线性代数习题答案详解Word格式.docx
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n
a
；
d?
a.
nn
（5）设f（x）?
14?
8
1xx
2
2?
248
，则f（x）?
0的根为；
x3
f（x）是一个vandermonde行列式，
f（x）?
（x?
1）（x?
2）（x?
2）（?
1）（?
2）（2?
1）?
0的根为1，2，-2.
（6）设x1,x2,x3是方程x?
px?
q?
0的三个根，则行列式
3
x1
x2x1x3
x2?
x2
根据条件有x?
x1）（x?
x2）（x?
x3）?
x?
（x1?
x2?
x3）x?
ax?
x1x2x3比较系数可得：
x1?
x3?
0，x1x2x3?
q
x13?
px1?
3
再根据条件得：
px2?
3?
原行列式=x1?
3x1x2x3?
p（x1?
3q?
q）?
0.
x
（7）设有行列式?
23
x0=0，则x；
x0?
3x?
2）?
0x1
1,2.
a11
（8）设f（x）?
a12a22xa42
a13xa33a43
xa24a34a44
，则多项式f（x）中x3的系数为；
a21a31x
按第一列展开f（x）?
a11a11?
a21a21?
a31a31?
xa41，
a11,a21,a31中最多只含有x2项，?
含有x3的项只可能是xa41
a12
xa41?
x（?
1a22
a13xa33
xa24a34
xaa?
aa?
a13a22a34?
a12a24a33?
123413242233?
xa41不含x3项，?
f（x）中x3的系数为0.
1234
（9）如果
6543002x0033
=0，则x
65430020033
122x
（5?
12）（6?
3x）?
0x6533
2.
000
（10）
a000
b000c
000d
将行列式按第一行展开：
000b000c
b00
a?
1）1?
40c
0?
abcd.
00d
a31
（11）如果b
a?
3b?
3c?
21?
r1?
3r3?
r2?
2r3
01=1，则521?
a
at
41
ca31
b
abc302111
351
21
1.
0121a11
c
a12a22a32
a132a112a122a222a32
2a12?
2a13
2a22?
2a232a32?
2a33
（12）如a21
2a112a122a13
a23=2，则2a21
2a31a33a21?
a31
a21?
3a11a22?
3a12a23?
3a13
00a21a22a23
a11a13
0a31a32a33
a21a22a23
2123
a31a32?
1a33
a22?
a3211
a23?
a33
a13
a13a33
a21
at?
a12?
2
2a112a31
2a122a32
2a23?
12?
22a32?
16
231?
2a212a22
2a112a122a13
a32?
1a23?
2at?
4
0a11a12a13
0a21a22a23
按第一行展开?
23
ab
2（?
-1）at?
4.
（13）设n阶行列式d=a?
0，且d中的每列的元素之和为b，则行列式d中的第二行的代数余子式之和为=?
；
a12?
a1n?
a11?
a1nb?
b?
=b
a111?
a1n1?
an1
a2n?
每行元素加到第二行?
ban2?
ann
an1an2?
annan1an2?
按第二行展开?
a21?
a22?
b?
0,且a21?
ab
实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和ai1?
ai2?
ain?
i?
1,2,?
n.b
（14）如果
a12a22a32a42
a13a23a33a43
a14a24a34a44
=1，则
000a11
a22a32a42a12
a23a33a43a23
a24a34a44a24
000
a42
a22a23a24
a32a33a34
a43=?
a44
a22
令b?
a32
a23a33a43
a24
a34，则a44
【篇二：
同济大学_第五版_线性代数课后习题解析】
5
【篇三：
线性代数习题及解答】
：
本卷中，a-1表示方阵a的逆矩阵，r（a）表示矩阵a的秩，||?
||表示向量?
的长度，?
t表示向量?
的转置，
e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
a12a13
3a113a123a131．设行列式a21
a22a23=2，则?
a31?
a33=（）
a32
a33
a．-6b．-3c．3
d．6
2．设矩阵a，x为同阶方阵，且a可逆，若a（x-e）=e，则矩阵x=（）a．e+a-1
b．e-ac．e+a
d．e-a-1
3．设矩阵a，b均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）
a．?
a-1?
可逆，且其逆为?
b-1
b．?
不可逆?
c．?
b-1?
d．?
可逆，且其逆为?
-1?
a-1?
b-1?
4．设?
1，?
2，…，?
k是n维列向量，则?
k线性无关的充分必要条件是a．向量组?
k中任意两个向量线性无关
b．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l1?
1+l2?
2+…+lk?
k≠0c．向量组?
k中存在一个向量不能由其余向量线性表示d．向量组?
k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量2?
（1,?
2,?
1）t,3?
4,?
3,0）t
则?
=（）a．（0，-2，-1，1）t
b．（-2，0，-1，1）t
c．（1，-1，-2，0）t
d．（2，-6，-5，-1）t
6．实数向量空间v={（x,y,z）|3x+2y+5z=0}的维数是（）a．1
b．2
）
（
c．3d．4
7．设?
是非齐次线性方程组ax=b的解，?
是其导出组ax=0的解，则以下结论正确的是
（）
+?
是ax=0的解c．?
-?
是ax=b的解8．设三阶方阵a的特征值分别为a．2,4,c．
是ax=b的解d．?
是ax=0的解
11
,3，则a-1的特征值为（）24
b．
13111,,243
11,,324
d．2,4,3
9．设矩阵a=
，则与矩阵a相似的矩阵是（）
12
01
b．1
02
c．
d．
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）a．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵c．正定矩阵的行列式一定大于零
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．设det（a）=-1，det（b）=2，且a，b为同阶方阵，则det（（ab））=__________．
b．正定矩阵的行列式一定小于零d．正定矩阵的差一定是正定矩阵
12．设3阶矩阵a=4
2t
3，b为3阶非零矩阵，且ab=0，则t=__________．1
-1
k
13．设方阵a满足a=e，这里k为正整数，则矩阵a的逆a=__________．14．实向量空间r的维数是__________．
17．设?
是齐次线性方程组ax=0的解，而?
是非齐次线性方程组ax=b的解，则a（3?
）=__________．18．设方阵a有一个特征值为8，则det（-8e+a）=__________．
19．设p为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||px||=__________．
20．二次型f（x1,x2,x3）?
5x2?
6x3?
4x1x2?
2x1x3?
2x2x3的正惯性指数是__________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式
142
614
．
4121
22．设矩阵a=
35
，且矩阵b满足aba=4a+ba，求矩阵b．
-1-1-1
23．设向量组?
（3,1,2,0）,?
（0,7,1,3）,?
1,2,0,1）,?
4?
（6,9,4,3）,求其一个极大线性无关组，并
将其余向量通过极大线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵a=?
45
3，求矩阵a的特征值和特征向量．
25．求下列齐次线性方程组的通解．
5x4?
2x1?
3x4?
2x?
234?
24?
20
26．求矩阵a=
301
03
60
1101
10
的秩．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵a=a21
a23的行列式不等于0，证明：
a13?
a11?
?
a23?
线性无关．
31?
32?
33?
线性代数习题二
说明：
在本卷中，a表示矩阵a的转置矩阵，a表示矩阵a的伴随矩阵，e表示单位矩阵。
的行列式，r（a）表示矩阵a的秩。
错选、多选或t
*
表示方阵a
未选均无分。
1.设3阶方阵a的行列式为2，则
（）a.-1b.?
14
c.
14
d.1
x?
2.设
f（x）?
2x?
12x?
2,则方程f（x）?
0的根的个数为（）
3x?
23x?
5
a.0b.1c.2
d.3
3.设a为n阶方阵，将a的第1列与第2列交换得到方阵b，若a?
b,则必有（a.a?
0b.a?
0c.
d.
4.设a,b是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）a.（a?
b）
a2?
2ab?
b2
b.（a?
b）（a?
b）?
a2?
c.（a?
e）（a?
e）?
（a?
e）d.（ab）
a2b2
a1ba1b2a1b3?
5.设a?
a2b1
aa?
0,b?
2b22b3?
其中ai?
i?
0,i?
1,2,3,则矩阵a的秩为（?
a3b1
a3b2
a3b3?
6.设6阶方阵a的秩为4，则a的伴随矩阵a*的秩为（）a.0
b.2
））
c.3d.4
b.-4d.10
8.已知线性方程组?
ax2?
3无解，则数a=（）
2ax?
a.?
c.
b.0d.1
12
9.设3阶方阵a的特征多项式为a.-18c.6
e?
3）2,则a?
（）
b.-6d.18
10.若3阶实对称矩阵a?
（aij）是正定矩阵，则a的3个特征值可能为（）a.-1，-2，-3c.-1，2，3
b.-1，-2，3d.1，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
30
11.设行列式d
4
2,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
22
53?
12.设a?
b?
则ab?
__________.
bb?
103?
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
16.设方程组?
0有非零解，且数?
0,则?
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