三角函数的定义域与值域题库.docx

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三角函数的定义域与值域题库

专题三：

三角函数的定义域与值域（习题库）

一、选择题

1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（　　）

A、[﹣，]B、[，]

C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）

分析：

由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；

解答：

∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，

解答（k∈Z）

∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．

2、函数的定义域是（　　）

A、.B、.C、D、.

解答：

由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）

∴函数的定义域是．故选B．

3、函数的定义域为（　　）

A、B、

C、D、

解答：

由题意得tanx≥0，又tanx的定义域为（kπ﹣，kπ+），

∴，故选D．

4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（　　）

A、[1，]B、C、D、

解答：

∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=

==又∵∴

∴则1≤f（x）≤故选A．

5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（　　）

A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]

解答：

函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣

=sin2x+sinx﹣1=﹣

∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．

sinx=1时，函数y有最大值为1，故函数y的值域为[﹣，1]，故选B．

6、函数值域是（　　）

A、B、C、D、[﹣1，3]

解答：

因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B

7、函数的最大值是（　　）

A、5B、6C、7D、8

解答：

∵=

=∈[﹣7，7]∴函数的最大值是7

8、若≤x≤，则的取值范围是（　　）

A、[﹣2，2]B、C、D、

解答：

=2（sinx+cosx）=2sin（），

∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，

则函数f（x）的取值范围是：

．故选C．

9、若，则函数y=的值域为（　　）

A、B、C、D、

解答：

函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D

10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（　　）

A、B、

C、D、

解答：

∵函数，∴当sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，

∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，

∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:

为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z}故选A．

11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（　　）

A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]

解答：

令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，

由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．

当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3]故选A．

12、已知函数，则f（x）的值域是（　　）

A、[﹣1，1]B、C、D、

解答：

解：

由题=，

当x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，]

可求得其值域为．故选D．

13、函数的值域为（　　）

A、B、C、[﹣1，1]D、[﹣2，2]

解答：

=﹣sinxcosx+cos2x

=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）

∴函数的值域为[﹣1，1]故选C．

14、若≥，则sinx的取值范围为（　　）

A、B、

C、∪D、∪

解答：

∵≥，∴

解得x∈[，）∪（，]∴sinx∈故选B

15、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（　　）

A、[﹣，2]B、[﹣，2）C、[﹣，]D、（﹣，]

解答：

∵x∈[﹣，]∴cosx∈[﹣，1]

又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2

则y∈[﹣，2]故选A

二、填空题（共7小题）

16、已知，则m的取值范围是　　．

解答：

∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），

∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，

故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．

17、函数在上的值域是___________．

解答：

因为

，

故故答案为：

18、函数的值域为　　．

解答：

由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为

19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为　．

解答：

∵psin2x+cos4x≥2sin2x∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1

∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2

∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2故答案为：

[2，+∞）

20、函数的值域是．

解答：

令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx

∵∴x+∴从而有:

f（x）==﹣2

在单调递增

当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值

当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2

故答案为：

[﹣2]

21、函数的定义域为　　．

解答：

要使函数有意义，必须解得，

故答案为：

（0，）．

三、解答题（共8小题）

22.

（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；

（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；

分析：

求函数的定义域：

（1）要使0≤cosx≤1，

（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。

解析：

（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。

∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。

（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。

又∵－1≤cosx≤1，

∴0＜cosx≤1。

故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。

23、（2007•重庆）已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的定义域；

（Ⅱ）若角a在第一象限，且cosa=3/5，求f（a）

解答：

（Ⅰ）由≠0得x+≠kπ，即x≠，

故f（x）的定义域为．

（Ⅱ）由已知条件得．

从而=

==．

24、（2006•上海）求函数的值域和最小正周期．

解答：

===

∴函数的值域是[﹣2，2]，

最小正周期是π；

25、设，定义．

（Ⅰ）求函数f（x）的周期；

（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．

解答：

（Ⅰ）=sinxcosx﹣cos2x=﹣=，

∴周期T=π．

（Ⅱ）∵，∴，

∴，∴f（x）的值域为．

26、已知函数：

（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；

（2）当时，求函数f（x）的最值．

解答：

（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+

∴函数的最小正周期T==π，﹣1≤sin（2x+）≤1，故函数的值域为[﹣，]

当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即kπ﹣≤x≤kπ+，函数单调增，

故函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）

（2）∵∴2x+∈[，]

∴当2x+=时函数的最小值为﹣；当2x+=时函数的最大值为+=1

27、已知函数．

（I）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对都成立，求实数m的最大值．

解答：

（I）因为=

由得

所以f（x）的单调增区间是；

（Ⅱ）因为，所以所以

所以故m≤1，即m的最大值为1．

28、已知函数

（1）求的值；

（2）写出函数函数在上的单调区间和值域．

解答：

=

（1）当时，f（x）=2﹣sinx﹣cosx，故．

（2）当时，|cosx|=﹣cosx，|sinx|=sinx，

故，

当时，

故当是，函数f（x）单调递增，

当时，函数f（x）单调递减；函数的值域是．

29、已知函数

（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求w的取值范围

（2）设集合，若A⊆B，求实数m的取值范围．

解答：

（1）

∵f（ωx）=2sinωx+1在上是增函数．

∴，即

（2）由|f（x）﹣m|＜2得：

﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2

∵A⊆B，∴当时，f（x）﹣2＜x＜f（x）+2恒成立．

∴[f（x）﹣2]max＜m＜[f（x）+2]min

又时，∴m∈（1，4）

30、已知点A（1，，0），B（0，，1），C（2sinθ，cosθ）．

（Ⅰ）若，求tanθ的值；

（Ⅱ）设O为坐标原点，点C在第一象限，求函数的单调递增区间与值域．

解答：

（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）

∵∵

∴化简得2sinθ=cosθ．

∵cosθ≠0（若cosθ=0，则sinθ=±1，上式不成立），∴

（Ⅱ）∵，

∴y=2sinθ+2cosθ=

∴求函数的单调递增区间为

值域是