常微分方程学习心得体会文档格式.docx
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常微分方程课程总结
理学院
组长：
杨文蛟组员：
倪宝珠
数学091班
:
XX1XX129）（XX1XX123）王向魁（XX1XX126）杨历（XX1XX128）党浩（XX1XX117）
XX/6/5
（学号
第一章绪论微分方程的基本概念
（1）常微分方程偏微分方程
微分方程：
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：
未知函数为一元函数的微分方程。
dydxdydx
?
axy,a为常数
px
?
y?
Q
x?
偏微分方程：
未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
2?
u?
2?
y?
f
x,y?
4
（2）线性与非线性
一般n阶线性微分方程具有形式：
（等式左面全是一次有理整式）
y
（n）
a1（x）y
（n?
1）
an?
1（x）y?
an（x）y?
f（x）.
（3）解和隐式解
微分方程的解：
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.隐式解：
Φ（x,y）=0（4）通解和特解
通解：
微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）特解：
确定了通解中任意常数以后的解.初始条件：
用来确定任意常数的条件.
初值问题:
求微分方程满足初始条件的解的问题.
（5）积分曲线：
微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章一阶微分方程的初等解法变量分离方程与变量变换
、变量分离方程
dydx
f（x）?
（y）?
dy
（y）
f（x）dx?
c
、可化为变量分离方程的类型
1.形如
g（
yx
），称为齐次微分方程，令u＝
,即y＝ux，于是
＝x
dudx
＋u，代入原方程，变形为x
＋u＝g（u），整理得
＝
g（u）?
u
x
2.形如?
a1x?
b1x?
c1a2x?
b2x?
c2
的方程也可经变量变换化为变量分离方程
（1）
a1a2a1a2a1a2
b1b2b1b2b1b2
c1c2
k（常数），方程化为
＝k，有通解y?
kx?
（2）?
k?
情形，令u＝a1x?
b2y，这时有
＝a2?
b2
ku?
c1u?
是分离变量方程
（3）?
情形，若c1、c2不全为零，方程右端分子、分母都是x、y的一次多项式，因此a1x?
c1＝0，
a2x?
b2y?
c2＝0，交点（?
?
），令X＝x－?
，Y＝y－?
，化为a1X?
b1Y?
0，a2X?
b2Y?
0。
则原方程变形
为
dYdX
a1X?
b1Ya2X?
b2Y
＝g（
YX
）
线性微分方程与常数变易法
（1）一阶线性微分方程
P（x）y?
Q（x），其中P（x），Q（x）在区间上是x的连续函数。
若Q（x）＝0，则变为
P（x）y，
称为一阶齐次线性微分方程，若Q（x）?
0，则称为一阶非齐次线性微分方程。
（2）
P（x）y是变量分离方程，解为y?
ce?
P（x）dx
（c是任意常数）。
（3）常数变异法，令y?
c（x）e?
，微分之，得到
P（x）dxdc（x）?
P（x）dx
e?
c（x）P（x）e?
代入原方程得到新方程，解得dx
c（x）?
P（x）dx?
Q（x）edx?
c?
P（x）dx?
得到通解y?
e?
（4）伯努利微分方程
dzdx
Q（x）y
n
n
令z?
y
1?
，从而?
（?
n）y
，均代入原方程得到
（1?
n）P（x）z?
n）Q（x）,这是线性微分方程。
恰当微分方程与积分因子
恰当微分方程
（1）简单二元函数的全微分：
ydx?
xdy?
d（xy）
ydx?
xdy
2
d（
xy
）yx
ydx?
xdy
d（）yx
d（ln）
xdyx?
d（lnarctan
12
d（ln
x?
yx?
积分因子
M?
N?
x
（x），积分因子?
（x）dx
。
一阶隐式微分方程与参数表示
（1）形如y?
f（x,
），
引入参数?
p，原方程变为y?
f（x,p），两边对x求导，并以?
p代入，得到p?
fdy?
pdx
，这是关于x,p
的一阶微分方程
（2）形如x?
f（y,
p，原方程变为x?
f（x,p），两边对y求导，并以
dxdy
1p
代入，得到
f?
fdp?
pdy
，这是关于y,p
的一阶微分方程，设求得通解为?
（y,p,c）?
0，则方程通解为?
（3）形如F（x,y?
）＝0
3xy?
0
解：
令y?
p?
tx,则由方程得
9（1?
2t）t（1?
t）
3
33
f（y,p）
32
3t1?
t
,从而p?
3t
23
,于是dy?
形如F（y,y?
）dt,积分之，得到（4）
dt?
31?
4t
2（1?
＝0
第三章一阶微分方程解的存在定理
解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
1．存在性与唯一性定理：
（1）显式一阶微分方程
f（x,y）（）
这里f（x,y）是在矩形域：
R:
|x?
x0|?
a,|y?
y0|?
b（）上连续。
定理1：
如果函数f（x,y）满足以下条件：
1）在R上连续：
2）在R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数L?
0，使对于R上任何一对点（x,y1），（x,y2）均有不等式f（x,y1）?
f（x,y2）?
Ly1?
y2成立，则方程（）存在唯一的解y?
（x），在区间|x?
h上连续，而且满足初始条件
（x0）?
y0（）
其中h?
min（a,
bM
）,M?
maxf（x,y）,L称为Lipschitz常数.
x,y?
R
思路：
1）求解初值问题（）的解等价于积分方程y?
y0?
的连续解。
2）构造近似解函数列{?
n（x）}
任取一个连续函数?
0（x），使得|?
0（x）?
b，替代上述积分方程右端的
y，得到
xx0
f（x,y）dx
1（x）?
f（x,?
0（x））dx
如果?
0（x），那么?
0（x）是积分方程的解，否则，又用?
1（x）替代积分方程右端的y，得到?
2（x）?
1（x））dx
1（x），那么?
1（x）是积分方程的解，否则，继续进行，得到?
n（x）?
于是得到函数序列{?
n（x）}.
3）函数序列{?
n（x）}在区间[x0?
h,x0?
h]上一致收敛于?
（x），即lim?
（x）
n?
n?
1（x））dx（）
存在，对（）取极限,得到
lim?
lim
xx0
=y0?
（x））dx
即?
（x）?
（x））dx.
4）?
（x）是积分方程y?
f（x,y）dx在[x0?
h]（转载于:
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常微分方程,学习心得体会）上的连续解.
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