高考文科数学概率与统计考点突破一遍过12页.docx

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高考文科数学概率与统计考点突破一遍过12页

2020高考文科数学概率与统计考点突破一遍过

1．牢记概念与公式

（1）古典概型的概率计算公式

P（A）＝.

（2）互斥事件的概率计算公式

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

（3）对立事件的概率计算公式

P（）＝1－P（A）．

（4）几何概型的概率计算公式

P（A）＝.

2．抽样方法

简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．

（1）从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为.

（2）分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．

3．统计中四个数据特征

（1）众数：

在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

（2）中位数：

在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

（3）平均数：

样本数据的算术平均数，

即＝（x1＋x2＋…＋xn）．

（4）方差与标准差

方差：

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]．

标准差：

s＝.

4．线性回归

线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心（，）．

5．独立性检验

利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．

1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．

2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：

对立事件是互斥

事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．

1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（　　）

A．抽签法B．随机数法

C．系统抽样法D．分层抽样法

答案　D

解析　总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.

2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（　　）

A．62,62.5B．65,62

C．65,63.5D．65,65

答案　D

解析　选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为（0.01＋0.02）×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则×10＝5，∴中位数为60＋5＝65.故选D.

3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上”

B．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”

C．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”

D．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”

答案　C

解析　同时投掷两枚硬币一次，在A中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A中两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B中两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D中两个事件不是互斥事件．故选C.

4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是（　　）

A．1,2,3,4,5B．5,26,27,38,49

C．2,4,6,8,10D．5,15,25,35,45

答案　D

解析　采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.

5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　甲不输的概率为＋＝.故选A.

6．A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A，B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　在圆上其他位置任取一点B，设圆的半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为·2πR，则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P＝＝.故选A.

7．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m＋ni）（n－mi）为实数的概率是（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，记作（m，n），共有6×6＝36（种）结果．（m＋ni）（n－mi）＝2mn＋（n2－m2）i为实数，应满足m＝n，有6种情况，

所以所求概率为＝，故选C.

8．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），（a2，a1），（a3，a1），（b1，a1），（b2，a1），（a3，a2），（b1，a2），（b2，a2），（b1，a3），（b2，a3），（b2，b1），共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），共6种，故所求概率为＝.

9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得线性回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为（　　）

A．11.4万元B．11.8万元

C．12.0万元D．12.2万元

答案　B

解析　由题意知，＝＝10，

＝＝8，

∴＝8－0.76×10＝0.4，

∴线性回归方程＝0.76x＋0.4，

∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8（万元）．

10．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为（　　）

A．1－B．1－

C．1－D．1－

答案　B

解析　由函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，

可得Δ＝（2a）2－4（－b2＋π2）≥0，

整理得a2＋b2≥π2，

如图所示，

（a，b）可看成坐标平面上的点，

试验的全部结果构成的区域为Ω＝{（a，b）|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，

其面积SΩ＝（2π）2＝4π2.

事件A表示函数f（x）有零点，

所构成的区域为M＝{（a，b）|a2＋b2≥π2}，

即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，

故P（A）＝＝＝1－，故选B.

11．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．

答案　6

解析　总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为，分层抽样的抽样比是，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×＝，篮球运动员人数为12×＝，足球运动员人数为18×＝，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.

12．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________.

答案　96

解析　根据平均数及方差的计算公式，可得9＋10＋11＋x＋y＝10×5，即x＋y＝20，因为标准差为，方差为2，

所以[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2]＝2，即（x－10）2＋（y－10）2＝8，

解得x＝8，y＝12或x＝12，y＝8，则xy＝96.

13．已知x，y的取值如表所示：

x

0

1

3

4

y

2.2

4.3

4.8

6.7

从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则＝________.

答案　2.6

解析　根据表中数据得＝2，＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，

∴截距＝4.5－0.95×2＝2.6.

14．在区间[1,5]和[2,4]内分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为________．

答案　

解析　当方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，

有

即化简得

又a∈[1,5]，b∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分面积为

S阴影＝×（1＋3）×2－×1×＝.

故P＝＝.

15．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．

（1）若某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天），求此人停留期间空气重度污染的天数为1的概率；

（2）若某人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率．

解　

（1）设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i＝1,2，…，14）．

依题意知，P（Ai）＝，且Ai∩Aj＝∅（i≠j）．

设B为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1”，则B＝A3∪A5∪A6∪A7∪A10，

所以P（B）＝P（A3）∪P（A5）∪P（A6）∪P（A7）∪P（A10）＝，

即此人停留期间空气重度污染的天数为1的概率为.

（2）记3月7日至3月12日中重度污染的2天为E，F，另外4天记为a，b，c，d，则6天中选2天到达的基本事件如下：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含（a，E），（a，F），（b，E），（b，F），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F）这8个基本事件，故所求事件的概率为.

16．（2017·全国Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧