步步高大一轮复习讲义数学210函数模型及其应用Word格式.docx

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[难点正本　疑点清源]

解决函数应用问题重点解决以下问题

（1）阅读理解、整理数据：

通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；

（2）建立函数模型：

关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；

（3）求解函数模型：

主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用；

（4）回答实际问题结果：

将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．

1．某物体一天中的温度T（单位：

℃）是时间t（单位：

h）的函数：

T（t）＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．

2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是________万元．

3．（课本改编题）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______________．

4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

　A．5千米处B．4千米处

C．3千米处D．2千米处

5．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同（设为x），则以下结论正确的是（　　）

A．x>

22%B．x<

22%

C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定

题型一　一次函数、二次函数模型

例1　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；

B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：

利润和投资单位：

万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：

如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？

其最大利润约为多少万元？

探究提高　

（1）在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0），构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解．

（2）有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解决．

（3）在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．

用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高与宽应各为多少？

题型二　分段函数模型

例2　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为

y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

（1）当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？

如果获利，求出最大利润；

如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

探究提高　本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．

某市居民自来水收费标准如下：

每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

题型三　指数函数、幂函数模型

例3　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？

（参考数据：

1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039）

探究提高　此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

已知某物体的温度θ（单位：

摄氏度）随时间t（单位：

分钟）的变化规律是：

θ＝m·

2t＋21－t（t≥0，并且m>

0）．

（1）如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；

（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

3.函数建模及函数应用问题

试题：

（12分）

在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营

状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给

了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该

店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活

费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的

资料中有：

①这种消费品的进价为每件14元；

②该店月销量

Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；

③每月需各种开支2000元．

（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？

并求最大余额；

（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

审题视角　

（1）认真阅读题干内容，理清数量关系．

（2）分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．（3）建立函数模型，确定解决模型的方法．

规范解答

解　设该店月利润余额为L，

则由题设得L＝Q（P－14）×

100－3600－2000，①

由销量图易得Q＝[2分]

代入①式得

L＝[4分]

（1）当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；

当20<

P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．

故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分]

（2）设可在n年内脱贫，

依题意有12n×

450－50000－58000≥0，解得n≥20.

即最早可望在20年后脱贫．[12分]

解函数应用题的一般程序是：

第一步：

审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数

量关系；

第二步：

建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知

识建立相应的数学模型；

第三步：

求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：

还原——将用数学方法得到的结论还原为实际

问题的意义．

第五步：

反思回顾——对于数学模型得到的数学解，

必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

批阅笔记　

（1）本题经过了三次建模：

①根据月销量图建立Q与P的函数关系；

②建立利润余额函数；

③建立脱贫不等式．

（2）本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．

（3）在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误．

方法与技巧

解答数学应用题关键有两点：

一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题；

二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案．

失误与防范

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

课时规范训练

（时间：

60分钟）

A组　专项基础训练题组

一、选择题

1．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成n的函数，则其表达式为（　　）

　A．y＝（3n＋5）1.2n＋2.4

B．y＝8×

1.2n＋2.4n

C．y＝（3n＋8）1.2n＋2.4

D．y＝（3n＋5）1.2n－1＋2.4

2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个．商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；

若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，则商品的售价应定为（　　）

A．10元B．15元

C．20元D．25元

3．某电信公司推出两种手机收费方式：

A种方式是月租20元，B种

方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电

话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电

话费相差（　　）

A．10元B．20元C．30元D.元

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客

车营运的总利润y（单位：

10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关

系（如右图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大

（　　）

A．3B．4C．5D．6

二、填空题

5．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台．已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．设B市运往C村机器x台，若要求运费W不超过9000元，共有________种调运方案．

6．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：

①f（x）＝pqx，②f（x）＝logax＋q，③f（x）＝（x－1）（x－q）2＋p（其中p，q为正常数，且q>

2）．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；

若f

（1）＝4，f（3）＝6，则所选函数f（x）的解析式为__________________________．

7．（2010·

浙江）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．

三、解答题

8．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

B组　专项能力提升题组

1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（　　）

A．45.606万元B．45.6万元

C．45.56万元D．45.51万元

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（　　）

3．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，

开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）

备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（　　）

A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14

4．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm

的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积

最大，这页书的长、宽应分别为____________．

5．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．

6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________．

7．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，

要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝

3米，AD＝2米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？

并求出最小值．

8．（2011·

湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/时）是车流密度x（单位：

辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；

当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：

当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/时）f（x）＝x·

v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）

答案

要点梳理

1．

（2）①ax>

xn　②logax<

xn　ax>

xn>

logax

基础自测

1．78℃　2.2500

3．y＝a（1＋r）x，x∈N*　4.A　5.B

题型分类·

深度剖析

例1　解　

（1）设甲、乙两种产品分别投资x万元（x≥0），所获利润分别为f（x）、g（x）万元，

由题意可设f（x）＝k1x，g（x）＝k2，

∴根据图像可解得f（x）＝0.25x（x≥0），

g（x）＝2（x≥0）．

（2）①由

（1）得f（9）＝2.25，g（9）＝2＝6，

∴总利润y＝8.25（万元）．

②设B产品投入x万元，A产品投入（18－x）万元，该企业可获总利润为y万元，

则y＝（18－x）＋2，0≤x≤18.

令＝t，t∈[0,3]，

则y＝（－t2＋8t＋18）

＝－（t－4）2＋.

∴当t＝4时，ymax＝＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.

∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元．

变式训练1　框架的高度为3m，宽度为1.5m

例2　解　

（1）当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，

则S＝200x－

＝－x2＋400x－80000

＝－（x－400）2，

所以当x∈[200,300]时，S<

0，因此该单位不会获利．

当x＝300时，S取得最大值－5000，

所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．

（2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为：

＝

①当x∈[120,144）时，

＝x2－80x＋5040

＝（x－120）2＋240，

所以当x＝120时，取得最小值240.

②当x∈[144,500]时，

＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.

因为200<

240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

变式训练2　解　

（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，

y＝1.8（5x＋3x）＝14.4x；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>

4时，y＝4×

1.8＋3x×

1.8＋3（5x－4）＝20.4x－4.8.

当乙的用水量超过4吨，即3x>

4时，

y＝2×

4×

1.8＋3×

[（3x－4）＋（5x－4）]

＝24x－9.6.

所以y＝

（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单调递增，

当x∈时，y≤f<

26.4；

当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.

所以甲户用水量为5x＝5×

1.5＝7.5吨，

付费S1＝4×

1.8＋3.5×

3＝17.70（元）；

乙户用水量为3x＝4.5吨，

付费S2＝4×

1.8＋0.5×

3＝8.70（元）．

例3　解　

（1）1年后该城市人口总数为

y＝100＋100×

1.2%＝100×

（1＋1.2%），

2年后该城市人口总数为

y＝100×

（1＋1.2%）＋100×

（1＋1.2%）×

（1＋1.2%）2.

3年后该城市人口总数为

（1＋1.2%）2＋100×

（1＋1.2%）2×

（1＋1.2%）3.

x年后该城市人口总数为

（1＋1.2%）x.

（2）10年后，人口总数为100×

（1＋1.2%）10≈112.7（万人）．

（3）设x年后该城市人口将达到120万人，

即100×

（1＋1.2%）x＝120，

x＝log1.012＝log1.0121.20≈16（年）．

（4）由100×

（1＋x%）20≤120，

得（1＋x%）20≤1.2，两边取对数得

20lg（1＋x%）≤lg1.2≈0.079，

所以lg（1＋x%）≤＝0.00395，

所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，

即年自然增长率应该控制在0.9%.

变式训练3　解　

（1）若m＝2，

则θ＝2·

2t＋21－t＝2，

当θ＝5时，2t＋＝，令2t＝x≥1，

则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝（舍去），此时t＝1.

所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．

（2）物体的温度总不低于2摄氏度，

即θ≥2恒成立，亦m·

2t＋≥2恒成立，

亦即m≥2恒成立．

令＝x，则0<

x≤1，∴m≥2（x－x2），

由于x－x2≤，∴m≥.

因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.

A组

1．A　2.C　3.A　4.C　5.3

6．③　f（x）＝x3－9x2＋24x－12（1≤x≤12，且x∈Z）

7．20

8．解　

（1）每吨平均成本为（万元）．

则＝＋－48≥2－48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号．

∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．

（2）设年获得总利润为R（x）万元，

则R（x）＝40x－y＝40x－＋48x－8000

＝－＋88x－8000

＝－（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．

∵R（x）在[0,210]上是增函数，

∴x＝210时，R（x）有最大值为－（210－220）2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．

B组

1．B　2.A　3.A　4.30cm、20cm

5．2400　6.y＝x（x∈N*）

7．解　

（1）设DN的长为x（x>

0）米，

则AN＝（x＋2）米．

∵＝，∴AM＝，

∴SAMPN＝AN·

AM＝.

由SAMPN>

32，得>

32，又x>

0，

得3x2－20x＋12>

解得：

0<

x<

或x>

6，

即DN长的取值范围是∪（6，＋∞）．

（2）矩形花坛AMPN的面积为

y＝＝

＝3x＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当3x＝，即x＝2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.

故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．

8．解　

（1）由题意，当0≤x≤20时，v（x）＝60；

当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，

再由已知得解得

故函数v（x）的表达式为

v（x）＝

（2）依题意并由

（1）可得

f（x）＝

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，

故当x＝20时，其最大值为60×

20＝1200；

x≤200时，f（x）＝x（200－x）≤2＝，

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以当x＝100时，f（x）在区间（20,200]上取得最大值.

综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值≈3333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．