《正弦定理余弦定理的应用》教学案.docx

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《正弦定理余弦定理的应用》教学案

1．3《正弦定理、余弦定理的应用》教学案

●三维目标

1.知识与技能

（1）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；

（2）体会数学建模的基本思想，掌握应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤；

（3）了解常用的测量相关术语（如：

仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义），综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；

（4）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力；

（5）规范学生的演算过程：

逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰．

2.过程与方法

（1）本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；

（2）让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．

3．情感、态度与价值观

（1）激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；

（2）培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神；

（3）培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.

●重点、难点

重点：

（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；

（2）掌握求解实际问题的一般步骤；

难点：

根据题意建立数学模型，画出示意图．

体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想，认识研究实际问题的方法，是本节教学的重中之重，而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析，抽象出数学问题，再利用解三角形的知识加以解决．

教学方案设计

（教师用书独具）

●教学建议

在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上，让学生尝试绘制知识纲目图．生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础．解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会．

测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决．

能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等多媒体工具来进行演示，利用动态效果能使学生更好地明辨是非、掌握方法．

引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

（2）建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

（3）求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；

（4）检验：

检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

●教学流程

⇒⇒⇒⇒⇒⇒

课前自主导学

课标解读

1.巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．（重点）

2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（难点）

知识

实际测量中的有关术语

【问题导思】　

小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，到达学校上课．

1．小明的学校在家的哪个方向？

【提示】　东南方向．

2．能否用角度确定学校的方位？

【提示】　能．

名称

定义

图示

仰角

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角

续表　

名称

定义

图示

俯角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角

方向角

从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）

南偏西60°

（指以正南

方向为始边，

转向目标方

向线形成的

角）

方位角

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角

课堂互动探究

类型1

测量问题

例1　如图1－3－1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，

图1－3－1

在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB为20m，求山高CD.（精确到0.1m）

【思路探究】　DC可放到△BCD中，要求CD，已知∠DBC＝60°，∠CDB＝90°，所以只需求BD或CB，在△ABC中，AB的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB，则CD＝CB·sin60°.

【自主解答】　由条件知∠DBC＝60°，∠ECA＝45°，

∴∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝60°－45°＝15°，

∠CAB＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝135°，

在△ABC中，由正弦定理得＝，

∴BC＝＝＝.

在Rt△BCD中，

CD＝BC·sin∠CBD＝×≈47.3（m）．

∴山高CD约为47.3m.

规律方法

1．本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键．

2．测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题．

变式训练

如图1－3－2所示，空中有一气球C，

图1－3－2

在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它的南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，A，B两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？

【解】　设OC＝x，则OA＝x，OB＝x·tan60°＝x.

在△AOB中，∠AOB＝90°＋60°＝150°，AB＝266，

所以AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB

＝x2＋3x2－2x·x·（－）＝7x2，

所以x＝AB＝×266＝38（米），

所以气球离地（38＋1）米.

类型2

航海问题

例2　甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？

【思路探究】　画图→分析三角形满足条件→选择定理列方程→求相关量→作答

【自主解答】　如图所示：

设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，

∠BAC＝45°＋180°－105°＝120°，

在△ABC中，由余弦定理得，

BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

（v）2＝（×9）2＋102－2××9×10×cos120°，

整理得v＝21.

又由正弦定理可知＝，

∴sinB＝＝×sin120°＝，

∴B≈21°47′.

即B应以每小时21海里的速度，按东偏北45°＋21°47′＝66°47′的角度航行．

规律方法

1．根据题意，恰当地画出三角形是解题的基础，将已知线段数量和角度，转化为要解三角形的边长和角度，是解题的关键．

2．有关角度问题，一般要涉及到方位角、方向角等概念，对这些数据，要恰当转化，合理运用．

变式训练

在海岸A处发现在其北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船以10海里/时的速度追走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

并求出所需要的时间．

【解】　由题意画出示意图如图所示，设缉私船最快追上走私船所需时间为t小时，则CD＝10t，BD＝10t.

∵在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120°，

∴BC＝

＝

＝.

∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝.

∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

∵在△BCD中，由正弦定理得＝，

所以sin∠BCD＝＝＝.

∴∠BCD＝30°或∠BCD＝150°（舍去），

∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝，∴10t＝，∴t＝，

∴缉私船沿北偏东60°方向行驶能最快追上走私船，所需时间为小时.

类型3

平面几何问题

例3　如图1－3－3所示，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，a＜b，D是△ABC内一点，且A

图1－3－3

D＝a，∠ADB＋C＝π，问C为何值时，凹四边形ACBD的面积最大？

并求出最大值．

【思路探究】　在三角形ABD和三角形ABC中分别运用余弦定理，可先求出边BD的长，进而表达出凹四边形ACBD的面积．

【自主解答】　设BD＝x，在△ABC和△ABD中，

根据余弦定理，

得AB2＝a2＋b2－2abcosC，

AB2＝a2＋x2－2axcos∠ADB＝x2＋a2＋2axcosC，

∴a2＋b2－2abcosC＝x2＋a2＋2axcosC，

即x2＋2axcosC＋（2acosC－b）b＝0，

解得x＝b－2acosC，或x＝－b（舍去）．

于是凹四边形ACBD的面积

S＝S△ABC－S△ABD＝absinC－axsin∠ADB

＝absinC－a（b－2acosC）sinC＝a2sin2C.

∴当C＝时，凹四边形ACBD的面积最大，最大值为a2，此时BD＝b－a.

规律方法

1．本例中，以角C为自变量，将凹四边形ACBD的面积表示为角C的三角函数，从而求解最值问题．

2．求解平面图形的面积最值问题，关键是恰当地设立角度为自变量，建立目标函数．

变式训练

如图1－3－4所示，已知扇形OAB，

图1－3－4

O为顶点，圆心角∠AOB＝60°，半径为2cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行于OB的直线和OA相交于C，∠AOP＝β.求△POC的面积的最大值以及此时的β值．

【解】　∵PC∥OB，

∴∠ACP＝∠AOB＝60°.

∴∠PCO＝120°，∠OPC＝60°－β.

在△OCP中，由正弦定理得

＝，

∴OC＝＝，

S△OCP＝·OC·OPsinβ＝××2sinβ

＝＝

＝＝

＝.

故当cos（2β－60°）＝1，即当2β＝60°，β＝30°时，

S△OCP有最大值cm2.

易错易误辨析

过程不严谨，靠主观臆判而致误

典例　如图1－3－5所示的是曲柄连杆装置示意图，连杆AC＝c，

图1－3－5

曲柄AB和曲轴BL所成的角为α，连杆AC和曲轴BL间的夹角为β，则α取什么值时，sinβ最大？

【错解】　∵点A在圆B上运动，

∴要使β，即∠ACB最大，只需点A在最高或最低点即可，

此时，△ABC中，∠ABC＝90°，即α＝90°时，AB＝r，AC＝c，sinβ＝sin∠ACB＝为所求的最大值．

【错因分析】　上述解答中想当然地认为点A在最高或最低点时，sinβ最大，虽然结论正确，但过程不严谨．

【防范措施】　建立目标函数，转化为三角函数最值问题，定量分析．

【正解】　在△ABC中，由正弦定理，得＝，

∴sinβ＝sinα.

由对称性可知，只需讨论α∈[0，π]即可．

∵sinβ＝sinα≤，

∴当且仅当sinα＝1，即α＝时，sinβ最大．

1．基础知识：

（1）有关术语：

仰角、俯角、方向角、方位角；

（2）利用解三角形，求解实际应用题的方法及步骤．

2．基本技能：

（1）测量问题；

（2）航海问题；

（3）力