2021 第6章 64 643 第4课时 余弦定理正弦定理应用举例Word文档格式.docx
《2021 第6章 64 643 第4课时 余弦定理正弦定理应用举例Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021 第6章 64 643 第4课时 余弦定理正弦定理应用举例Word文档格式.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
李尧出校向南前进了200米,再向东走了200米,回到自己家中,你认为李尧的家在学校的哪个方向?
[提示] 东南方向.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×
”)
(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边.( )
(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得.( )
(3)若P在Q的北偏东44°
,则Q在P的东偏北44°
方向.
( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
2.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β,则小强观测山顶的仰角为( )
A.α+β B.α-β
C.β-αD.α
C [如图所示,设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此γ=β-α,故选C项.]
3.某人先向正东方向走了xkm,然后他向右转150°
,向新的方向走了3km,结果他离出发点恰好为
km,那么x的值为( )
A.
B.2
C.2
或
D.3
C [如图,在△ABC中由余弦定理得3=9+x2-6xcos30°
,
即x2-3
x+6=0,解得x=2
.]
测量距离问题
【例1】 海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°
的视角,从B岛望C岛和A岛成75°
的视角,则B,C间的距离是( )
A.10
海里 B.
海里
C.5
海里D.5
D [根据题意,可得如图.在△ABC中,A=60°
,B=75°
,AB=10,∴C=45°
.由正弦定理可得
=
,即
,∴BC=5
(海里).]
三角形中与距离有关问题的求解策略
(1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;
若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
1.为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°
,∠CBA=75°
,AB=120m,则河的宽度为________m.
60 [由题意知,∠ACB=180°
-30°
-75°
=75°
,∴△ABC为等腰三角形.河宽即AB边上的高,这与AC边上的高相等,过B作BD⊥AC于D,∴河宽:
BD=120·
sin30°
=60(m).]
测量高度问题
【例2】 济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征.李明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°
,他又沿着泉标底部方向前进15.2m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为80°
.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗?
(精确到1m)
[解] 如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶端.
依题意,∠BAD=60°
,∠CBD=80°
,AB=15.2m,
则∠ABD=100°
,故∠ADB=180°
-(60°
+100°
)=20°
.
在△ABD中,根据正弦定理,
∴BD=
≈38.5(m).
在Rt△BCD中,CD=BDsin80°
=38.5×
sin80°
≈38(m),
即泉城广场上泉标的高约为38m.
解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图:
根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形:
分析与问题有关的三角形.
(3)求解:
运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:
m).如图所示,竖直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值.
[解] 由AB=
,BD=
,AD=
及AB+BD=AD,得
+
解得H=
=124.
因此电视塔的高度H是124m.
角度问题
[探究问题]
1.某物流投递员沿一条大路前进,从A到B,方位角是60°
,距离是4km,从B到C,方位角是120°
,距离是8km,从C到D,方位角是150°
,距离是3km,试画出示意图.
[提示] 如图所示:
2.在探究1中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从A点到C点,则此人的速度至少是多少?
[提示] 在探究1图中,在△ABC中,∠ABC=60°
+(180°
-120°
)=120°
,由余弦定理得AC=
=4
,则此人的最小速度为v=
=8
(km/h).
3.在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进,10分钟后某人以16
km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员,问在C点此人能否与投递员相遇?
[提示] 投递员到达C点的时间为t1=
(小时)=30(分钟),追投递员的人所用时间由探究2可知t2=
(小时)=15分钟;
由于30>
15+10,所以此人在C点能与投递员相遇.
【例3】 如图,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°
方向,距A有9海里的B处,并以20海里每小时的速度沿南偏西15°
方向行驶,若甲船沿南偏东θ度的方向,并以28海里每小时的速度行驶,恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船,并求sinθ的值.(结果保留根号,无需求近似值)
[思路探究] 根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系,将实际问题转化为数学问题,运用正、余弦定理解决.
[解] 设用t小时,甲船追上乙船,且在C处相遇,
则在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,
∠ABC=180°
-15°
-45°
=120°
,由余弦定理得,
(28t)2=81+(20t)2-2×
9×
20t×
即128t2-60t-27=0,
解得t=
或t=-
(舍去),
∴AC=21(海里),BC=15(海里).根据正弦定理,
得sin∠BAC=
则cos∠BAC=
又∠ABC=120°
,∠BAC为锐角,∴θ=45°
-∠BAC,
sinθ=sin(45°
-∠BAC)
=sin45°
cos∠BAC-cos45°
sin∠BAC=
(变条件,变结论)在本例中,若乙船向正南方向行驶,速度未知,而甲船沿南偏东15°
的方向行驶恰能与乙船相遇,其他条件不变,试求乙船的速度.
[解] 设乙船的速度为x海里每小时,用t小时甲船追上乙船,且在C处相遇(如图所示),则在△ABC中,AC=28t,BC=xt,∠CAB=30°
,∠ABC=135°
由正弦定理得
所以x=
=14
(海里/小时).
故乙船的速度为14
海里/小时.
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键最主要的一步.
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,要正确使用正、余弦定理解决问题.
一、知识必备
1.基线;
2.仰角和俯角;
3.方向角.
二、方法必备
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析:
理解题意,分清已知与未知,画出示意图.
(2)建模:
根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型.
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解.
(4)检验:
检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°
,灯塔B在观察站C的南偏东60°
,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东5°
B.北偏西10°
C.南偏东5°
D.南偏西10°
B [由题意可知∠ACB=180°
-40°
-60°
=80°
.∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=50°
,从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°
2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=100米,从C,D两点测得A点仰角分别是60°
,30°
,则A点离地面的高度AB等于( )
A.50
米B.100
米
C.50米D.100米
A [因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°
=30°
所以△ADC为等腰三角形,
所以AC=DC=100米,
在Rt△ABC中,AB=ACsin60°
=50
米.]
3.一艘船上午9:
30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°
的方向,且与它相距8
海里,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:
00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°
的方向,此船的航速是( )
A.8(
)海里/时
B.8(
-
C.16(
D.16(
D [由题意得在△SAB中,∠BAS=30°
,∠SBA=180°
=105°
,∠BSA=45°
即
,得AB=8(
),
因此此船的航速为
=16(
)(海里/小时).]
4.在高出海平面200m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°
与30°
,此时两船间的距离为________m.
200(
+1) [过点A作AH⊥BC于点H,
由图易知∠BAH=45°
,∠CAH=60°
,AH=200m,
则BH=AH=200m,CH=AH·
tan60°
=200
m.
故两船距离BC=BH+CH=200(
+1)m.]
5.(一题两空)海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°
,距离为12
海里;
在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°
,距离为8
货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°
,则:
(1)A处与D处之间的距离为________;
(2)灯塔C与D处之间的距离为________.
(1)24海里
(2)8
海里 [由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°
,B=45°
,AB=12
由正弦定理得AD=
·
sin45°
=24(海里).
(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·
ACcos30°
=242+(8
)2-2×
24×
8
×
=(8
)2,
∴CD=8
(海里).
即A处与D处之间的距离为24海里,灯塔C与D之间的距离为8
海里.]