&
=0⑵=
⑶⑶
四.典例解析
题型1：
空间向量的概念及性质
例1.有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，
那幺的关系是不共线;
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那
幺点一定共面;
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个
基底。
其中正确的命题是（）
①②①③②③①②③
解析：
对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那幺
的关系一定共线”;
所以①错误。
②③正确。
点评：
该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为
此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例2.下列命题正确的是（）
若与共线，与共线，则与共线;
向量共面就是它们所在的直线共面;
零向量没有确定的方向;
若，则存在唯一的实数使得;
A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共
线、共面不一样，D中需保证不为零向量。
答案C。
零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问
题有很大用处。
像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。
题型2：
空间向量的基本运算
例3.如图：
在平行六面体中，为与的交点。
若，，，则下列向量中
与相等的向量是（）
显然;
答案为A。
类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。
用
向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的
是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4.已知：
且不共面.若∥,求的值.
解：
∥,,且即
又不共面,
空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3：
空间向量的坐标
例5.
（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充
要条件是（ ）
A.：
||=：
||
B.a1&
bull;
b1=a2&
b2=a3&
b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，&
，则x+y的值是
（ ）
A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1
（3）下列各组向量共面的是（ ）
A.=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B.=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）
C.=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1）
D.=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
（1）D;
点拨：
由共线向量定线易知;
（2）A 点拨：
由题知或;
（3）A 点拨：
由共面向量基本定理可得。
空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取
值情况。
例6.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）。
设=，
=，
（1）求和的夹角;
（2）若向量k+与k-2互相垂直，求k的值.
思维入门指导：
本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即
可得到所要求的结果.
∵A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），=，=，
&
there4;
=（1，1，0），=（-1，0，2）.
（1）cos==-，
和的夹角为-。
（2）∵k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2），
k-2=（k+2，k，-4），且（k+）&
（k-2），
（k-1，k，2）&
（k+2，k，-4）=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0。
则k=-或k=2。
点拨：
第
（2）问在解答时也可以按运算律做。
（+）（k-2）=k22-k&
-2
2=2k2+k-10=0，解得k=-，或k=2。
题型4：
数量积
例7.设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（&
）-（&
）=②||-||④（3+2）（3-2）=9||2-4||2中，是真命题的有
（）
A.①②B.②③C.③④D.②④
答案：
D
①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知||、||、|-|恰为一个三角形的三条边长，由“两边
之差小于第三边”，故②真;
③因为[（&
）]&
=（&
）&
-（&
=0，
所以垂直.故③假;
④（3+2）（3-2）=9&
&
-4&
=9||2-4||2成立.故④真.
本题考查平面向量的数量积及运算律。
例8.
（1）已知向量和的夹角为120度，且||=2，||=5，则（2-）&
=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量=（x1，y1，0），=（x2，y2，0）与向量=（1，
1，1）的夹角都等于。
（1）求x1+y1和x1y1的值;
（2）求的大小（其中0解析：
（1）
答案：
13;
解析：
∵（2-）&
=22-&
=2||2-||&
||&
cos120度
=2&
4-2&
5（-）=13。
（2）解：
（1）∵||=||=1，&
x+y=1，&
x=y=1.
又∵与的夹角为，&
=||||cos==.
又∵&
=x1+y1，&
x1+y1=。
另外x+y=（x1+y1）2-2x1y1=1，&
2x1y1=（）2-1=.&
x1y1=。
（2）cos==x1x2+y1y2，由
（1）知，x1+y1=，x1y1=.&
x1，y1是方程
x2-x+=0的解.
或同理可得或
∵&
，&
或
cos=&
+&
=+=.
∵0小于等于小于等于&
pi;
，&
=。
评述：
本题考查向量数量积的运算法则。
题型5：
空间向量的应用
例9.
（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：
++小于等于4。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用
于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2（3，1，2），求物体合力
做的功。
（1）设=（，，），=（1，1，1），
则||=4，||=.
小于等于||&
||，
=++小于等于||&
||=4.
当==时，即a=b=c=时，取“=”号。
W=F&
s=（F1+F2+F3）&
=14。
若=（x，y，z），=（a，b，c），则由&
||，得
（ax+by+cz）2小于等于（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）.此式又称为柯西不等式（n=3）。
本
题考查||&
ge;
的应用，解题时要先根据题设条件构造向
量，，然后结合数量积性质进行运算。
空间向量的数量积对应做功问题。
例10.如图,直三棱柱中,求证:
证明：
同理
又
设为中点,则
从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空
间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。
五.思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标
运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是
选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i，j，k｝建立坐标系，对于O点
的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要
充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;
空间向量的坐标运算同平面向
量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质
没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。
如向量的数量积
a&
b=|a|&
|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不
同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一
样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟
记。
对本讲内容的考查主要分以下三类：
1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状
等问题。
2.向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间
几何图形的性质。
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。
本讲考题大多数是
课本的变式题，即源于课本。
因此，掌握双基、精通课本是本章关键。
【总结】2013年已经到来，新的一年会为您整理更多更好的文章，希望本
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