小升初数学精编真题Word文档格式.docx
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3，所以甲最小是：
5=90。
5【解】：
八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
小升初专项训练数论篇
（一）
一、小升初考试热点及命题方向
数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：
整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
二、2012年考点预测
2012年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。
三、基本公式
1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若（a,b）=1,则有ab|c。
[讲解练习]：
若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）
2）已知c|ab，（b,c）=1,则c|a。
3）唯一分解定理：
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n=p1
×
p2
...×
pk
（#）
其中p1<
p2<
...<
pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.
4）约数个数定理：
设自然数n的质因子分解式如（#）
那么n的约数个数为d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）
所有约数和：
（1+P1+P1
+…p1
）（1+P2+P2
+…p2
）…（1+Pk+Pk
+…pk
）
1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。
（1996年小学数学奥林匹克初赛）
5）用[a,b]表示a和b的最小公倍数，（a,b）表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×
（a,b）。
两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。
（迎春杯刊赛第10题）
6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）
7）平方数的总结：
小生初四个考点：
1：
平方差A
-B
=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
[讲解练习]：
8
-7
+6
-5
+4
-3
+2
-1
2：
约数：
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：
质因数分解：
把数字分解，使他满足积是平方数。
a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
4:
平方和。
8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
公式需牢记
做题有信心！
9）周期性数字：
abab=ab×
101
2005×
20062006-2006×
20052005=＿＿。
四、典型例题解析
1数的整除
【例1】
（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×
1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；
按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；
按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：
不妨设这4个数字分别是a>
b>
c>
d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>
d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；
所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；
因为a>
b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。
而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。
因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】
（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？
[思路]：
现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手
5位数数字和最大的为9×
5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。
这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】
（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
[拓展]：
一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？
【例4】
（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5。
问男女生各多少人？
【来源】：
12年理工附入学测试题
男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。
2质数与合数（分解质因数）
【例5】
（★★★）2005×
684×
375×
□最后4位都是0,请问□里最小是几?
先分析1×
4×
10的积的末尾共有多少个0。
由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。
而能分解出5的一定是5的倍数。
注意：
5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×
401684=2×
171
375=3×
5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。
因此□里最小是4。
□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____
【例6】
（★★★）03年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？
看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A
，04年的为B
，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B
-A
=101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以B
=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×
1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×
51=2601。
一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？
（清华附中测试题）
3约数和倍数
【例7】
（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：
2002÷
847=2…308求2个数的最大公约数，就用大数除以小数
847÷
308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308÷
231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231÷
77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数
【例8】
（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？
100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。
这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×
3+1=7。
在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；
第二种将木棍分成十二等份；
第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？
【例9】
（★★★）1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？
最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10个2。
【例10】
（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）
1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。
不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。
因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×
5，3×
4，2×
7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。
从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。
2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数
由于上述十二个数的最小公倍数是60060
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。
4数论的综合题型
【例11】
（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：
这一家的电话号码是什么数？
设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数（i=1,2,…,12）因此x是1，2，….12的公倍数
[1,2,…..12]=27720
所以x=27720m
27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4
所以4m+9是13的倍数m=1,14,27….
第一家电话号码是27720m+1m取14合适；
因此第一家电话号码是27720*14+1=388081
写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数…第11个是12的倍数？
【例12】
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）数的整除。
参见例1，2，3，4
2）质数与合数（分解质因数）。
参见例5，6
3）约数和倍数。
参见例7，8，9，10
4）数论的综合题型。
参见例11，12
【课外知识】
打开另一扇心窗
很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。
莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。
稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。
不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。
浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。
黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。
莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。
她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。
后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。
启迪：
莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。
不要总以为自己是最倒霉的。
其实，上苍很公平。
有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐
作业题
（注：
作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4—类型1；
题2，6—类型3；
题3，5，8—类型2；
题7—类型2
1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
解：
1+2+……+100=5050
9+18+27+……+99=9×
（1+2+……+11）=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555
2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占
，得80～89分的人数占
，得70～79分得人数占
，那么得70分以下的有________人。
有
、
，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；
又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。
从而70分以下的有：
42×
＝1人。
3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。
枚举法：
23，37，53，73，，有4个
4.（★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？
这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×
3,2×
5,3×
5）
和的最小值为31。
5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？
设中间一个数为2x
那么5个数的和为10x=m^2
中间3个数的和为6x=n^3
设x=2^p×
3^q×
5^r
再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3
X=36000
因此所求为2x+4=72004
6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
A
=（A+B）（A-B）=37=37×
1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。
7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；
然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；
留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．
【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；
第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是
=121的倍数；
第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是
=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．
8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是、、．
【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意
1994+a+b+C=a·
b·
c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；
取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=
不是整数；
取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．
故5、7、59是满足题意的三个质数．
名校真题测试卷找规律篇资料来源微信：
b684951
1（12年清华附中考题）
如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？
2（13年三帆中学考题）
观察1+3=4
；
4+5=9
9+7=16
16+9=25
25+11=36
这五道算式，找出规律，
然后填写2001
＋（
）＝2002
3（12年西城实验考题）
一串分数：
其中的第2000个分数是.
4（12年东城二中考题）
在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8（如下所示）,每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?
2……7……5……8……3
5（04年人大附中考题）
请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。
为了达到这些目的。
（1）请你说明：
11这个数必须选出来；
（2）请你说明：
37和73这两个数当中至少要选出一个；
（3）你能选出55个数满足要求吗？
1【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。
2【解】上面的规律是：
右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。
3【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8…88=1980<
2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。
第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，……
它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。
它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。
5【解】
（1），11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。
（2），比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。
（3），同37的例子，
01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个
12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。
23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。
………
89和98必选其一，选出1个。
如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。
再加上11~99这9个数就是54个。
小升初专项训练找规律篇
找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。
在刚刚结束的12年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。
二、2007年考点预测资料来源微信：
07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。
三、典型例题解析
1与周期相关的找规律问题
【例1】、（★★）
化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？
【解】
化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷
27=73…21,所以n=6。
【例2】、（★★）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个
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