排列组合综合讲义Word下载.docx
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（nm）!
组合数的两个性质：
性质1：
Cnm
Cnn
m；
性质2：
1Cnm
Cnm1．（规定Cn0
1）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄
清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问
题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法:
元素优先法：
先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：
先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：
对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，
一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法:
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：
某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与
其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：
某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：
n个相同元素，分成m（m≤n）组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从n1个空中选m1个空，各插一个隔板，有Cnm11．
7．分组、分配法：
分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等
分之别．一般地平均分成n堆（组），必须除以n！
，如果有m堆（组）元素个
数相等，必须除以m！
8．错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒
子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别
当n2，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：
以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：
先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排
列数或组合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；
对于元素间隔排列的问题，采取插空法
或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；
分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
习题练习
加法原理
【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组
织的调查团，问选取代表的方法有几种．
【例2】若a、b是正整数，且ab≤6，则以（a，b）为坐标的点共有多少个？
【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（
）
A．324
B．328
C．360
D．648
【例4】用数字
1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（
A．8
B．24
C．48
D．120
【例5】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成
____个大于
3000，小于
5421的数字不
重复的四位数．
乘法原理
【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．
【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．
【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只
安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么
不同的安排方法共有种．
【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，
参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．
【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结
果？
【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？
【例12】用1，
2，3，4，
5，
6组成六位数（没有重复数字）
，要求任何相邻两个数字
的奇偶性不同，且
1
和2
相邻，这样的六位数的个数是
__________（用数字作答）．
【例13】从集合{1，2，3，L
，11}中任选两个元素作为椭圆方程
x2
y2
中的m和n，则
m2
n2
能组成落在矩形区域
B
{（x，y）||x|
11，且|y|9}内的椭圆个数为（
A．43
B．72
C．86
D．90
【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同
族函数”，那么函数解析式为y
x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
【例15】某银行储蓄卡的密码是一个
4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为
十位和个位上的数字
（如
2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数
字选0
，并且千位、百位上都能取
0．这样设计出来的密码共有（
A．90
个
B．99
C．100个
D．112个
【例16】从集合{
4，3，2，1，0，1，2，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这
5个
数中的任何两个数之和不等于
，则取出这样的子集的个数为（
A．10
B．
32
C．110
D．220
【例17】若x、y是整数，且
x≤6，y≤7，则以（x，y）为坐标的不同的点共有多少
个？
【例18】用0，1，2，3，4，
5
这6
个数字：
⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．
⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．
【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？
【例20】将3名教师分配到
2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案
共有（
）种．
A．5
B．6
C．7
D．8
基本计数原理的综合应用
【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，
_________
【例22】若自然数n使得作竖式加法n（n1）（n2）均不产生进位现象．则称n为“可
连数”．例如：
32是“可连数”，因323334不产生进位现象；
23不是“可连数”，
因232425产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）
A．27
B．36
C．39
D．
48
【例23】由正方体的
8个顶点可确定多少个不同的平面？
【例24】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同
一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）
【例25】如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每
块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96B．84C．60D．48
【例26】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为
6个部分（如图）．现要栽种
4种
不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽
种方法有
种．（以数字作答）
【例27】分母是385的最简真分数一共有多少个？
并求它们的和．
【例28】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点
B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种
颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）
A、
【例29】用0，1，2
，3，4
，5
这6个数字，可以组成_______个大于3000
，小于5421
的数字不重复的四位数．
【例30】某通讯公司推出一组手机卡号码，
卡号的前七位数字固定，从“
0000”
到“
9999
”共
10000
个号码．公司规定：
凡卡号的后四位带有数字“”
4
或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（
7
A．2000
4096
C．5904
D．8320
【例31】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿
卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）
1张别人送出的贺年
A．6
B．9种
C．11种
D．23种
【例32】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，
如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）
A．504B．210C．336D．120
【例33】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5
棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第
5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）
A．15种B．12种C．9种D．6种
【例34】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规
定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，
则不同涂法种数为（用数字作答）.
【例35】用0到9
这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（
【例36】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为
1，2，
，9的9
个小正方形（如图），
使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且
“、
、
”号数
3
字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（
2
6
8
9
A．72
B．108
C．144
D．192
【例37】足球比赛的计分规则是：
胜一场得
3分，平一场得
1分，负一场得
0分，那么
一个队打
14场共得19分的情况有（
A．3种
B．4种
C．5种
D．6
种
排列数组合数的简单计算
【例38】对于满足n≥13的正整数n，n
5n
...n12
（
A．An7
12
B．An7
C．An8
D．A12n5
【例39】计
算Α73
______．
【例40】计算A103
，A66；
【例41】计算C72
______，C75
_______．
【例42】计算C103，C86；
【例43】计算A73，A104
，C73，C5048，C192
C193．
【例44】已知Α24
n1
140Αn3，求n的值．
【例45】解不等式A8x
6A8x
【例46】证明：
A99
9A88
8A77
A88．
【例47】解方程A32x
100A2x
．
【例48】解不等式A8x
6A8x
2．
【例49】解方程：
11C3x
24Cx2
【例50】解不等式：
C8m
3C8m．
【例51】设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]
2，5
1），对于给定的
nN，定
n（n
1）
x
义
，x
1，
，则当
3，时，函数
x的值域
Cn
x（x
（x
C8
是（
A．16
28
B．16
56
C．4,
28
U
28,56
D．4,16
U28,28
【例52】组合数Cnr
n
r
≥1，n、r
Z恒等于（
A．r
1Cnr
11
B．n1r1Cnr
C．nrCnr11
D．nCnr
【例53】已知Cnm
2:
Cnm
21:
22
3:
5:
5，求m、n的值．
排列数组合数公式的应用
【例54】已知C20n3
C20n2
【例55】若C202n6
C20n2,（n
【例56】若Cmn1∶Cmn∶Cmn1
【例57】证明：
nCkn（k
C212
C22n
C21n1，求C21n的值．
N），则n
_______
3∶4∶5，则nm
1）Ckn1kCkn
【例58】证明：
i
i1
i0i
Cn1
1i0
【例59】求证：
m1
m2
An
An1
（m1）An1
【例60】证明：
k
n2
kCn
k0
【例61】证明：
Cn1
2Cn2
3Cn3
LnCnn
n（Cn0
Cn1
LCnn）．
【例62】求证：
Cnn
LCnn
Cnn1m1；
【例63】计算：
C992
C993，C40
C15
C62
LC139
【例64】证明：
Cm0Cnk
C1mCnk
Cm2Cnk2
CmkCn0
Cnk
m．（其中k≤min{m，n}）
【例65】解方程Cxx
Cxx
31
3Αx23
【例66】确定函数A3x的单调区间．
【例67】规定Axm
x（x
L（x
1），其中x
R，m为正整数，且A0x1，这是排列
数Anm（n,m是正整数，且m≤n）的一种推广．
⑴求A3
15的值；
⑵排列数的两个性质：
①
Anm
nAnm
11，②Anm
mAnm1
1（其中m,n是正
整数）．是否都能推广到
Axm（x
R，m是正整数）的情形?
若能推广，写出推
广的形式并给予证明；
若不能，则说明理由．
排队问题
【例68】三个女生和五个男生排成一排
⑴如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
⑵如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
⑶如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
【例69】6个人站成一排：
⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？
【例70】7名同学排队照相．
⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？
【例71】6个队员排成一排，
⑴共有多少种不同的排法？
⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？
【例72】ABCDE五个字母排成一排，若ABC的位置关系必须按A在前、B居中、C
在后的原则，共有_______种排法（用数字作答）．
【例73】用1到8组成没有重复数字的八位数，要求
1与2相邻，3与4相邻，
5与6相邻
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