教师用书 转Word 12章 集合逻辑 函数Word文件下载.docx
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(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
解析
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);
集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);
集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(必修1P7练习2改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
解析 由题意知A={0,1,2,3},由a=2,知a∉A.
答案 D
3.(2016·
全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )
A.{1,3}B.{3,5}
C.{5,7}D.{1,7}
解析 因为A={1,3,5,7},而3,5∈A且3,5∈B,所以A∩B={3,5}.
答案 B
4.(2017·
杭州模拟)设全集U={x|x∈N*,x<
6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )
A.{1,4}B.{1,5}C.{2,5}D.{2,4}
解析 由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.
5.(2017·
绍兴调研)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<
5},则A∪B=________,(∁UA)∩B=________.
解析 ∵A={x|x≥2},B={x|0≤x<
5},∴A∪B={x|x≥0},(∁UA)∩B={x|0≤x<
2}.
答案 {x|x≥0} {x|0≤x<
2}
6.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.B.C.0D.0或
解析
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
所以a的取值为0或.
答案
(1)C
(2)D
规律方法
(1)第
(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第
(2)题集合A中只有一个元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形.
(2)用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=________.
(2)已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解析
(1)因为{1,a+b,a}=,a≠0,
所以a+b=0,且b=1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
(2)由A=∅知方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=不合题意,舍去;
当a≠0时,Δ=9+8a<
0,∴a<
-.
答案
(1)2
(2)
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BAC.A⊆BD.B=A
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<
x<
2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
解析
(1)易知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}.
因此BA.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则解得2<
m≤4.
综上,m的取值范围为(-∞,4].
答案
(1)B
(2)(-∞,4]
规律方法
(1)若B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
【训练2】
(1)(2017·
镇海中学质检)若集合A={x|x>
0},且B⊆A,则集合B可能是( )
A.{1,2}B.{x|x≤1}
C.{-1,0,1}D.R
(2)(2016·
郑州调研)已知集合A={x|=,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( )
A.2B.-1
C.-1或2D.或2
解析
(1)因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确.
(2)由=,得x=2,则A={2}.
因为B={1,m}且A⊆B,
所以m=2.
答案
(1)A
(2)A
考点三 集合的基本运算
【例3】
(1)(2015·
全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )
A.[2,3]B.(-2,3]
C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞)
解析
(1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
(2)易知Q={x|x≥2或x≤-2}.
∴∁RQ={x|-2<
2},
又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁RQ)={x|-2<
x≤3}.
答案
(1)D
(2)B
规律方法
(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.
(2)一般地,集合元素离散时用Venn图表示;
集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
【训练3】
(1)(2017·
石家庄模拟)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<
6},则下列结论正确的是( )
A.N⊆MB.N∩M=∅
C.M⊆ND.M∩N=R
山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )
A.{2,6}B.{3,6}
C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}
解析
(1)易知N=(-2,3),且M={-1,1},∴M⊆N.
(2)∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5},
又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}.
答案
(1)C
(2)A
[思想方法]
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
基础巩固题组
(建议用时:
25分钟)
一、选择题
1.(2015·
全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
A.A=BB.A∩B=∅
C.ABD.BA
解析 ∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,
∴BA.
2.(2016·
全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<
9},则A∩B=( )
A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3}D.{1,2}
解析 由于B={x|x2<
9}={x|-3<
3},又A={1,2,3},因此A∩B={1,2}.
3.(2017·
肇庆模拟)已知集合A={x|lgx>
0},B={x|x≤1},则( )
A.A∩B≠∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B
解析 由B={x|x≤1},且A={x|lgx>
0}=(1,+∞),∴A∪B=R.
4.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.[1,+∞)
C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析 因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,
得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1].
答案 C
5.(2016·
山东卷)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<
0},则A∪B=( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,+∞)D.(0,+∞)
解析 由y=2x,x∈R,知y>
0,则A=(0,+∞).
又B={x|x2-1<
0}=(-1,1).
因此A∪B=(-1,+∞).
6.(2016·
浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=( )
A.{1}B.{3,5}
C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}
解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},∴∁UP={2,4,6},∵Q={1,2,4},∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6}.
7.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1B.3C.7D.31
解析 具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},,.
8.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<
1}
解析
∵A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0或x≥1},在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)={x|0<
1}.
二、填空题
9.已知集合A={x|x2-2x+a>
0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
解析 ∵1∉{x|x2-2x+a>
0},
∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1.
答案 (-∞,1]
10.(2017·
宁波调研)集合A={0,|x|},B={1,0,-1},若A∪B=B,则A∩B=________;
A∪B=________;
∁BA=________.
解析 A={0,|x|},B={1,0,-1},若A∪B=B,则A⊆B,∴|x|=1,∴A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1},∁BA={-1}.
答案 {0,1} {-1,0,1} {-1}
11.集合A={x|x<
0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B=________.
解析 由x(x+1)>
0,得x<
-1或x>
0,
∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞),
∴A-B=[-1,0).
答案 [-1,0)
12.(2017·
湖州质检)已知集合A={x|x2-2016x-2017≤0},B={x|x<
m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________.
解析 由x2-2016x-2017≤0,得A=[-1,2017],
又B={x|x<
m+1},且A⊆B,
所以m+1>
2017,则m>
2016.
答案 (2016,+∞)
13.(2017·
金华模拟)设集合A={x∈N|∈N},B={x|y=ln(x-1)},则A=________,B=________,A∩(∁RB)=________.
解析 当x=0,1,2,5时,的值分别为6,3,2,1,当x∈N且x≠0,1,2,5时,∉N,∴A={0,1,2,5},由x-1>
0,得x>
1,∴B={x|x>
1},∁RB={x|x≤1},∴A∩(∁RB)={0,1}.
答案 {0,1,2,5} {x|x>
1} {0,1}
能力提升题组
10分钟)
14.(2016·
全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>
0},则(∁RS)∩T=( )
A.[2,3]B.(-∞,-2)∪[3,+∞)
C.(2,3)D.(0,+∞)
解析 易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),∴∁RS=(2,3),
因此(∁RS)∩T=(2,3).
15.(2016·
黄山模拟)
集合U=R,A={x|x2-x-2<
0},B={x|y=
ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<
C.{x|0<
x≤1}D.{x|x≤1}
解析 易知A=(-1,2),B=(-∞,1),∴∁UB=[1,+∞),A∩(∁UB)=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<
16.(2017·
南昌十所省重点中学模拟)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是________.
解析 由≤2x≤16,x∈N,
∴x=0,1,2,3,4,即A={0,1,2,3,4}.
又x2-3x>
0,知B={x|x>
3或x<
∴A∩B={4},即A∩B中只有一个元素.
答案 1
17.已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<
0},且A∩B=(-1,n),则m+n=________.
解析 A={x∈R||x+2|<
3}={x∈R|-5<
1},
由A∩B=(-1,n)可知m<
1,
则B={x|m<
2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
所以m+n=0.
答案 0
18.(2017·
丽水质检)若三个非零且互不相等的实数a,b,c满足+=,则称a,b,c是调和的;
若满足a+c=2b,则称a,b,c是等差的,若集合P中元素a,b,c既是调和的,又是等差的,则称集合P为“好集”,若集合M={x||x|≤2014,x∈Z},集合P={a,b,c}⊆M,则
(1)“好集”P中的元素最大值为________;
(2)“好集”P的个数为________.
解析
(1)由题意得,⇒+=⇒c(a+c)+2ac=2a(a+c)⇒c2+ac-2a2=0⇒(c+2a)(c-a)=0,∵c≠a,∴c=-2a,b==-,∴c=4b,令-2014≤4b≤2014,得-503≤b≤503,∴P中最大元素为4b=4×
503=2012.
(2)由
(1)知P={-2b,b,4b}且-503≤b≤503,所以“好集”P的个数为2×
503=1006.
答案
(1)2012
(2)1006
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
q且q
(1)“x2+2x-3<
0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
解析
(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.
(3)√ (4)√
2.(选修2-1P6练习改编)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,显然綈q:
tanα≠1,綈p:
α≠,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”.
天津卷)设x>
0,y∈R,则“x>
y”是“x>
|y|”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析 x>
y
x>
|y|(如x=1,y=-2).
但x>
|y|时,能有x>
y.
∴“x>
|y|”的必要不充分条件.
4.命题“若a>
-3,则a>
-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;
其逆命题为“若a>
-6,则a>
-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
舟山双基检测)已知函数f(x)的定义域为R,则命题p:
“函数f(x)为偶函数”是命题q:
“∃x0∈R,f(x0)=f(-x0)”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若f(x)为偶函数,则有f(x)=f(-x),所以p⇒q;
若f(x)=x,当x=0时,f(0)=f(-0),而f(x)=x为奇函数,所以q
p.
∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.
答案 A
6.(2017·
温州调研)已知命题p:
“若a2=b2,则a=b”,则命题p的否命题为________,该否命题是一个________命题(填“真”,“假”).
解析 由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2,则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a=b,则a2=b2”是一个真命题,∴否命题是一个真命题.
答案 “若a2≠b2,则a≠b” 真
考点一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】
(1)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )
A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题
B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题
C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题
D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真、假、真B.假、假、真
C.真、真、假D.假、假、假
解析
(1)根据逆否命题的定义可以排除A,D;
由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题.
(2)由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真;
取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.
答案
(1)C
(2)B
规律方法
(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;
如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;
判断一个命题为假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”