中考数学专题突破练习题附解析Word文档下载推荐.docx

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（1）①证明：

∵CA＝CB，BN＝AM，

∴CB－BN＝CA－AM，即CN＝CM.

∵∠ACN＝∠BCM，

∴△BCM≌△ACN.

②解：

由①知△BCM≌△ACN，

∴∠MBC＝∠NAC.

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA.

∵AG∥BC，

∴∠GAC＝∠ACB＝90°

，∠ADB＝∠DBC.

∴∠ADB＝∠NAC.

∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD.

∵∠NAC＋∠EAD＝180°

－90°

＝90°

，

∴∠ADB＋∠EDA＝90°

.

∴∠BDE＝90°

（2）解：

α或180°

－α

（3）解：

CF的长为32或43.

针对训练1 

（2018，邢台三模，导学号5892921）E是正方形ABCD的边CD所在直线上一点，连接AE，过点A作AF⊥EA，且AF＝AE，连接CF交AD于点G.

（1）当点E在CD边上时，过点F作FM⊥AD于点M，连接MC，FD，如图①.求证：

①△AFM≌△EAD；

②四边形FMCD是平行四边形；

（2）当点E在CD的延长线上时，如图②，请直接写出AG，DG，DE之间的数量关系．

训练1题图

【思路分析】

（1）①判断出∠FAM＝∠AED，即可得出结论．②先判断出FM∥DC，再判断出FM＝CD，即可得出结论．

（2）过点F作FM⊥DA的延长线于点M.先判断出AM＝DE，FM＝CD，再判断出△FMG≌△CDG，即可得出结论．

（1）证明：

①∵∠FAE＝90°

∴∠FAM＋∠DAE＝90°

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°

∴∠AED＋∠DAE＝90°

∴∠FAM＝∠AED.

∵FM⊥AD于点M，

∴∠FMA＝90°

∵AF＝AE，

∴△AFM≌△EAD.

②∵∠FMD＝∠ADC＝90°

∴FM∥DC.

由①知△AFM≌△EAD，

∴FM＝AD.

∵AD＝DC，

∴FM＝CD.

∴四边形FMCD是平行四边形．

DG＝AG＋DE.

针对训练2 

（2018，邯郸二模，导学号5892921）如图①，在等边三角形ABC和等边三角形ADP中，AB＝2，点P在△ABC的高CE上（点P不与点C重合），点D在点P的左侧，连接BD，ED.

（1）求证：

BD＝CP；

（2）当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图②中作出图形，并求出BF的长；

（3）直接写出线段DE长度的最小值．

训练2题图

【思路分析】

（1）根据SAS证明两个三角形全等．

（2）先根据题意画图，可得AE＝BE＝DE，∠BCE＝30°

，再求得∠DBC＝90°

，根据特殊角的三角函数值可得BF的长．（3）先确定最小值时点P的位置，由

（1）知△DAB≌△PAC，取AC的中点M，连接PM，则PM＝DE，PM长度的最小值就是DE长度的最小值，利用三角形中位线定理可得结论．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°

∵△ADP是等边三角形，

∴AD＝AP，∠DAP＝60°

∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC.

∴∠DAB＝∠PAC.

∴△DAB≌△PAC（SAS）．

∴BD＝CP.

作图如答图．

∴当点P与点E重合时，

AE＝DE，∠AED＝60°

∵CE⊥AB，∴AE＝BE.

∴DE＝BE.

∴∠ABD＝∠BDE＝12∠AED＝30°

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°

∴∠DBC＝90°

在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCF＝BFBC，

∴BF＝2•tan30°

＝233.

12.

　训练2答图

　2.直线型问题的变化与探究　

例2 

（2018，唐山路北区三模，导学号5892921）

（1）如图①，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D，F分别在边AB，AC上，请直接写出线段BD，CF的数量关系和位置关系；

（2）如图②，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时，上述结论还成立吗？

若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由；

（3）如图③，在

（2）的条件下，延长BD交直线CF于点G.当AB＝3，AD＝2，θ＝45°

时，直接写出线段BG的长．

例2题图

【思路分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可．

（2）根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF.根据全等三角形的性质得BD＝CF，∠ABM＝∠GCM，进而证明出BD⊥CF.（3）根据正方形和等腰直角三角形的性质利用相似三角形的判定和性质解答即可．

解：

（1）BD＝CF，BD⊥CF.

（2）成立．

证明：

如答图，延长BD，分别交直线AC，CF于点M，G.

∵△ABC是等腰直角三角形，

四边形ADEF是正方形，

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°

∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，

∠CAF＝∠DAF－∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF.

在△BAD和△CAF中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAF，AD＝AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．

∴BD＝CF，∠ABM＝∠GCM.

∵∠BMA＝∠CMG，

∴∠BGC＝∠BAC＝90°

∴BD⊥CF.

（3）BG＝955.

　例2答图

针对训练3 

（2018，廊坊模拟，导学号5892921）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，S△ABC＝18，动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段AC上由点C向点A运动，当点Q运动到点A时，P，Q两点同时停止运动．以PQ为边作正方形PQEF（P，Q，E，F按逆时针排序）．设点P运动时间为ts.

（1）求tanA的值；

（2）若正方形PQEF的面积为17，求出t的值；

（3）当t为何值时，正方形PQEF有三个顶点落在△ABC的边所在直线上？

请直接写出t的值．

训练3题图

【思路分析】

（1）过点B作BM⊥AC于点M.利用三角形面积公式求出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长即可解决问题．

（2）在Rt△PQN中，利用PQ2＝NQ2＋PN2，构建方程即可解决问题．（3）分四种情形分别求解即可解决问题．

（1）如答图，过点B作BM⊥AC于点M.

∵12AC•BM＝18，

∴BM＝4.

∴在Rt△ABM中，AM＝AB2－BM2＝3.

∴tanA＝BMAM＝43.

（2）如答图，过点P作PN⊥AC于点N.

∴PN∥BM.

∴△APN∽△ABM.

∴ANAM＝PNBM＝APAB.

∴AN3＝PN4＝5t5.

∴AN＝3t，PN＝4t.

∴QN＝AC－CQ－AN＝9－8t.

∵在Rt△PQN中，PQ2＝NQ2＋PN2，

∴（9－8t）2＋（4t）2＝17.

解得t＝1或t＝45.

∴当t为1或45时，正方形PQEF的面积为17.

（3）当t为2740或98或2726时，正方形PQEF有三个顶点落在△ABC的边所在直线上．

训练3答图

　与圆有关的问题

　1.与圆有关的计算与证明　

例3 

（2018，石家庄新华区二模，导学号5892921）如图，过半径为2的⊙O外一点P，作⊙O的切线PA，切点为A，连接PO，交⊙O于点C，过点A作⊙O的弦AB，使AB∥PO，连接PB，BC.

（1）当C是PO的中点时．

四边形PABC是平行四边形；

②求△PAB的面积；

（2）当AB＝22时，请直接写出PC的长度．

例3题图

【思路分析】

（1）①连接OA，OB，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证．②过点O作OE⊥AB，垂足为E.由AB∥OP，得△PAB的面积与△OAB的面积相等，求出△OAB的面积即可．

（2）先判断△OAB为等腰直角三角形，再证四边形ABOP为平行四边形，最后求出PC的长．

如答图，连接OA，OB，则有OA＝OB＝OC.

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥PA.

∵C是PO的中点，

∴PC＝OC＝12PO.

∴OA＝12PO.

∴在Rt△OAP中，sin∠APO＝OAPO＝12.

∴∠APO＝30°

∴∠POA＝60°

∵AB∥PO，

∴∠BAO＝∠POA＝60°

∴△OAB是等边三角形．

∴AB＝OA.

∴AB＝PC.

∴四边形PABC是平行四边形．

如答图，过点O作OE⊥AB，垂足为E.

在Rt△OAE中，

OE＝OA•sin60°

＝2×

32＝3.

∴S△OAB＝12AB•OE＝12×

2×

3＝3.

∴S△PAB＝S△OAB＝3.

PC＝22－2.

例3答图

针对训练4 

（2018，邯郸模拟，导学号5892921）如图①，点O在线段AB上（不与端点A，B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切于点P，直线CD垂直平分线段PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE＝DB.已知AB＝6，设OA＝r.

OP∥ED；

（2）当∠ABP＝30°

时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形；

（3）过点O作OF⊥DE于点F，如图②所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？

若不变，直接写出EF的值；

若变化，直接写出EF与r的关系．

训练4题图

【思路分析】

（1）由BP为⊙O的切线知OP⊥BP，结合CD⊥BP即可得证．

（2）由∠OPB＝90°

，∠ABP＝30°

得∠AOP＝120°

.根据OP＝12OB求得r＝2，利用扇形的面积公式计算可得．证△EDB是等边三角形得BD＝BE，结合CD⊥PB知CD＝CE，据此得DE与PB互相垂直平分，从而得证．（3）证△DBC∽△OBP得CDOP＝BDBO＝BCBP＝12，据此知CD＝12OP＝12r，BD＝12BO＝12（6－r）＝3－12r.根据DB＝DE知CE＝3－r，再证四边形OFCP为矩形得CF＝OP＝r，由EF＝CF＋CE可得答案．

∵BP为⊙O的切线，

∴OP⊥BP.

∵CD⊥BP，

∴OP∥ED.

∵在Rt△OBP中，∠OPB＝90°

∴∠AOP＝120°

∵在Rt△OBP中，OP＝12OB，

∴r＝12（6－r）．

解得r＝2.

∴S扇形AOP＝120π•22360＝4π3.

∵CD⊥PB，∠ABP＝30°

∴∠EDB＝60°

∵DE＝BD，