专题53 巧用图形的平移解决几何问题解析版文档格式.docx

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b+1＝b，

解得b＝

；

故答案为：

0，3，

（2）根据题意，得：

，

解得：

设点F的坐标为（x，y），

∵对应点F′与点F重合，

∴

x+

＝x，

y+2＝y，

解得x＝1，y＝4，

所以，点F的坐标为（1，4）．

1、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），

点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，

此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为.

【解析】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，∠AOB=60°

在Rt△OAM中,利用含30°

角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=

，从而求得

点A的坐标为（1，

），直线OA的解析式为y=

x,当x=3时，y=3

所以

点A′的坐标为（3，3

），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移

23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,2

）.

【答案】

（4,23）

2、在Rt△ABC中,∠BAC=90°

∠B=30°

线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α（0°

＜α≤90°

）,连接AF,DE．

（1）在旋转过程中,当∠ACE=150°

时,求旋转角α的度数；

（2）探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？

请说明理由．

【解析】

（1）由题意分析可知此问需分两种情况讨论：

①点E和点D在直线AC两侧；

②点E和点D在直线AC同侧；

（2）在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：

等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．

【答案】：

（1）在图1中,∵∠BAC=90°

∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°

．

如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°

∴α=150°

-120°

=30°

.当点E和点D在直线AC同侧时,

由于∠ACB=180°

-∠BAC-∠B=60°

∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°

-60°

=90°

.

∴α=180°

-∠DCE=90°

.∴旋转角α为30°

或90°

;

（2）四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．

∵∠BAC=90°

∴AC=

BC．

又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=

BC=AC.∴△ADC为正三角形．

①当α=60°

时,如图3,∠ACE=120°

+60°

=180°

∵CA=CE=CD=CF,

∴四边形ADEF为矩形．

②当α≠60°

时,∠ACF≠120°

∠DCE=360°

-∠ACF≠120°

显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,

∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°

∵∠ACF+∠DCE=360°

=240°

∴∠FAC+∠CDE=60°

.∴∠DAF+∠ADE=120°

.∴AF∥DE．

又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．

3、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°

，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．

（1）试说明AD∥BC的理由；

（2）试求∠CAN的度数；

（3）平移线段BC．

①试问∠AMD：

∠ACD的值是否发生变化？

若不会，请求出这个比值；

若会，请找出相应变化规律；

②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．

（1）∵AP∥DQ，

∴∠D+∠DAB＝180°

∵∠D＝80°

∴∠DAB＝100°

∵∠ABC＝80°

∴∠DAB+∠ABC＝180°

∴AD∥BC；

（2）∵AN平分∠DAM，

∴∠NAM＝∠NAD＝

∠DAM．

∵∠1＝∠2，

∴∠CAM＝

∠BAM．

∴∠NAM+∠CAM＝

∠DAM+

∠BAM，

即：

∠CAN＝

∠DAB

∵∠DAB＝100°

∴∠CAN＝50°

（3）①不会．

∵AP∥DQ，

∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，

∴∠AMD：

∠ACD＝2，

②∵AP∥DQ，AD∥BC，

∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，

∵∠AND＝∠ACB，

∴∠NAB＝∠DAC，

∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，

∠1＝∠DAN．

∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°

∴∠ACB＝∠DAC＝75°

4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．

（1）在图中画出△A′B′C′；

（2）直接写出A′、C

′点的坐标；

（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．

（1）△A′B′C′如图：

（2）∵平移后点B和点A刚好重合，

∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，

又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），

∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；

（3）∵P点的坐标是（a，b），

∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．

5、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）

（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为　　；

（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为　　；

（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为　　；

△A2B2C2的面积为　　．

（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；

（1，﹣4）；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；

（2，2）；

（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为

（a+3，b+4），

6、如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：

AB与CD的关系为　　∠B与∠D的大小关系为　　；

（2）如图2，若∠B＝60°

，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．

（3）在

（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝　　．

（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；

（2）∵AB∥CD，

∴∠DCE＝∠B，

由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，

∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，

在△DEF中，∠DEF＝180°

﹣2∠DFE，

在△DFG中，∠DGF＝180°

﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°

﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°

﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∵DG平分∠CDE，

∴∠CDG＝∠EDG，

∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠FDG＝

∠DCE，

即∠FDG＝

∠B，

∵∠B＝60°

×

60°

＝30°

（3）思路同

（2），

∵∠FDG＝α，

∴∠B＝2α，

（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；

（3）2α．

7、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°

，∠ADC＝30°

，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．

（1）求∠AEC的度数；

（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°

，∠A1D1C＝30°

，求∠A1EC的度数．

（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与

（2）相同，求此时∠A1EC的度数．

（1）如图1所示：

∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°

∴∠ADC＝∠QAD＝30°

∴∠PAD＝150°

∵∠PAC＝50°

，AE平分∠PAD，

∴∠PAE＝75°

∴∠CAE＝25°

可得∠PAC＝∠ACN＝50°

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECA＝25°

∴∠AEC＝180°

﹣25°

＝130°

（2）如图2所示：

∵∠A1D1C＝30°

，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1＝30°

∴∠PA1D1＝150°

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°

，PQ∥MN，

∴∠CAQ＝130°

，∠ACN＝50°

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE＝25°

∴∠CEA1＝360°

﹣130°

﹣75°

（3）如图3所示：

过点E作FE∥PQ，

，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1E＝∠2＝15°

∴∠ACN＝50°

∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°

∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°

+25°

＝40°