《专升本高数一》模拟试题与参考答案Word格式.docx

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D．2

8．

B．

9．设有直线

当直线l1与l2平行时，λ等于（）．

A．1

D．一1

10．下列命题中正确的有（）．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：

11～20小题，每小题4分，共40分．

11．

12．

13．

14．

15．

16．

17．

18．

19．

20．

三、解答题．21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．（本题满分8分）

22．（本题满分8分）设y=x+arctanx，求y'

．

23．（本题满分8分）

24．（本题满分8分）计算

25．（本题满分8分）

26．（本题满分10分）

27．（本题满分10分）

28．（本题满分10分）求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平

面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．

模拟试题参考答案

一、选择题

1．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．

2．【答案】B．

【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号

判定曲线的凹凸性．

3．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

4．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

可知应选D．

5．【答案】A．

【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．

故应选A．

6．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

7．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．

8．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.

因此选D．

9．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．

10．【答案】B．

【解析】本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

二、填空题

11．【参考答案】e．

【解析】本题考查的知识点为极限的运算．

12．【参考答案】1．

【解析】本题考查的知识点为导数的计算．

13．【参考答案】x—arctanx+C．

【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．

14．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为定积分运算．

15．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．

解法1将所给表达式两端关于x求导，可得

从而

解法2将所给表达式两端微分，

16．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

17．【参考答案】1．

【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点（0，0）为z的极小值点，极小值为1．

18．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

19．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．

20．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给级数为缺项情形，

三、解答题

21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．

解法1

解法2

【解题指导】

在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．

22.【解析】

23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．

比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化.

24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．

计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】

26．【解析】

27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．

28．【解析】所给曲线围成的图形如图8—1所示．

第二部分（选择题，共40分）

1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

B．e

C．e2

2．

A．凹

B．凸

C．凹凸性不可确定

D．单调减少

A．2

D．一2

5．设f（x）为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0所围成的封

闭图形的面积为（）．

A．

D．不能确定

6．

A．f

（2）－f（0）

D．f

（1）－f（0）

7．

9．

A．条件收敛

B．绝对收敛

C．收敛性与k有关

D．发散

10．

A．Ax

13．设sinx为f（x）的原函数，则f（x）=．

15.已知平面π：

2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为．

16．

18．

三、解答题：

21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．

21．（本题满分8分）

22．（本题满分8分）

23．（本题满分8分）

24．（本题满分8分）

25．（本题满分8分）

26．（本题满分10分）

（1）切点A的坐标（a，a2）．

（2）过切点A的切线方程。

28．（本题满分10分）

【解析】本题考查的知识点为重要极限公式．

2．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导．

当f（x）为连续函数，φ（x）为可导函数时，

因此应选D．

3．【答案】A．

【解析】本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

4．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念．

5．【答案】B．

【解析】本题考查的知识点为定积分的几何意义．

由定积分的几何意义可知应选B．

常见的错误是选C．如果画个草图，则可以避免这类错误．

【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和不定积分的性质．

7．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为复合函数求导．

8．【答案】A．

【解析】本题考查的知识点为偏导数的计算．

可知应选A．

9．【答案】A．

【解析】本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

10．【答案】D．

若利用极限公式

如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得

12．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为导数的四则运算．

13．【参考答案】cosx．

由于sinx为f（x）的原函数，因此f（x）=（sinx）'

=cosx．

【解析】本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

【解析】本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

16．【参考答案】5．

17．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为二重积分的性质．

18．【参考答案】1．

【解析】本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．

由于f'

（1）=2，可知

【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解．

注意此处幂级数为缺项情形．

21．【解析】本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．

22．【解析】本题考查的知识点为参数方程的求导运算．

24．【解析】本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分．

解法2利用微分运算

求二元隐函数的偏导数有两种方法：

25．【解析】本题考查的知识点为将初等函数展开为x的幂级数．

如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法．这要求考生记住几个标准展开式：

26．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程．

α=1．

因此A点的坐标为（1，1）．

过A点的切线方程为y一1=2（x一1）或y=2x一1．

本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧．

27．【解析】本题考查的知识点为：

描述函数几何性态的综合问题．

极小值点为x=一1，极小值为

曲线的凹区间为（一2，+∞）；

曲线的凸区间为（一∞，一2）；

28．【解析】本题考查的知识点为二重积分的物理应用．

解法1利用对称性．

若已知平面薄片D，其密度为f（x，Y），则所给平面薄片的质量M可以由二重积分表示

为

第三部分（选择题，共40分）

－、选择题：

1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．

2．设f（x）在点x0处连续，则下列命题中正确的是（）．

A．f（x）在点x0必定可导

B．f（x）在点x0必定不可导

D．0

4．设函数y＝f（x）的导函数，满足f'

（－1）＝0，当x<

－1时，f'

（x）<

0；

当x>

（x）>

0．则

下列结论肯定正确的是（）．

A．x＝－1是驻点，但不是极值点

B．x＝－1不是驻点

C．x＝－1为极小值点

D．x＝－1为极大值点

5．设函数f（x）＝2sinx，则f'

（x）等于（）．

A．2sinx

B．2cosx

C．－2sinx

D．－2cosx

A．f

（1）－f（0）

B．2[f

（1）－f（0）]

C．2[f

（2）－f（0）]

A．椭球面

B．圆锥面

C．旋转抛物面

D．柱面

9．

为二次积分为（）．

A．必定收敛

B．必定发散

C．收敛性与α有关

D．上述三个结论都不正确

13．

三、解答题：

27．（本题满分10分）

－、选择题

1．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f（x）为分段函数，点x＝1为f（x）的分段点，且在x＝1的两侧，f（x）的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

2．【答案】C．

【解析】本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．

这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C．

3．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．

【解析】本题考查的知识点为极值的第－充分条件．

由f'

（－1）＝0，可知x＝－1为f（x）的驻点，当x<

－1时f'

1，由极值的第－充分条件可知x＝－1为f（x）的极小值点，故应选C．5．【答案】B．

【解析】本题考查的知识点为导数的运算．

f（x）＝2sinx，

f'

（x）＝2（sinx）'

≈2cosx．

可知应选B．

6．【答案】D．

【解析】本题考查的知识点为定积分的性质；

牛顿－莱布尼茨公式．

【解析】本题考查的知识点为二次曲面的方程．

由于

故知应选A．

【解析】本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．

由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

【解析】本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．

11．【参考答案】

【解析】本题考查的知识点为微分的四则运算．

注意若u，v可微，则

13．【参考答案】f'

（0）．

【解析】本题考查的知识点为导数的定义．

由于f（0）＝0,f'

（0）存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f'

（0）存在，并没有给出f'

（x）（x≠0）存在，也没有给出f'

（x）连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

14．【参考答案】－24．

【解析】本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f（x）在（a，b）可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f（x）在[a，b]上的最值：

【解析】本题考查的知识点为：

参数方程形式的函数求导．

【解析】本题考查的知识点为定积分的基本公式．

【解析】本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．

由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为（2，1，－1）．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

18．【参考答案】

（－∞，＋∞）．

【解析】本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为（－∞，＋∞）．

若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．

【解析】本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的－般方法为：

（1）变量分离；

（2）两端积分．

【解析】本题考查的知识点为计算二重积分．

21．【解析】

解法1利用等价无穷小量代换．

解法2利用洛必达法则．

22．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．

23．【解析】本题考查的知识点为求隐函数的微分．

解法1将方程两端关于x求导，可得

解法2将方程两端求微分

若y＝y（x）由方程F（x，y）＝0确定，求dy常常有两种方法．

（1）将方程F（x，y）＝0直接求微分，然后解出dy．

（2）先由方程F（x，y）＝0求y'

，再由dy＝y'

dx得出微分dy．

24．

25．【解析】本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程．

将方程化为标准形式

求解－阶线性微分方程常可以采用两种解法：

解法1利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式y'

＋p（x）y＝q（x），则

解法2利用常数变易法．

原方程相应的齐次微分方程为

令C＝C（x），则y＝C（x）x，代入原方程，可得

可得原方程通解为y＝x（x＋C）．

本题中考生出现的较常见的错误是：

这是由于没有将所给方程化为标准方程而导致的错误．读者应该明确，上述通解公式是标准方程的通解公式．

26．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何应用：

利用定积分表示平面图形的面积；

利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．所给平面图形如图4—1中阴影部分所示，

注这是常见的考试题型，考生应该熟练掌握．

27．【解析】本题考查的知识点为计算二重积分．

将区域D表示为

问题的难点在于写出区域D的表达式．

本题出现的较常见的问题是不能正确地将区域D表示出来，为了避免错误，考生应该画出区域D的图形，利用图形确定区域D的表达式．

与应试模拟第4套第27题相仿，初学者对此常常感到困难．只要画出图来，认真分析－下，就可以写出极坐标系下D的表达式．

28．【解析】本题考查的知识点为导数的应用．

单调增加区间为（0，＋∞）；

单调减少区间为（－∞，0）；

极小值为5，极小值点为x＝0；

注上述表格填正确，则可得满分．

这个题目包含了利用导数判定函数的单调性；

求函数的极值与极值点；

求曲线的凹凸区

间与拐点．