人教版高一数学必修一集锦1Word下载.docx
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f(x+4)=f(x+2+2)=1/f(x+2)=1/[1/f(x)]=f(x)
所以4是一个周期
f(5)=f
(1)=-5
因为f(3)=-1/5
f(5)=f(3+2)=1/f(3)=-5
f(-5)=f(3-2*4)=f(3)=-1/5
而f[f(5)]=f(-5)=-1/5
5若函数f(x)在(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是_________。
函数y=f(x+5)的图象是由函数y=f(x)向左平移5个单位得到,所以单调区间也要向左平移五个单位,所以现在单调区间为(-7,-2)
6函数y=2-√-x^2+4x的值域
x的取值范围为0≤x≤4
设t=√-x^2+4x值域为[0,2]
所以y=2-t的值域为[0,2]
7已知f(x)={1(x≥0),-1(x<
0),则不等式x+(x+2)*f(x+2)≤5的解集是____.
x+(x+2)*f(x+2)≤5
1.当x≥-2时x+2≥0f(x+2)=1
x+(x+2)≤5∴-2≤x≤3/2
2当x<
-2时x-(x+2)≤5-2≤5∴x<
-2
综上所述:
x≤3/2
-2或-2≤x≤3/2
8若0<
t≤1/4,那么1/t-t的最小值是_______.
1/t-t在正数区间上明显是减函数,所以最小值是4-1/4=15/4
9已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是_______.
偶函数的图象是关于y轴对称的,所以四个交点中的两个一定分布在y轴两侧,且交点的横坐标两两对应绝对值相等,互为相反数。
方程f(x)的实根即为图象与x轴交点的横坐标,即零点.所以方程所有实根之和为0。
10设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
A.f(x)f(-x)是奇函数(应为偶函数)
B.f(x)/f(-x)/是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数(应为奇函数)
选D用-x代替x带入式子中,则D选项为f(-x)+f(x),即F(x)=F(-x),即为偶函数,其它同理。
11函数f(x)=1/[1-x(1-x)]的最大值-________.
先算分母[1-x(1-x)]=X^2-X+1=(X-1/2)^2+3/4
上式的最小值为3/4
所以f(x)=1/[1-x(1-x)]的最大值为4/3。
12设函数f(x)=x^2+|x-2|-1(x属于R)1.判断函数f(x)的奇偶性2.求函数f(x)的最小值
(1)f(-x)=(-x)^2+|-x-2|-1=x^2+|x+2|-1≠f(x),
且f(-x)≠-f(x),
∴f(x)是非奇非偶函数。
(给出一个函数不一定就是奇函数或偶函数)
(2)x≥2时,f(x)=x^2+x-3,f'
(x)=2x+1
令f'
(x)=0,则x=-1/2<
2,∵x≥2时f'
(x)>
0,∴f(x)min=f
(2)=3;
2时,f(x)=x^2-x+1,f'
(x)=2x-1
令f'
(x)=0,则x=1/2,∵1/2<
2时f'
0,x<
0.5时f'
(x)<
∴f(x)min=f(1/2)=3/4
综上:
f(x)min=f(1/2)=3/4
13见图,哪些是映射?
(1)、(4).
映射的定义:
在集合A中的每一个(故
(2)不是映射)元素x,在集合B中都有相应的元素y与之对应,集合B就中的这个元素y叫做集合A中元素x的映射。
(可以一对一,也可以多对一,但一定要每一个)
14使函数f(x)=x|x+a|+b满足f(-x)=-f(x)的条件是
A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a^2+b^2=0
f(x)=x|x+a|+b满足f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数因此,a=0,b=0
在几个选项中,只有D.a^2+b^2=0,与a=0,b=0等价(两个非负数相加为0,则它们都为0)
所以,选D
15已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数。
(1)求证:
y=f(x)在(-∞,0]上是增函数。
(2)如果f(1/2)=1,解不等式-1<
f(2x+1)≤0
(1)解:
设0<
x3<
x4,∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(x3)<
f(x4).∴-x4<
-x3<
0,已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,f(-x4)=-f(x4)f(-x3)=-f(x3)∵f(x3)<
f(x4),-f(x4)<
-f(x3),∴f(-x4)<
f(-x3)∴y=f(x)在(-∞,0]上是增函数
(2)解:
∵f(1/2)=1,∴f(-1/2)=-1,∴f(-1/2)<
f(2x+1)≤f(0),y=f(x)是定义在R上的增函数,
∴-1/2<
2x+1≤0∴-3/4<
-1/2
16设函数y=f(x)(x∈R)为奇函数,f
(1)=1/2,f(x+2)=f(x)+f
(2),则f(5)的值为_______.
y=f(x)为奇函数,f
(1)=1/2,∴f(-1)=-1/2
∵f(x+2)=f(x)+f
(2),∴f
(1)=f(-1+2)=f(-1)+f
(2)
∴f
(2)=1,f(5)=f
(2)+f(3)=f
(2)+f
(2)+f
(1)=5/2
17已知f(x)定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)
(1)求f(0),f
(1)的值
(2)判断f(x)的奇偶性
关键是靠0,-1,1这几个数来做
(1)令a=1
b=1.由f(ab)=af(b)+bf(a)
f
(1)=f
(1)+f
(1)即f
(1)=0
令a=b=0.由f(ab)=af(b)+bf(a)f(0)=0
(2)令a=-1
b=-1.由f(ab)=af(b)+bf(a)得f
(1)=-f(-1)-f(-1)-2f(-1)=0
即得f(-1)=0
令a=-1,b=x,则由f(-x)=-f(x)+xf(-1)
即f(-x)=-f(x)即f(x)为奇函数
18
若a>
1,b>
0,且a^b+a^-b=2√2,则a^b-a^-b的值等于_____解:
(a^b+a^-b)^2=8
a^2b+a^(-2b)+2=8
a^2b+a^(-2b)-2=4
(a^b-a^-b)^2=4
a^b-a^-b=±
2
因为a>
0,所以,a^b>
a^-b
所以,a^b-a^-b=2
19
求函数y=√x+√x-1的值域
x≥0,x≥1∴x≥1,x=1时y有最小值。
y为增函数,所以值域为[1,+∞)
20函数y=4^-|x|的定义域是________,值域是______在________上是增函数,在_____上是减函数。
解法:
此函数为(见上图)
偶函数。
先做y=(1/4)^[x}的图像,再关于y轴对称即可。
答案:
R,(0,1],(-00,0),(0,+00)
21f(10^x)=x,则f(3)等于____________.令10^x=3,则x=lg3,所以f(3)=lg3
22"
任何一个指数式都可以化成对数式"
是对的还是错的?
为什么?
不对.0的0次方无意义,举例:
(-1)^2不能化成对数式.
23某工厂去年12月份的产值是去年一月份产值的m倍,则该厂去年产值的月平均增长率为__________.
设月平均增长率为p
24设a,b,c均为不等于1的正数,x,y,z都是有理数,且a^x=b^y=c^z,1/x+1/y+1/z=0,求abc的值.
解设a^x=b^y=c^z=k
得logak=xlogbk=ylogck=z
1/x=1/logak=logka同理1/y=logkb,1/z=logkc
∵1/x+1/y+1/z=0∴logka+logkb+logkc=0
logkabc=0∴abc=1
25若定义在区间(-1,0)上的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>
0,则实数a的取值范围是_________
因为x∈(-1,0)
所以(x+1)∈(0,1)
因为f(x)>
0
且真数为真分数
所以0<
2a<
1所以0<
a<
1/2
26已知函数f(x)=-2x^1/2,求f(x)的定义域___【0,+∞__)_________________-
27函数f(x)=x^2-bx+c对一切x∈R都有f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试比较f(b^1/2)与f(c^1/2)的大小。
f(1+x)=f(1-x)
(1+x)^2-b(1+x)+c=(1-x)^2-b(1-x)+c
2x-bx=-2x+bx2bx=4xb=2
f(x)=x^2-2x+c
f(0)=3x=0,f(x)=3代入c=3
f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2
对称轴为x=1当x≥1时,函数单调递增。
1<
2^(1/2)<
3^(1/2)f(b^1/2)<
f(c^1/2)
28若方程2ax^2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是_________.
a=0时-x-1=0x=-1不符合题设
a≠0时
满足f(0)*f
(1)<
0即可
-1*(2a-2)<
2a-2>
a>
1
29求函数f(x)=2x^3-3x^2-5x+3的零点
解:
f(x)=2x^3-3x^2-5x+3
=2x^3-x^2-2x^2-5x+3
=(2x-1)x^2-(2x^2+5x-3)
=(2x-1)x^2-(2x-1)(x+3)
=(2x-1)(x^2-x-3)
=0
因此2x-1=0或x^2-x-3=0
解得x1=1,x2=(1+√13)/2,x3=(1-√13)/2
30a=1.2^1/2,b=0.9^-1/2,c=1.1^1/2的大小关系是__________
1.2>
1/0.9>
1.11.2^(1/2)>
0.9^(-1/2)>
1.2^(1/2)a>
b>
c
31某动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alg(x+1)/lg2,设这种动物第一年有100只,到第7年他们发展到多少只?
第一年时,y=alog2(1+1)=alog
(2)2=100a=100
即y=100log
(2)(x+1)
所以第7年,有x=7,得y=300y=100log2(7+1)=100log22^3=100*3=300
即第七年他们发展到300只。
32在制造纯净水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%若减少到原来的5%以下.则至少需要过滤几次?
(lg2=0.301,lg3=0.4771)
过滤x次以后,水中的杂质为:
(1-0.2)^x
根据要求:
(1-0.2)^x=0.05
则x=lg(0.05)/lg(0.8)=(lg0.01+lg5)/(lg8+lg0.1)=[(-2)+(lg10-lg2)]/[3lg2+(-1)]
=[(-2)+(1-0.3010)]/[3*0.3010+(-1)]≈13.4
即至少要过滤14次才能减少到原来的5%以下
33.某种电热器的水箱盛水是200升,加热到一定温度即可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时按10.9毫升/秒2的匀加速度作自动注水(即t分钟自动注水2t2升),当水箱内的水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水量为65升,则该热器一次至多可供()
A.3人洗浴B.4人洗浴C.5人洗浴D.6人洗浴
水箱在t分钟后的水量
的最小值是55.5升,水箱从200升水降到这个值用了17/2分钟,放水34×
17/2=289升.
由289/65=4
知,一次放水可供4人洗浴。
故答案选B.
34随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一爱公司现有职员2a人(140<
420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的3/4,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
答案:
当70<
a≤140,应裁员(a-70)人;
当140<
210时,应裁员a/2人
设减员x人,还剩2a-x
则每人每年多创利0.01b*x,达到b+0.01bx元
所以创利(2a-x)(b+0.01bx),支付生活费0.04bx
所以利润(2a-x)(b+0.01bx)-0.04bx
=-0.01bx^2+b(0.02a-1.04)x+2ab
求最大值,b是常数,对结果没影响,约去
y=-0.01x^2+(0.02a-1.04)x+2a=-0.01[x-(a+52)]^2+0.01(a+52)^2+2a
最少要3/4,,所以最多裁员2a*1/4=a/2
所以0<
=x<
=a/2
140<
420
35<
a/2<
105
=105
70<
210
122<
a+52<
262
所以x<
a+52
所以y开口向下,定义域在对称轴左边,增函数
所以x最大则y最大,所以裁员a/2人
35一家庭(父亲、母亲、孩子们)去某地旅游。
甲旅行社说:
“如果父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠。
”乙旅行社说:
“家庭旅游算集体票,按原价的2/3优惠。
”这两家旅行社的原价是一样的。
试就家庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠。
设票价为a元孩子数为x个。
甲a+(1+x)a/2
乙(2/3)*a(2+x)
求差法:
a+(1+x)a/2-2a(2+x)/3=a(1-x)/6
a(1-x)/6>
0x<
1x=0时甲旅行社报价高于乙旅行社
a(1-x)/6=0x=1x=1时甲乙旅行社报价相同
a(1-x)/6<
0x>
1x=2,3...时甲旅行社报价低于乙旅行社
36证明方程6-3x=2^x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解的近似值
设f(x)=2^x+3x-6
f
(1)=2+3-6<
f
(2)=4+6-6>
0所以f(x)在[1,2]上有一零点.
又因为y=6x-3与y=2^x在R上都是单调递增函数.
所以f(x)在R上是单调递增函数.
即方程6-3x=2^x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
f(1.5)=2^1.5+4.5-6>
0,区间[1,1.5]
f(1.25)=2^1.25+3.75-6>
0,区间[1,1.25]
f(1.125)<
0,区间[1.125,1.25]
近似解是x=1.125
37若函数f=x∧3,则函数y=(-x),在其定义域上是单调递减的什么函数?
f(x)=x^3
y=f(-x)=(-x)^3=-x^3,其定义域为R
函数y=-x^3在R上是减函数,且是奇函数。
证明如下。
设y=g(x)=-x^3
任取两个实数x1、x2,且x1<x2g(x1)-g(x2)=x2^3-x1^3=(x2-x1)(x2^2+x2·
x1+x1^2)
=(x2-x1)[(x2+x1/2)^2+(3x1^2)/4]
∵x1<x2∴x2-x1>0
∵x1≠x2
∴(x2+x1/2)^2+(3x1^2)/4>0
∴(x2-x1)[(x2+x1/2)^2+(3x1^2)/4]>0
即g(x1)-g(x2)>0
∴g(x1)>g(x2)而x1<x2
∴y=g(x)=-x^3在R上是减函数
任取实数x,都有
g(-x)=-(-x)^3=x^3=-g(x)
∴y=g(x)=-x^3是奇函数
综上,函数y=g(x)=-x^3在R上是减函数,且是奇函数
38若F(X)在(-00,0)U(0,+00)上为奇函数,且在(0,+00)上为增函数,F(-2)=0,,f(-2)=0。
则不等式x*f(x)小于0的解集为___________
F(X)在(-00,0)U(0,+00)上为奇函数
且在(0,+00)上为增函数
可以得出F(X)在(-00,0)U(0,+00)上均为增函数
F(-2)=0,故x*f(x)在当x=-2时等于0
当x小于-2时,f(x)因为是增函数,故f(x)小于0负负得正所以x*f(x)大于0
当x在(-2,0)时,f(x)因为是增函数,故f(x)大于0负正得负所以x*f(x)小于0
当x在(0,00)时,f(x)因为是增函数,故f(x)大于0正正得正所以x*f(x)大于0
所以不等式x*f(x)小于0的解集为:
(-2,0)
397^lg20*(1/2)^lg0.7
令原式=a
lga=lg7^lg20+lg(1/2)^lg0.7=lg20*lg7+lg0.7*lg(1/2)=lg20*lg7-lg0.7*lg2
=(lg2+lg10)*lg7-(lg7-lg10)*lg2=lg2*lg7+lg10*lg7-lg7*lg2+lg10*lg2
=lg7+lg2=lg14所以原式=14
40若a,b是方程2lg^2x-lgx^4+1=0的两个实根,求lg(ab)(logab+logba)的值.
2lg²
x-4lgx+1=0
所以有韦达定理
lga+lgb=2
lga*lgb=1/2
所以原式=(lga+lgb)(lgb/lga+lga/lgb)
=2(lg²
a+lg²
b)/(lga*lgb)
=2[(lga+lgb)²
-2lga*lgb]/(1/2)
=4(4-1)
=12
41某产品的总成本Y(万元)与产量X之间的函数关系式是Y=3000+20X-0.1X^2,X∈(0,240),且x∈N。
若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量为()
A。
100台B。
120台C150台D180台
选C
设Q=25X
不亏本则Q≥Y
25X≥3000+20X-0.1x^2
x^2+50x-30000≥0
解得X≥150或x≤-200(舍)
42怎样作出y=(x^2-x)/x-1的图像?
定义域{x|x≠1}
所以y=x(x-1)/(x-1)=x
且x不等于1,所以y=x,再去掉无意义点(1,1)。
43若函数f(x)=log3(4/x+2),则方程f^-1(x)=4的解x=_________.(f^-1(x)是f(x)的反函数)请详细说明过程。
所以f(4)=x
即x=log3(4/4+2)=log3(3)=1(解:
一个函数的函数值等于它的反函数的自变量的值)