等腰三角形的存在性问题Word格式文档下载.docx

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如图3，P为线段AB上一动点〔点P不与点A、B重合〕，在线段AB的同侧分别作等边△A

PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．

〔1〕求∠AQB的度数；

〔2〕假设AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．〔2016山东省日照市〕如图1，抛物线

与x轴交于点A〔m﹣2，0〕和B〔2m+3，0〕〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C，连结BC．

〔1〕求m、n的值；

〔2〕如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；

〔3〕如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？

假设存在，求出点P的坐标；

13．〔2016山西省〕综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，点A，D的坐标分别为〔﹣2，0〕，〔6，﹣8〕．

〔1〕求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

〔2〕试探究抛物线上是否存

在点F，使△FOE≌△FCE？

假设存在，请直接写出点F的坐标；

假设不存在，请说明理由；

〔3〕假设点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为〔0，m〕，直线PB与直线l交于点Q，试探究：

当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

14．〔2016广东省梅州市〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=5cm，∠BAC=60°

，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒

cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒〔0≤t≤5〕，连接MN．

〔1〕假设BM=BN，求t的值；

〔2〕假设△MBN与△ABC相似，求t的值；

〔3〕当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？

并求出最小值．

15．〔2016广东省深圳市〕如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，且B〔1，0〕

〔1〕求抛物线的解析式和点A的坐标；

〔2〕如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；

〔3〕如图2，直线

分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：

以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？

假设存在，请求出这个最大值；

16．〔2016云南省昆明市〕如图1，对称轴为直线x=

的抛物线经过B〔2，0〕、C〔0，4〕两点，抛物线与x轴的另一交点为A．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕假设点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

〔3〕如图2，假设M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？

假设存在，求出点Q的坐标；

17．〔2016四川省凉山州〕如图，抛物线

〔a≠0〕经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，﹣3〕三点，直线l是抛物线的对称轴．

〔1〕求抛物线的函数关系式；

〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

〔3〕点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．[来源:

学_科_网]

18．〔2016海南省〕如图1，抛物线

与x轴交于点A〔﹣5，0〕、B〔﹣1，0〕，与y轴交于点C〔0，﹣5〕，点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．

〔1〕求该抛物线所对

应的函数解析式；

〔2〕假设点P的坐标为〔﹣2，3〕，请求出此时△APC的面积；

〔3〕过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①假设∠APE=∠CPE，求证：

；

②△APE能否为等腰三角形？

假设能，请求出此时点P的坐标；

假设不能，请说明理由．

19．〔2016湖北省襄阳市〕如图，点A的坐标为〔﹣2，0〕，直线

与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，

顶点为D的抛物线

过A、B、C三点．

〔1〕请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；

〔2〕设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，假设四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

〔3〕设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t〔秒〕，当t〔秒〕为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？

20．〔2016湖南省娄底市〕如图，抛物线

〔a、b、c为常数，a≠0〕经过点A〔﹣1，0〕，B〔5，﹣6〕，C〔6，0〕．

〔2〕如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？

假设存在，请求出点P的坐标；

〔3〕假设点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？

并请求出其中某一个点Q的坐标．

21．〔2016福建省漳州市〕〔总分值12分〕如图，抛物线

与x轴交于点A和点B〔3，0〕，与y轴交于点C〔0，3〕．

〔2〕假设点M是抛物线在

轴下方上的动点，过点M作MN//y轴交直线BC

于点N，求线段MN的最大值；

〔3〕在〔2〕的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对

称轴

上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？

假设存在，请直接写出所有点P的坐标；

22．〔2016重庆市〕如图1，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A，B两点〔点A在点B左侧〕，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．

〔1〕判断△ABC的形状，并说明理由；

〔2〕经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停顿．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；

〔3〕如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？

假设能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；

23．〔2016黑龙江省哈尔滨市〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线

经过A〔﹣4，0〕，B〔0，4〕两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．

〔2〕点P是第二象限抛物线上的一个动点，

连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式〔不要求写出自变量t的取值范围〕；

〔3〕在〔2〕的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．

24．〔2016四川省广安市〕如图，抛物线

与直线

交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为〔﹣4，﹣5〕，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．

〔1〕求抛物线的解析

式；

〔2〕以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？

如存在，求点P的坐标；

假设不存在，说明理由．

〔3〕当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P

作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

26．〔2015广东〕如图，矩形OABC中，A〔6，0〕、C〔0，2

〕、D〔0，3

〕，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°

．

〔1〕①点B的坐标是　　；

②∠CAO=　　度；

③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　　；

〔直接写出答案〕

〔2〕设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？

假设存在，请直接写出点P的横坐标为m；

〔3〕设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠局部的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

27．〔2015江苏〕抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A〔－1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点，直线l是抛物线的对称轴．

〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

〔3〕在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？

假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；

28．〔2015福建〕在平面直角坐标系xoy中，一块含60°

角的三角板作如图摆放，斜边AB在

x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，点A〔－1，0〕．

〔1〕请直接写出点B、C的坐标：

B〔，〕、C〔，〕；

并求经

过A、B、C三点的抛物

线解析式；

〔2〕现有与上述三角板完全一样的三角板DEF〔其中∠EDF=90°

，∠DEF=60°

〕，把顶点E放在线段

AB上〔点E是不与A、B两点重合的动

点〕，并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与〔1〕

中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：

抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，假设存在，请求

点P的坐标；

29．〔2014年甘肃兰州12分〕如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．

〔1〕求抛物线的表达式；

〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出P点的坐标；

如果不存在，请说明理由；

〔3〕点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？

求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

30．〔2014年贵州遵义14分〕如图，二次函数

的图象与x轴交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，与y轴交于点C．假设点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动．

〔1〕求该二次函数的解析式及点C的坐标；

〔2〕当点P运动到B点时，点Q停顿运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？

假设存在，请求出E点坐标；

〔3〕当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

31．〔2014年湖北江汉油田、潜

江、天门、仙桃12分〕抛物线经过A〔﹣2，0〕，B〔0，2〕，C

〔

，0〕三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．

〔2〕当BQ=

AP时，求t的值；

〔3〕随着

点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？

假设存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；

32．〔2014年湖南张家界12分〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线过

过O、B、C三点，B、C坐标分别为〔10，0〕和〔

，

〕，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直于x轴于点B．

〔1〕求直线BC的解析；

〔2〕求抛物线解析式

及顶点坐标；

〔3〕点M是⊙A上一动点〔不同于O，B〕，过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长

为n，请猜测

的值，并证明你的结论；

[来源:

学§

科§

网Z§

X§

K]

〔4〕点P从O出发，以每秒1个单位速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以一样速度向点C作直线运动，经过t〔0<

t

〕秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求

出满足条件的t值．

33．〔2014年江苏常州9分〕在平面直角坐标系

中，二次函数

的图像与

轴交于点A，B〔点B在点A的左侧〕，与

轴交于点C，过动点H〔0，

〕作平行于

轴的直线，直线与二次函数

的图像相交于点D，E．

〔1〕写出点A，点B的坐标；

〔2〕假设

，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与

轴相切时，求

的值；

〔3〕直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？

假设存在，求

34．〔2014年辽宁丹东14分〕如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A〔﹣1，0〕、B〔2，0〕两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．

〔1〕请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．

〔2〕如图1，当点P的横坐标为

时，求证：

△OBD∽△ABC．

〔3〕如图2，假设点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．

〔4〕当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．

35．〔2014年辽宁阜新12分〕如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．

〔1〕求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；

〔2〕如图①，点P〔m，0〕是线段AO上的一个动点，其中-3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；

〔3〕如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？

假设存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；

假设不存在，请说明理由．

36．〔2014年四川绵阳14分〕如图，抛物线

〔a≠0〕的图象过点M

，顶点坐标为N

，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

〔2〕点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

〔3〕在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？

假设存在，求出Q点坐标；

37．〔2014年浙江金华12分〕如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

〔1〕求该抛物线线的函数解析式．

〔2〕直线l的解析式为

，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积．

②当

时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，

垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？

38．〔2014年浙江义乌12

分〕如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？