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（2）使用的分析方法不正确。

本篇论文的目的是通过对用FRP筋制作的预应力混凝土构件中随时间而定的应变和应力的评估这样一个简单的分析法来强调错误的第二来源。

这种方法满足了平衡性和兼容性的要求，避免了经验公式的使用，一般来说精确的表明了损失。

所用的材料特性的错误可以通过改变输入的材料参数和确定分析结果的上下限来减轻。

为了避免这篇论文产生混淆，采用协定的一致的符号。

轴力N当它受拉时为正。

弯矩M当使横截面的纤维底部受拉时为正，与其相应的曲率也为正。

当受拉时应力σ为正，当拉长时应变ε为正。

向下的变形为正。

由此得出结论，收缩时应变ε为负值。

由于松弛或者是由于徐变，收缩，和松弛的联合作用引起的预应

力钢筋内拉力的损失为负值。

这里所考虑的分析集中在钢筋混凝土截面在垂直方

向混凝土纤维和钢筋层从给定的参考点向下测量的y坐标。

2.FRP预应力筋的松弛

与混凝土和钢筋相似，AFRP预应力筋当遭受到持续的应变时会显示出徐变。

CFRP筋表现出的徐变是可以忽略的，在大多数实际应用中都被忽略。

当预应力筋在两点之间被拉长时，它将会产生持续的应变。

因为徐变，随着时间的推移筋内的应力会减少以保持恒定的应变。

这种应力的减少被认为是固有松弛Δσpr。

当钢筋受到的应力低于屈服应力的50%时，不会呈现出可感知的松弛，对AFRP筋的测试表明在很低的应力作用下它们会产生松弛。

AFRP筋的松弛水平取决于许多因素，包括周围环境的温度，外界因素（例如，空气，碱度，酸度或者是盐含量），初应力σp0与极限强度fpu的比，还有初始应力之后的时滞。

基于对AFRP筋的松弛特性的广泛的实验，Saadatmanesh和Tannous两人表明它们的关系如下：

（1），在这里，λ 

= 

σp1/fpu，σp1是应力释放1小时后钢筋内的应力。

在测试中σp1/σp0的比值在0.91和0.96之间变化，平均值是0.93。

表中变量a和b的数值提供了在λ 

0.4和λ 

0.6及不同温度水平和溶解类型下的变量a和b的数值。

在空气温度为25摄氏度的条件下，AFRP筋中a和b的关系建议如下：

（2）。

在钢筋混凝土构件中，预应力筋的两端由于混凝土的徐变和收缩经常向彼此靠近，因此要减少钢筋中的张拉应力。

这种应力的减少于钢筋受到较小的初始应力有相似的效果。

因此，松弛的减少量应该采用预应力构件长期效应的分析值，因此

（3），其中χr是无量纲系数决不一致。

以下是之前Ghali和Trevino建议的估算预应力钢筋χr的一种方法，AFRP筋的χr可以这样计算

（4），其中

（5），ζ是无量纲的时间函数，定义了钢筋的应力与时间关系的曲线的形状。

随着从初始预应力时间t0变化到最后时间t，ζ的数值从0增加到1。

Ω是总的预应力损失与固有松弛的差和初始应力的比，表达式为

（6）。

表示的是在σp0/fpu 

0.4,0.5,和0.6的情况下,χr随Ω的变化，这描绘了初始配筋率的公值。

正如以后部分所述，在实际用途中假定Ω在0.1和0.2之间变化，χr 

0.95

3.分析的理论方法

这种分析遵循了Ghali等人提议的一般的四个步骤。

示意性的描述如图2。

考虑到由简单的混凝土组成的任意截面，在t0处受到预应力和永久荷载这种程序能够进一步发展。

这种方法将会得出一个一次方程，容易被实践工程师运用，而不是冗长的矩阵分析法只能用于特殊用途的计算机程序。

除了横截面的初始应力外，这个方程仅仅是四个容易计算出的无因次系数，徐变系数和收缩的函数。

3.1.初始步骤

步骤1：

瞬时应变。

在任何的纤维层，由于永久荷载和预应力的效应下，能计算出在时间t0处的应变和曲率。

眼下，设计者可能已经决定在t0时刻的应力分布没有超过允许应力。

在这种情况下，可以通过t0时刻混凝土的土的弹性模量来划分应力的值进而得到在t0时刻应变的图表。

步骤2：

混凝土自由的徐变和收缩。

在t0到t的时间内由于徐变和收缩引起的混凝土应变的分布式通过混凝土净截面区域质心处的值（Δεcc）free来表示，Ac代表总面积减去FRP筋的面积，在后张拉的情况下，Af是总面积减去预张拉管道的面积或者是减去FRP筋的面积，是在先张拉的情况下。

当y 

ycc时，关系如图3所示，因此（Δεcc）free=

εcc（t0）+εcs，（7）这儿的ycc是混凝土净截面质心处的y坐标，

是t0到t时间内的徐变系数，εcs是在相同时间内的收缩，εcc（t0）是在混凝土净截面质心处的应变，它们的关系如下εcc（t0）=ε1（t0）+（ycc-y1）ψ（t0）（8），其中y1是在t0时刻换算面积处的质心，ψ（t0）是在t0时的曲率。

所以，Δψfree=

ψ（t0）（9）。

步骤3：

人为施加的力。

步骤2里计算出的自由徐变是可以通过逐步的控制应力来人为的预防，在任意纤维层y处

（10），其中

是经调整后的混凝土模量，用来说明逐步施加到混凝土上的应力效应，被定义为

（11），在参考点处人为控制的力可以阻止由于徐变，收缩，松弛引起的应变改变，ΔN和ΔM表达式分别是

（12）和

（13），Ic,yp,and

分别是面积的二阶矩，FRP筋质心处的y坐标，在t0和t时间内由于松弛减少的应力。

应该指出，如果截面包含不止一层预应力筋，Ap和ypAp应该被所有层适当参数的和所代替。

步骤4：

人为施加力的消除。

在应变分别等于0和ΔεO及曲率为Δψ的转换面处施加力，因此

（14a），

（14b），这儿的

是面积的二阶矩，

是转换面的面积，表达式为

（15）。

其中Ef和Ep分别是FRP筋和钢筋的弹性模量，

得表达式为（11）。

（16）

（17）

（18）

预应力钢筋中应变随时间的变化能按（19）式计算。

预应力钢筋中应力随时间的变化是EpΔεp和减少的松弛的和。

Δεp=ΔεO+ypΔψ（19）

（20）。

（20）给出了由于徐变，收缩，和松弛引起的长期的预应力损失Δσp，

（21）。

应该指出当使用CFRP筋的预应力构件时，方程（21）里的最后一项

为0。

4.连续梁的应用

连续预应力梁或是框架产生超静定的弯矩（认为是次弯矩），正如之前叙述，7、8、9里的ε1（t0）和ψ（t0）代表由于恒载产生的弯矩和预应力产生的次弯矩在某截面的应变参数。

钢筋内预应力随时间的变化引起了次弯矩的变化，这没有包含在方程21里面。

这部分考虑了预应力损失中次弯矩随时间变化的效应。

考虑一个两跨连续梁，每跨腱变化的轮廓都是抛物线的，超静定梁可以通过结构分析的任何方法来解决由于恒载和预应力引起的在t0时刻产生的弯矩。

组合分析是按之前所述计算三个截面，进而确定每个截面，这儿i 

A,BandC.

用力法确定连续梁内力和位移的变化。

用坐标系表示的基本结构可以运用。

应该假设在t0和t时间内中部支撑处不连续的变化为ΔD1，在连接处未知的变化的ΔF1。

不连续处的变化ΔD1是按每一跨两端的和。

用这种弹性荷重的方法要假定每一跨曲线的变化是抛物线的。

ΔD1可以表示成

（25）

在连接处施加单位荷载，也就是说逐渐的从0变化到单位荷载1，每个截面曲率的变化为

（26），经过老化调整后的弹性系数

可按下式计算

（27）

步骤5：

ΔF1能通过相容方程

i.e.,计算出，其中

（28），每个截面处预应力的变化为

（29），其中（ΔM）i是每个截面处弯矩的变化。

所以有（ΔM）A 

（ΔM）B 

ΔF1/2和ΔMB 

ΔF1。

大多数桥梁的一般参数考虑时注意的事项显示出Δσp（con是很小的，相对于忽略弯矩的变化而分析得到的Δσp来说。

5.辅助设计的发展

几何系数kA,kI,kcc和kp取决于截面的几何形状和材料的参数Ef/Ec（t0）,Ep/Ec（t0），χ

。

大多数配有FRP筋的梁的横截面都是单一或是双T梁，因此取代了18中的Eq。

典型的后张拉DT截面的几何系数的辅助设计如图6a,6b,6c,7a,7b,7c,7d分别是配有CFRP筋和AFRP筋。

在这些数字里，边缘FRP筋的配筋率是ρf 

Af/（bhf），预应力钢筋的面积与总面积的比是ρp 

Ap/（hΣbw）。

表中没有的数据可以用线性内插法得到。

1.Introduction

Theuseoffiberreinforcedpolymer（FRP）tendonsasprestressingreinforcementshavebeenproposedinthepastdecadeandafewconcretebridgeshavealreadybeenconstructedutilizingfiberreinforcedpolymer（FRP）tendons.Comparedtoconventionalsteelprestressingtendons,FRPtendonshavemanyadvantages,includingtheirnoncorrosiveandnonconductiveproperties,lightweight,andhightensilestrength.MostoftheresearchconductedonconcretegirdersprestressedwithFRPtendonshasfocusedontheshort-termbehaviorofprestressedmembers;

researchfindingsonthelong-termbehaviorofconcretememberswithFRPtendonsarescarceintheliterature.TherecentACICommitteereportonprestressingconcretestructureswithFRPtendons（ACI440.4R-04[1]）haspointedoutthat:

“Researchonthelong-termlossofprestressandtheresultanttime-dependentcamber/deflectionisneeded…”MostoftheresearchandapplicationsofFRPtendonsinconcretestructureshaveadoptedeithercarbonfiberreinforcedpolymer（CFRP）oraramidfiberreinforcedpolymer（AFRP）tendons.Theuseofglassfiberreinforcedpolymers（GFRP）hasmostlybeenlimitedtoconventionalreinforcingbarsduetotheirrelativelylowtensilestrengthandpoorresistancetocreep.Therefore,thispaperfocusesonprestressedmemberswitheitherCFRPorAFRPtendons.

Creepandshrinkageofconcrete,andrelaxationofprestressingtendons,causelong-termdeformationsinconcretestructures.Whileitisgenerallyacceptedthatlong-termlossesdonotaffecttheultimatecapacityofaprestressedconcretemember,areasonablyaccuratepredictionoftheselossesisimportanttoensuresatisfactoryperformanceofconcretestructuresinservice.Ifprestresslossesareunderestimated,thetensilestrengthofconcretecanbeexceededunderfullserviceloads,causingcrackingandunexpectedexcessivedeflection.Ontheotherhand,overestimatingprestresslossescanleadtoexcessivecamberanduneconomicdesign.

Theerrorinpredictingthelong-termprestresslossescanbedueto:

（1）inaccuracyinestimationofthelong-termmaterialcharacteristics（creepandshrinkageofconcreteandrelaxationofprestressingtendons）;

and

（2）inaccuracyofthemethodofanalysisused.Theobjectiveofthispaperistoaddressthesecondsourceofinaccuracybypresentingasimpleanalyticalmethodtoestimatethetime-dependentstrainsandstressesinconcretemembersprestressedwithFRPtendons.Themethodsatisfiestherequirementsofequilibriumandcompatibilityandavoidstheuseofempiricalequations,whichingeneralshowlossinaccuracytoenablegenerality.Theinaccuracyinthematerialcharacteristicsusedcanbemitigatedbyvaryingtheinputmaterialparametersandestablishingupperandlowerboundsontheanalysisresults.

Forthepurposeofthispaper,andtoavoidconfusion,aconsistentsignconventionisused.AxialforceNispositivewhenitistensile.Bendingmoment,M,thatproducestensionatthebottomfiberofacrosssectionandtheassociatedcurvatureψarepositive.Stress,σ,andstrain,ε,arepositivefortensionandelongation,respectively.Downwarddeflectionispositive.Itfollowsthatshrinkage,εcs,isnegativequantity.ThelossintensioninprestressingreinforcementduetorelaxationΔσprorduetothecombinedeffectsofcreep,shrinkage,andrelaxation,Δσp,isnegativequantity.Theanalysisconsideredhereinfocusesonaprestressedconcretesectionwithitscentroidalprincipaly-axisinverticaldirectionwiththecoordinateyofanyconcretefiberorsteellayerbeingmeasureddownwardfromagivenreferencepoint.

2.RelaxationofFRPprestressingtendons

Similartoconcreteandsteel,AFRPprestressingtendonsexhibitsomecreepifsubjectedtosustainedstrains.CFRPtendonstypicallydisplayinsignificantamountofcreep,whichcanbeneglectedformostpracticalapplications.Whenaprestressingtendonisstretchedbetweentwopoints,itwillbesubjectedtoaconstantstrain.Becauseofcreep,thestressinthetendondecreases（orrelaxes）withtimetomaintainthestateofconstantstrain.ThisreductioninstressisknownasintrinsicrelaxationΔσpr.Whilesteeltendonssubjectedtostresseslessthan50%oftheyieldstressdonotexhibitappreciableamountofrelaxation,testsonAFRPtendonshaveshownthattheydisplayrelaxationunderverylowstresses.ThelevelofrelaxationofAFRPtendonsdependsuponmanyfactors,includingambienttemperature,environment（e.g.,air,alkaline,acidic,orsaltsolutions）,ratioofinitialstress,σp0,toitsultimatestrength,fpu,andtimetlapsedafterinitialstressing.BasedonextensiveexperimentationonrelaxationpropertiesofAFRPtendons,SaadatmaneshandTannous[2]suggestedarelationshipoftheform:

（1）

whereλ 

σp1/fpu.σp1isthestressinthetendon1 

hafterstressrelease.Ratiosofσp1/σp0intheirtestsvariedbetween0.91and0.96,withanaverageof0.93.Tabulatedvaluesofthevariablesaandbwereprovidedforλ 

0.4andλ 

0.6,andfordifferenttemperaturelevelsandsolutiontypes.ForAFRPtendonsinairatatemperatureof25 

°

C,relationshipsforaandbwereproposed[2]as

（2）

Inaprestressedconcretemember,thetwoendsoftheprestressingtendonconstantlymovetowardeachotherbecauseofcreepandshrinkageofconcrete,therebyreducingthetensilestressinthetendon.Thisreductionintensionhasasimilareffecttothatwhenthetendonissubjectedtoalesserinitialstress.Thus,areducedrelaxationvalue,

shouldbeusedintheanalysisoflong-termeffectsinprestressedmembers,suchthat

（3）

whereχrisadimensionlesscoefficientlessthanunity.FollowinganapproachpreviouslysuggestedbyGhaliandTrevin