12复变函数的积分柯西定理.docx

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12复变函数的积分柯西定理

第三章复变函数的积分

§3-1复变函数的积分

【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P29-31】

复变函数积分的定义：

设为复平面上以为起点，而以为终点的一段路径（即一根曲线），在上取一系列分点把分为段，在每一小段[]上任取一点作和数：

其中

如果当且每一小段的长度（）趋于零时，和式的极限存在，并且其值与及的选取方式无关，则称这一极限为沿路径由到的积分:

，

称为积分路径（在上取值，即在上变化）。

若为围线（闭的曲线），则积分记为：

.（围道积分）

几点说明：

1.复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。

（与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。

）

2．因为，，，于是

，

所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。

3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：

（1），、分别为之起点、终点。

（2），、为复常数。

（3）,其中积分路径由路径、连接而成。

（4）,表示与方向相反的同一条曲线。

4．围道积分的环绕方向：

若积分路径的两端点重合（即为自身不相交的封闭曲线），则计算积分时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：

）。

以后凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。

（为逆时钟方向，代表顺时钟方向）

例：

试证，为以为圆心，为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。

证：

的参数方程为

，

在上，。

当时，

。

当为的整数时，

。

§3-2柯西定理及其推广

【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P31-36】

柯西定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。

单连通区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没“空洞”。

复连通区域（或称多连通区域）内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点，简而言之区域内有“空洞”。

（一）单连通区域中的柯西定理

若在单连通区域内解析，是内的任一围线（闭合曲线），则:

。

证明：

由于在上解析，意味着在上各点均存在，实部、虚部有连续偏导数（即、、、在上连续）并满足C-R条件。

，，

。

由于实部、虚部满足C-R条件，，,

而由实变函数线积分的格林定理：

，为所围单连通区域（C－R条件）

，为所围单连通区域（C－R条件）

。

定义：

函数在闭区域内解析,是指在区域D内以及它的边界

上的每一点都是解析的.（闭区域:

）。

一种等价的说法：

如果函数在包括区域D和它的边界在内的更大一些

的区域内解析，就称它为在闭区域内解析。

单连通区域中柯西定理的另外一种表述：

如果函数在闭曲线所围的闭单连通区域内解析，则函数沿

闭曲线的积分等于零:

。

柯西定理的几个推论：

（1）在解析的单连通区域内，沿任一曲线的积分，只依赖于的起点和终点，而与的具体形状无关。

即若在单连通区域内解析，、是内有相同端点的任意两条曲线，则:

。

证明：

因为、的端点相同，所以与组成一围线。

由柯西定理：

。

（2）当积分的端点不动，而积分路线在解析的区域内连续地变形时，积分之值不变；

（3）沿闭合回路的积分，当积分回路在解析的区域内连续地变形时，积分之值不变。

（连续变形—闭合回路变形时不能跨过不解析的区域。

）

（二）复连通区域中的柯西定理

对于复连通区域，可以作一条或多条辅助线（割线）使之变成一个单连通区域，然后再应用单连通区域中的柯西定理，就可以得到复连通区域中的柯西定理。

复连通区域中的柯西定理两种表述：

（1）在闭复连通区域中解析的函数，沿所有边界线的正方向的积分之和为零：

（2）在闭复连通区域中解析的函数，按逆时钟方向沿外边界线的积分等于按逆时钟方向沿所有内边界线的积分之和：

说明：

当沿某一方向沿边界线环行时，如果所包围的区域始终在边界线的左边，则该方向称为边界线的正方向；相反的方向则称为边界线的逆方向。

例1：

计算，为不通过点的围线。

解：

是的一个奇点，

（1）若没有包围点，则在所包围的区域上是解析的,

从而（不包围）。

（2）若包围【是的奇点】，作以为圆心的圆周包围，则由上述的公式得：

。

由前面的例子可得:

，

。

例2：

计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。

解：

在圆周内分别以和为圆心、画出半径充分小的两个辅助小园，它们完全包含于圆周内.这两个小圆记作和.根据复连通区域的柯西定理，有：

例3．设C为单位圆周，计算下列积分：

（1）；

（2）；（3）；（4）。

解：

（1）奇点在C外，积分=0；

（2），奇点在C外，积分=0；

（3），奇点在C内，积分=；

（4）被积函数有两个奇点：

，

，

一个奇点在C内，另一个奇点在C外

（三）原函数的概念

若，则称F（z）是f（z）的原函数，其中zB，B是单连通区域。

设f（z）是单连通区域B内的解析函数，由Cauchy定理知：

沿B内任一路径的积分只与起点、终点有关，而与积分路径无关，因此当起点固定时，该积分就定义了一个关于终点z的单值函数：

.则F（z）就是f（z）的原函数:

。

由于是f（z）的一个原函数，所以（是任意常数）构成原函数族，则有：

在上公式中令，则有，，

从而：

（解析函数的定积分公式，形式上与牛顿—莱布尼兹公式相似。

）