中考数学高频考点之 相似模型探究与提升Word格式文档下载.docx
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,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°
得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
【分析】
(1)由题意可知:
CD=CE,∠DCE=90°
,由于∠ACB=90°
,所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,所以∠ACD=∠BCE,从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)
(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知:
∠A=∠CBE=45°
,BE=BF,从而可求出∠BEF的度数.
【解答】解:
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD与△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°
,AC=BC,
∴∠A=45°
由
(1)可知:
∵AD=BF,
∴BE=BF,
∴∠BEF=67.5°
二、模型精析
如果仅仅满足于做这两个简单题,那就真的太没意思了,笔者在讲评2道题完,立刻给同学们提了这样个问题,将上两例稍作改变,如下图,你能找出图中所有的全等和相似吗?
如图,例1中,连接了CE,则可知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5,∠6=∠7=∠8,根据2角分别相等的两个三角形相似,我们可以确定其中所有的相似三角形.
全等旋转变换一定会产生相似,因此,两个等腰三角形必然相似.
三.中考真题
1.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( )
A.
=
B.
C.
D.
2.(2018•遵义)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为( )
A.5B.4C.3
D.2
3.(2018•扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:
①△BAE∽△CAD;
②MP•MD=MA•ME;
③2CB2=CP•CM.其中正确的是( )
A.①②③B.①C.①②D.②③
4.(2018•孝感)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°
,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:
①∠ADC=15°
;
②AF=AG;
③AH=DF;
④△AFG∽△CBG;
⑤AF=(
﹣1)EF.其中正确结论的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
5.(2018•恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为( )
A.6B.8C.10D.12
6.(2018•达州)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=
AC.连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则
的值为( )
D.1
7.(2018•南充)如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B作BE⊥AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH⊥BE于点G,交AB于点H,连接HF.下列结论正确的是( )
A.CE=
B.EF=
C.cos∠CEP=
D.HF2=EF•CF
8.(2018•株洲)如图,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN.
Rt△ABM≌Rt△AND;
(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=
,求tan∠ABM的值.
9.(2018•大庆)如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.
AC平分∠FAB;
(2)求证:
BC2=CE•CP;
(3)当AB=4
且
=
时,求劣弧
的长度.
10.(2018•上海)已知:
如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
EF=AE﹣BE;
(2)联结BF,如课
.求证:
EF=EP.
11.(2018•济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
12.(2018•聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.
AE=BF.
(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.
13.(2018•南充)如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B'
落在AC上,B'
C'
交AD于点E,在B'
C′上取点F,使B'
F=AB.
AE=C′E.
(2)求∠FBB'
的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.
13.(2018•岳阳)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,CD为∠ACB的平分线,将∠ACB沿CD所在的直线对折,使点B落在点B′处,连结AB'
,BB'
,延长CD交BB'
于点E,设∠ABC=2α(0°
<α<45°
).
(1)如图1,若AB=AC,求证:
CD=2BE;
(2)如图2,若AB≠AC,试求CD与BE的数量关系(用含α的式子表示);
(3)如图3,将
(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α+45°
),得到线段FC,连结EF交BC于点O,设△COE的面积为S1,△COF的面积为S2,求
(用含α的式子表示).
14.(2018•广东)已知Rt△OAB,∠OAB=90°
,∠ABO=30°
,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°
,如题图1,连接BC.
(1)填空:
∠OBC= 60 °
(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;
(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?
最大值为多少?