2018年上海高三一模真题汇编——三角比三角函数专题.docx
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2018年一模汇编——三角比三角函数专题
一、知识梳理
【知识点1】三角比求值
【例1】已知是第二象限的角，且，利用表示.
【答案】.
【解析】由是第二象限的角，知，.
【点评】熟练掌握由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.
【例2】已知且，则.
【答案】.
【解析】由平方得，又由知.
则有.，得.
有，所以.
【点评】此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.
【知识点2】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式
【例1】设且求
【答案】－.
【解析】
故由得
由得
【点评】两角和与差公式、诱导公式、倍角公式等在应用时，都比较注重寻求角与角的联系，尤其是建立已知角与所求角的联系.
【例2】已知求证
【解析】由题设：
即
∴
∴
【点评】注意题设中的角和结论中角的关系.
【知识点3】万能公式
【例1】已知，求的值.
【答案】.
【解析】由得：
，则或.又，所以.由万能公式得，.知.
【点评】先通过正余弦的齐次式处理方法求出正切值，再根据万能公式得出答案.
【知识点4】正余弦定理
【例1】有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：
“在中，角A，B，C所对的边分别为已知______________，求角．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示试将条件补充完整．
【答案】.
【解析】由得正弦定理得.
【点评】此题很容易由得,但答案不能填，否则题目中的答案角算出来有两解不符合题意.
【例2】在△ABC中，分别是对边的长.已知成等比数列，且，求的大小及的值.
【答案】，.
【解析】由成等比数列得，则化成，由余弦定理得，.由得，所以=.
【点评】三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题.
【知识点5】判断三角形形状
【1】在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ）
A、等腰直角三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等边三角形.
【答案】C.
【解析】在三角形ABC中：
，
则.所以△ABC是等腰三角形.
【点评】判断三角形形状一般有两种思路，一是通过角的转化，二是用边的关系。
此题也可以通过正余弦定理转化为边的关系去解题.
【知识点6】解三角形应用题
【例1】如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到
C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，
，
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
【答案】
（1）的长为1040米；
（2）当（min）时，甲、乙两游客距离最短.
【解析】
（1）在中，∵，，∴，，……2分
…………………………5分
由正弦定理，得，……………………………7分
所以索道的长为1040米………………………………………………………………8分
（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为米，
此时，甲行走了米，乙距离处米，
由余弦定理得：
……11分
∵，即，……………………………………………………………12分
故当（min）时，甲、乙两游客距离最短……………………………………………14分
【点评】熟练运用正余弦定理，读懂题意，找到函数关系，转化为函数求最值问题.
【知识点7】三角函数周期、最值、单调性
【例1】函数的最小正周期为；最大值为；单调递增区间为；在区间上，方程的解集为.
【答案】；2；；.
【解析】由.所以函数的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足，，即；由，则，
或得或，又由得解集为.
【点评】欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：
；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周期的一半.
【例2】已知函数，求的最大值与最小值.
【答案】最大、最小值分别为与.
【解析】函数.由，则，，所以函数的最大、最小值分别为与.
【点评】当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.
【例3】已知函数，其中常数．若在上单调递增，则的取值范围为_______.
【答案】.
【解析】因为，根据题意有．
【点评】本题一个要注意最终答案要加上题干中的这个条件，另一方面其实就只能是的子区间．
【知识点8】三角函数对称性
【例1】若函数的图像关于点成中心对称，则_______.
【答案】.
【解析】由的图像关于点成中心对称知，.
【点评】正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点.
【例2】已知函数，且是偶函数，则满足条件的最小正数_______.
【答案】.
【解析】是偶函数，则是它图像的一条对称轴.时，函数取最大（小）值.，.所以满足条件的最小正数.
【点评】正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点.
【知识点9】三角函数图像变换
【例1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A、向右平移个单位； B、向右平移个单位；
C、向左平移个单位； D、向左平移个单位.
【答案】A
【解析】，故应选A.
【点评】当函数名不一样的时候，可以先通过诱导公式变成同名再作其他变换.
【知识点10】三角函数性质综合
【例1】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
【答案】，.
【解析】由是上的偶函数，得，即，
展开整理得：
，对任意都成立，且，所以．
又，所以．由的图象关于点对称，
得．取，得，所以，∴．所以，．即；
；；综上所得，
【点评】此类题型一般利用奇偶性、单调性先把的通解解出，再根据题目条件确定的取值.
【例2】已知,,且在区间有最小值,无最大值,则．
【答案】．
【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以．又,所以当时,；当时,,此时在区间内有最大值,故．
【点评】结合三角函数图像解题更加直观．
【知识点11】反三角函数和最简三角方程
【例1】已知，若，求实数a的取值范围．
【答案】．
【解析】的定义域是，
而和在上都是增函数，又都是奇函数，
∴在上既是增函数，又是奇函数．
∴解得a的取值范围为.
【点评】熟记反三角函数的定义域、值域及基本性质是解决反三角类型的关键.
【例2】求的取值范围，使得关于的方程在上
（1）无解；
（2）仅有一解； （3）有两解.
【答案】
（1）；
（2）； （3）；
【解析】用分离参数的方法，
只需要考虑与函数的交点个数就是方程解的个数，
令，
则函数，画出二次函数在上的图像，
观察常值函数与二次函数的交点个数，可知
（1）当时，两函数图像没有交点，即原方程无解；
（2）当时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解；
（3）当时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解.
【点评】分离参数是处理方程有解问题的常用方法，此题也可以用换元法，转化为二次方程根的分布问题.
二、一模真题汇编
一、填空题
1.（宝山区2018年一模3题）函数的最小正周期为.
【答案】.
2.（青浦区2018年一模4题）函数的最大值为.
【答案】.
3.（虹口区2018年一模4题）在中，、、所对边分别是、、，若，则.
【答案】.
4.（虹口区2018年一模9题）已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则的面积等于.
【答案】.
5.（松江区2018年一模5题）已知角的终边与单位圆交于点，则.
【答案】.
6.（松江区2018年一模7题）函数的图像与的图像在区间上交点的个数是．
【答案】.
7.（杨浦区2018年一模3题）已知，则.
【答案】.
8.（杨浦区2018年一模9题）在中，若、、成等比数列，则角的最大值为.
【答案】.
9.（杨浦区2018年一模11题）已知函数，，设，若函数为奇函数，则的值为.
【答案】.
10.（徐汇区2018年一模8题）某船在海平面处测得灯塔在北偏东30°方向，与相距6.0海里，船由向正北方向航行8.1海里到达处，这时灯塔与船相距海里（精确到0.1海里）.
【答案】.
11.（长宁嘉定区2018年一模3题）已知，则.
【答案】.
12.（长宁嘉定区2018年一模8题）在中，角、、所对的边分别为、、，若，则.
【答案】.
13.（普陀区2018年一模2题）若，则.
【答案】.
14.（普陀区2018年一模6题）函数的值域为.
【答案】.
15.（浦东区2018年一模11题）已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有
成立，则的最小值为.
【答案】.
16.（奉贤区2018年一模4题）已知，且，则.
【答案】.
17.（奉贤区2018年一模12题）已知函数是上的偶函数，图
像关于点对称，在是单调函数，则符合条件的数组有________对.
【答案】.
18.（崇明区2018年一模6题）若函数的最小正周期是，则.
【答案】.
二、选择题
1.（青浦区2018年一模14题）已知函数，若对任意实数，都，
则的最小值是（）
A、；B、；
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