整理信息与计算科学专业综合课程设计模板杨晓格Word文档下载推荐.docx
《整理信息与计算科学专业综合课程设计模板杨晓格Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整理信息与计算科学专业综合课程设计模板杨晓格Word文档下载推荐.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
姓名：
杨晓格
学号：
11001010129
专业：
信息与计算科学
班级：
110010101
指导老师：
李明
系主任：
刘瑞华
时间：
2013年11月22日
综合课程设计成绩评定书
指
导
教
师
评
语
成绩：
指导教师：
时间：
答辩小
组
意
见
设计成绩：
答辩组长：
审定
系（副）主任：
摘要……………………………………………………………………………4
1前言…………………………………………………………………………5
2复化梯形公式的提出背景…………………………………………………5
3复化梯形公式的算法原理………………………………………………6
3.1复化梯形公式的主要思想……………………………………………6
3.2复化梯形公式的计算方法……………………………………………6
3.3复化梯形公式的积分余项……………………………………………6
4算法流程图…………………………………………………………………7
5C语言算法程序……………………………………………………………8
6算法实现
6.1算法实例………………………………………………………………9
6.2利用MATLAB计算误差的例子………………………………………11
7总结…………………………………………………………………………13
8参考文献……………………………………………………………………13
摘要
利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值。
设将求积区间
分成
等份，则一共有
个分点，按梯形公式计算积分值
，需要提供
个函数值。
整个区间上的复化梯形公式即
利用复化梯形公式计算
和函数
，此外也通过实例分析运用这种方法会产生怎样的误差。
关键字：
分点
函数值
一、
前言
在工程计算中，某些定积分的近似值被广泛应用。
我们在求一些具体的数值时，往往对精度的要求很高，用求积公式计算精确度的方法有很多，各有优缺点。
通过对几种常见的方法加以比较，得出一些具体的选择方法，为提高计算精确度减少了很多复杂的运算。
像复化梯形公式适用对精度不高的运算，比复化梯形公式计算复杂，但结果比复化梯形求积公式计算的精确度要高，更适应精确度的运算，龙贝格计算积分时，不仅可以减少运算量，也可以提高近似值的精确度。
此次主要讨论复化梯形的一些知识。
二、复化梯形公式的提出背景
根据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分
只要找到被积函数
的原函数
，便有下列Newton-Leibniz公式：
.但实际使用这种求积方法往往有困难，一方面
的原函数不易求得,或非常复杂像有很多的被积函数，例如
，
等等，找不到用初等函数表示的原函数；
另一方面,函数
是用函数表形式给出而没有解析式,Newton-Leibniz公式也不能直接运用，这时就采用定积分的数值计算方法,以解决定积分的近似计算。
此外在一些应用中数值求积公式的应用不仅在近似计算本身,在初等数学中,某些数列求前n项之和公式的推导颇为繁琐,应用复化梯形公式可方便地导出这些公式。
复化梯形公式用牛顿——Newton-Leibniz公式来计算
的值的前提是:
的原函数能够求出。
当
的原函数不易求出或找不到时,希望用一个易于求原函数的函数来近似代替被积函数,从而得到定积分的近似计算公式。
下文中梯形公式
就是
常用的近似计算公式。
由定积分的几何意义可知，梯形的面积近似的代替曲边梯形的面积。
如果在整个区间
上，只用单独一个梯形，由求梯形面积公式算出的结果为：
T=（b-a）/2*[f（a）+f（b）]作为
的近似值，往往达不到精度要求，因此通常采用的方法是细分求积区间。
三、复化梯形公式的算法原理
3.1复化梯形公式的主要思想：
利用小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值，符合了计算机计算存储的思想。
在区间
内插入一列分点
使a=
<
L<
=b,相邻两分点间的距离h=
-
称为步长。
均取等步长，即这里
代表步长，分点为
3.2复化梯形公式的计算方法：
每个小区间
上梯形公式是
注意，这里
整个区间上的复化梯形公式是
即
3.3复化梯形公式的积分余项：
，
由于
，且
故存在
使
所以复化梯形公式的积分余项为
四、算法流程图：
五、C语言算法程序
#include<
stdio.h>
math.h>
iostream>
usingnamespacestd;
#defineN400
floatF（floatx）
{
x=exp（x）;
return（x）;
}
intmain（）
floata,b,x[N],sum,T;
intn,i;
printf（"
pleaseinputn="
）;
cin>
>
n;
pleaseinputa="
a;
pleaseinputb="
b;
for（i=0;
i<
n+1;
i++）
{
x[i]=a+i*（b-a）/（float）n;
}
sum=0;
for（i=1;
sum=sum+F（x[i]）;
T=（b-a）/（2*（float）n）*（F（x[0]）+F（x[n]）+2*sum）;
cout<
<
"
T="
T<
endl;
return0;
六、算法实现
6.1算法实例
实例一：
函数，在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在
的值）。
解：
运行程序
（1）显示出“pleaseinputn=”,“pleaseinputa=”,“pleaseinputb=”,依次输入数据，回车。
（2）显示结果如下图：
注：
此时
；
在程序中对应的语句为x=exp（x）;
所求的函数可以定义为其他函数得出目标函数的结果。
实例二：
利用复化梯形公式计算函数
，求在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在
（1）显示出“pleaseinputn=”,“pleaseinputa=”,“pleaseinputb=”，依次输入数据，回车。
在程序中对应的语句为x=sin（x）/x;
6.2利用MATLAB计算误差的例子：
functionf=fx（x）
f=x.^2;
％首先建立被积函数，以便于计算真实值。
a=0;
％积分下线
b=1;
％积分上线
T=[];
％用来装不同n值所计算出的结果
forn=2:
10;
h=（b-a）/n;
％步长
x=zeros（1,n+1）;
％给节点定初值
fori=1:
n+1
x（i）=a+（i-1）*h;
％给节点赋值
end
y=x.^2;
％给相应节点处的函数值赋值
t=0;
n
t=t+h/2*（y（i）+y（i+1））;
％利用复化梯形公式求值
end
T=[T,t];
％把不同n值所计算出的结果装入T中
end
R=ones（1,9）*（-（b-a）/12*h.^2*2）;
％积分余项（计算误差）
true=quad（@fx,0,1）;
％积分的真实值
A=T-true;
％计算的值与真实值之差（实际误差）
x=linspace（0,1,9）;
plot（x,A,'
r'
x,R,'
*'
）％将计算误差与实际误差用图像画出来
由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：
（-（b-a）/12*h.^2*2）
上图是利用复化梯形公式所画出的误差。
其中：
红线是计算误差，‘＊’号是实际误差。
-0.0017是计算误差。
0.0417、0.0185、0.0104、0.00670.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分别为2到10的实际误差。
七．总结
这种求积公式计算比较容易，但是往往因为合理的选取比较困难，同时精确度不高，因此适用于对精确度要求不高的运算，梯形积分公式的方法计算的结果还是有一定的误差。
学习这种算法我懂得了一些积分方法，同时对C语言和MATLAB的运用有了一定的累积，同时也有了一些其他方面的感想。
虽然个人编程方面的知识非常有限，不过当我朝着这方面努力的时候，我感觉自己是满足而且充实的。
正如人生一样，没有付出就不可能有回报，一分耕耘一分收获，而对于年轻的我们来说，唯有努力和付出才能最终到达成功的彼岸。
八.参考文献
[1]张韵华编写.《数值计算方法与算法》（第二版）科学出版社，2006.
[2]苏州大学出版数学编写组.《数学》（第三版）苏州大学出版社，2003.
[3]刘卫国著.《MATLAB程序设计与应用》（第二版）高等教育出版社，2006.
[4]桂德怀编.《高等应用数学》（第二版）苏州大学出版社，2007.
升级会员 