三角函数恒等变换教案.docx

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三角函数恒等变换教案

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

二、教学重、难点

1.教学重点：

两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

2.教学难点：

两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

三、学法与教学用具

学法：

研讨式教学

四、教学设想：

（一）复习式导入：

大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

；．

这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？

提示：

在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

．

让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

．

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？

（分式分子、分母同时除以，得到．

注意：

以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

注意：

．

（二）例题讲解

例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）、；

（2）、；（3）、．

解：

分析：

解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

（1）、；

（2）、；

（3）、．

例2

例3、化简

解：

此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？

思考：

是怎么得到的？

，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.

小结：

本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

作业：

1、已知求的值．（）

2、已知，求的值．

二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.

二、教学重、难点

教学重点：

以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

教学难点：

二倍角的理解及其灵活运用.

三、学法与教学用具

学法：

研讨式教学

四、教学设想：

（一）复习式导入：

大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

；

；

．

我们由此能否得到的公式呢？

（学生自己动手，把上述公式中看成即可），

（二）公式推导：

；

；

思考：

把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？

；

．

．

注意：

（三）例题讲解

例4、已知求的值．

解：

由得．

又因为．

于是；

；．

例5、已知求的值．

解：

，由此得

解得或．

（四）小结：

本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

例6、试以表示．

解：

我们可以通过二倍角和来做此题．

因为，可以得到；

因为，可以得到．

又因为．

思考：

代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．

例7、求证：

（１）、；

（２）、．

证明：

（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

；．

两式相加得；

即；

（２）由（１）得①；设，

那么．

把的值代入①式中得．

思考：

在例２证明中用到哪些数学思想？

证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

例8、求函数的周期，最大值和最小值．

解：

这种形式我们在前面见过，，

所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．

点评：

例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

小结：

此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

总结：

1．公式的变形

（1）升幂公式：

1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α

（2）降幂公式：

cos2α＝sin2α＝

（3）正切公式变形：

tanα+tanβ＝tan（α+β）（1－tanαtanβ）

tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）

（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）

sin2α＝cos2α＝tan2α＝

2．插入辅助角公式

asinx＋bcosx=sin（x+φ）（tanφ=）

特殊地：

sinx±cosx＝sin（x±）

3．熟悉形式的变形（如何变形）

1±sinx±cosx1±sinx1±cosxtanx＋cotx

若A、B是锐角，A+B＝，则（1＋tanA）（1+tanB）=2

cosαcos2αcos22α…cos2nα=

4．在三角形中的结论（如何证明）

若：

A＋B＋C=π=

tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

tantan＋tantan＋tantan＝1

9．求值问题

（1）已知角求值题

如：

sin555°

（2）已知值求值问题

常用拼角、凑角

如：

1）已知若cos（－α）＝，sin（＋β）＝，

又<α<,0<β<,求sin（α＋β）。

2）已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos（α－β）的值。

（3）已知值求角问题

必须分两步：

1）求这个角的某一三角函数值。

2）确定这个角的范围。

如：

．已知tanα=,tanβ=,且αβ都是锐角，求证：

α＋2β＝

1.（2010全国卷1理）

（2）记,那么

A.B.-C.D.-

2.

已知，化简：

.

解析：

原式=lg（sinx+cosx）+lg（cosx+sinx）-lg（sinx+cosx）2=0．

3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）

在ABC中，。

（Ⅰ）证明B=C：

（Ⅱ）若=-，求sin的值。

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.

（Ⅰ）证明：

在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.

所以B=C.

（Ⅱ）解：

由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.

又0<2B<,于是sin2B==.

从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.

所以

4.（2010湖北理）16．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）－g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合。

5.（2009江苏，15）设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：

∥.

分析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

6.（2009安徽卷理）在ABC中，,sinB=.

（I）求sinA的值；

（II）设AC=，求ABC的面积.

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

（Ⅰ）由，且，∴，∴，

∴，又，∴

（Ⅱ）如图，由正弦定理得

∴，又

∴

7.（2009湖南卷文）已知向量

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若求的值。

解：

（Ⅰ）因为，所以

于是，故

（Ⅱ）由知，

所以

从而，即，

于是.又由知，，

所以，或.

因此，或

8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA

（I）求AB的值：

（II）求sin的值

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

满分12分。

（Ⅰ）解：

在△ABC中，根据正弦定理，

于是AB=

（Ⅱ）解：

在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=

于是sinA=

从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=

所以sin（2A-）=sin2Acos-cos2Asin=

9.（2007安徽）已知为的最小正周期，，且．求的值．

解：

因为为的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以