教师用书 转Word 12章 集合逻辑 函数Word文件下载.docx

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（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）任何集合都有两个子集.（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

解析　

（1）错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.

（2）错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；

集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；

集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.

（3）错误.当x＝1，不满足互异性.

（4）错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

2.（必修1P7练习2改编）若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是（　　）

A.{a}⊆AB.a⊆A

C.{a}∈AD.a∉A

解析　由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2，知a∉A.

答案　D

3.（2016·

全国Ⅰ卷）设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（　　）

A.{1，3}B.{3，5}

C.{5，7}D.{1，7}

解析　因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.

答案　B

4.（2017·

杭州模拟）设全集U＝{x|x∈N*，x<

6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}

解析　由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}.

5.（2017·

绍兴调研）已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<

5}，则A∪B＝________，（∁UA）∩B＝________.

解析　∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<

5}，∴A∪B＝{x|x≥0}，（∁UA）∩B＝{x|0≤x<

2}.

答案　{x|x≥0}　{x|0≤x<

2}

6.已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

答案　2

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A.1B.3C.5D.9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.B.C.0D.0或

解析　

（1）当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；

当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.

当a＝0时，x＝，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝，

所以a的取值为0或.

答案　

（1）C　

（2）D

规律方法　

（1）第

（1）题易忽视集合中元素的互异性误选D.第

（2）题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.

（2）用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

【训练1】

（1）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

（2）由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝不合题意，舍去；

当a≠0时，Δ＝9＋8a<

0，∴a<

－.

答案　

（1）2　

（2）

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A.ABB.BAC.A⊆BD.B＝A

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<

x<

2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________.

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图.

则解得2<

m≤4.

综上，m的取值范围为（－∞，4].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　

（1）若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（2017·

镇海中学质检）若集合A＝{x|x>

0}，且B⊆A，则集合B可能是（　　）

A.{1，2}B.{x|x≤1}

C.{－1，0，1}D.R

（2）（2016·

郑州调研）已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A.2B.－1

C.－1或2D.或2

解析　

（1）因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确.

（2）由＝，得x＝2，则A＝{2}.

因为B＝{1，m}且A⊆B，

所以m＝2.

答案　

（1）A　

（2）A

考点三　集合的基本运算

【例3】

（1）（2015·

全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A.5B.4C.3D.2

浙江卷）设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A.[2，3]B.（－2，3]

C.[1，2）D.（－∞，－2）∪[1，＋∞）

解析　

（1）集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.

（2）易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.

∴∁RQ＝{x|－2<

2}，

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪（∁RQ）＝{x|－2<

x≤3}.

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.

（2）一般地，集合元素离散时用Venn图表示；

集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

【训练3】

（1）（2017·

石家庄模拟）设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<

6}，则下列结论正确的是（　　）

A.N⊆MB.N∩M＝∅

C.M⊆ND.M∩N＝R

山东卷）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A.{2，6}B.{3，6}

C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}

解析　

（1）易知N＝（－2，3），且M＝{－1，1}，∴M⊆N.

（2）∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，

又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U（A∪B）＝{2，6}.

答案　

（1）C　

（2）A

[思想方法]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；

对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.（2015·

全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则（　　）

A.A＝BB.A∩B＝∅

C.ABD.BA

解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，

∴BA.

2.（2016·

全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<

9}，则A∩B＝（　　）

A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}

C.{1，2，3}D.{1，2}

解析　由于B＝{x|x2<

9}＝{x|－3<

3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.

3.（2017·

肇庆模拟）已知集合A＝{x|lgx>

0}，B＝{x|x≤1}，则（　　）

A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B

解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>

0}＝（1，＋∞），∴A∪B＝R.

4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是（　　）

A.（－∞，－1]B.[1，＋∞）

C.[－1，1]D.（－∞，－1]∪[1，＋∞）

解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，

得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].

答案　C

5.（2016·

山东卷）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<

0}，则A∪B＝（　　）

A.（－1，1）B.（0，1）

C.（－1，＋∞）D.（0，＋∞）

解析　由y＝2x，x∈R，知y>

0，则A＝（0，＋∞）.

又B＝{x|x2－1<

0}＝（－1，1）.

因此A∪B＝（－1，＋∞）.

6.（2016·

浙江卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则（∁UP）∪Q＝（　　）

A.{1}B.{3，5}

C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}

解析　∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，∴∁UP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴（∁UP）∪Q＝{1，2，4，6}.

7.若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A.1B.3C.7D.31

解析　具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，，.

8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}

C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<

1}

解析　

∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.

∴∁U（A∪B）＝{x|0<

1}.

二、填空题

9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>

0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.

解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>

0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案　（－∞，1]

10.（2017·

宁波调研）集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A∩B＝________；

A∪B＝________；

∁BA＝________.

解析　A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A⊆B，∴|x|＝1，∴A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1}，∁BA＝{－1}.

答案　{0，1}　{－1，0，1}　{－1}

11.集合A＝{x|x<

0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.

解析　由x（x＋1）>

0，得x<

－1或x>

0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1，0）.

答案　[－1，0）

12.（2017·

湖州质检）已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|x<

m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.

解析　由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，

又B＝{x|x<

m＋1}，且A⊆B，

所以m＋1>

2017，则m>

2016.

答案　（2016，＋∞）

13.（2017·

金华模拟）设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln（x－1）}，则A＝________，B＝________，A∩（∁RB）＝________.

解析　当x＝0，1，2，5时，的值分别为6，3，2，1，当x∈N且x≠0，1，2，5时，∉N，∴A＝{0，1，2，5}，由x－1>

0，得x>

1，∴B＝{x|x>

1}，∁RB＝{x|x≤1}，∴A∩（∁RB）＝{0，1}.

答案　{0，1，2，5}　{x|x>

1}　{0，1}

能力提升题组

10分钟）

14.（2016·

全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>

0}，则（∁RS）∩T＝（　　）

A.[2，3]B.（－∞，－2）∪[3，＋∞）

C.（2，3）D.（0，＋∞）

解析　易知S＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∴∁RS＝（2，3），

因此（∁RS）∩T＝（2，3）.

15.（2016·

黄山模拟）

集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<

0}，B＝{x|y＝

ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<

C.{x|0<

x≤1}D.{x|x≤1}

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<

16.（2017·

南昌十所省重点中学模拟）设集合A＝，B＝{x|y＝ln（x2－3x）}，则A∩B中元素的个数是________.

解析　由≤2x≤16，x∈N，

∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.

又x2－3x>

0，知B＝{x|x>

3或x<

∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.

答案　1

17.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<

3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<

0}，且A∩B＝（－1，n），则m＋n＝________.

解析　A＝{x∈R||x＋2|<

3}＝{x∈R|－5<

1}，

由A∩B＝（－1，n）可知m<

1，

则B＝{x|m<

2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

所以m＋n＝0.

答案　0

18.（2017·

丽水质检）若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足＋＝，则称a，b，c是调和的；

若满足a＋c＝2b，则称a，b，c是等差的，若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”，若集合M＝{x||x|≤2014，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}⊆M，则

（1）“好集”P中的元素最大值为________；

（2）“好集”P的个数为________.

解析　

（1）由题意得，⇒＋＝⇒c（a＋c）＋2ac＝2a（a＋c）⇒c2＋ac－2a2＝0⇒（c＋2a）（c－a）＝0，∵c≠a，∴c＝－2a，b＝＝－，∴c＝4b，令－2014≤4b≤2014，得－503≤b≤503，∴P中最大元素为4b＝4×

503＝2012.

（2）由

（1）知P＝{－2b，b，4b}且－503≤b≤503，所以“好集”P的个数为2×

503＝1006.

答案　

（1）2012　

（2）1006

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

p是q的必要不充分条件

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

q且q

（1）“x2＋2x－3<

0”是命题.（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（　　）

解析　

（1）错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

（2）错误.否命题既否定条件，又否定结论.

　（3）√　（4）√

2.（选修2－1P6练习改编）命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠，则tanα≠1B.若α＝，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α＝

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：

tanα≠1，綈p：

α≠，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”.

天津卷）设x>

0，y∈R，则“x>

y”是“x>

|y|”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析　x>

y

x>

|y|（如x＝1，y＝－2）.

但x>

|y|时，能有x>

y.

∴“x>

|y|”的必要不充分条件.

4.命题“若a>

－3，则a>

－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；

其逆命题为“若a>

－6，则a>

－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.

舟山双基检测）已知函数f（x）的定义域为R，则命题p：

“函数f（x）为偶函数”是命题q：

“∃x0∈R，f（x0）＝f（－x0）”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　若f（x）为偶函数，则有f（x）＝f（－x），所以p⇒q；

若f（x）＝x，当x＝0时，f（0）＝f（－0），而f（x）＝x为奇函数，所以q

p.

∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.

答案　A

6.（2017·

温州调研）已知命题p：

“若a2＝b2，则a＝b”，则命题p的否命题为________，该否命题是一个________命题（填“真”，“假”）.

解析　由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a＝b，则a2＝b2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.

答案　“若a2≠b2，则a≠b”　真

考点一　四种命题的关系及其真假判断

【例1】

（1）命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为（　　）

A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A.真、假、真B.假、假、真

C.真、真、假D.假、假、假

解析　

（1）根据逆否命题的定义可以排除A，D；

由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.

（2）由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；

取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.

答案　

（1）C　

（2）B

规律方法　

（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；

如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；

判断一个命题为假命题，只需举出反例.

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”