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现现在在，计计算算机机终终于于给给数数论论这这门门再再纯纯洁洁不不过过的的数数学学分分支支扬扬起起了了应应用用的的帆帆。

我我们们这这里里介介绍绍的的虽虽然然只只是是初初等等数数论论的的基基础础知知识识，但但它它们们在在计计算算机机的的数数据据表表示示、数数据据传传输输以以及及电电子子商商务务应应用用中中的的数数据据保密等方面起着非常重要的作用。

保密等方面起着非常重要的作用。

54-54-33第第1199章章初等数论初等数论119.19.1素数素数119.29.2最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数119.39.3同余同余119.49.4一次同余方程一次同余方程119.59.5欧拉定理和费马小定理欧拉定理和费马小定理19.619.6初等数论在计算机科学技术中的几个应用初等数论在计算机科学技术中的几个应用54-54-441199.1.1素数素数整除、倍数和因子整除、倍数和因子带余除法带余除法素数与合数素数与合数算术基本定理算术基本定理筛法筛法54-54-55整除、倍数和因子整除、倍数和因子今后只考虑正整数的正因子今后只考虑正整数的正因子.平凡因子平凡因子:

1:

1和自身和自身真因子真因子:

除除11和自身之外的因子和自身之外的因子例如例如,2,3,2,3是是66的真因子的真因子设设a,b是两个整数，且是两个整数，且b0.如果存在整数如果存在整数c使使a=bc，则则称称a被被b整除整除，或，或b整除整除a，记作记作b|a.此时此时,又称又称a是是b的的倍数倍数，b是是a的的因子因子.把把b不整除不整除a记作记作ba.例如例如,6有有8个因子个因子1,2,3和和6.54-54-66整除的性质整除的性质性质性质119.19.1若若a|ba|b且且a|c,a|c,则则xx,yy,有有a|a|xbxb+ycyc.性质性质119.29.2若若a|ba|b且且b|c,b|c,则则a|c.a|c.性质性质119.39.3设设mm0,0,则则a|ba|b当且仅当当且仅当ma|ma|mbmb.性质性质119.49.4若若a|ba|b且且b|a,b|a,则则aa=b.b.性质性质119.59.5若若a|ba|b且且bb0,0,则则|a|a|b|b|.带余除法带余除法:

a=qb+r,0r1,1,pp是素数且是素数且dd|p,p,则则dd=pp.性质性质119.79.7设设pp是素数且是素数且pp|abab,则必有则必有pp|aa或者或者pp|bb.设设pp是素数且是素数且pp|aa11aa22aakk,则必存在则必存在11iikk,使得使得pp|aaii.性质性质119.89.8aa11是合数当且仅当是合数当且仅当aa=bcbc,其中其中11bba,a,11cc1,则则a=,其中其中p1,p2,pk是不相同的素数是不相同的素数,r1,r2,rk是正整数是正整数,并且在不并且在不计顺序的情况下计顺序的情况下,该表示是惟一的该表示是惟一的.该表达式称作整数该表达式称作整数a的的素因子分解素因子分解.例如例如30=235,117=3213,1024=210推论推论设设a=,其中其中p1,p2,pk是不相同的素数是不相同的素数,r1,r2,rk是正整数是正整数,则正整数则正整数d为为a的因子的充分必要条件的因子的充分必要条件是是d=,其中其中0siri,i=1,2,k.54-54-99例题例题例121560有多少个正因子?

解解21560=2357211由推论由推论,21560的正因子的个数为的正因子的个数为4232=48.例例210!

的二进制表示中从最低位数起有多少个连续的的二进制表示中从最低位数起有多少个连续的0?

解解2,3,4=22,5,6=23,7,8=23,9=32,10=25.得得10!

=2834527,故故10!

的二进制表示中从最低位数起有的二进制表示中从最低位数起有88个连续的个连续的0.54-54-1010素数的分布素数的分布梅森数梅森数（MarinMersenne）:

2p1,其中其中p为素数为素数当当n是合数时是合数时,2n1一定是合数一定是合数,2ab1=（2a1）（2a（b1）+2a（b2）+2a+1）.梅森数可能是素数梅森数可能是素数,也可能是合数也可能是合数:

221=3,231=7,251=31,271=127都是素数都是素数,而而2111=2047=2389是合数是合数.到到2002年找到的最大梅森素数是年找到的最大梅森素数是2134669171,有有4百万位百万位.定理定理19.2有无穷多个素数有无穷多个素数.证证用反证法用反证法.假设只有有穷多个素数假设只有有穷多个素数,设为设为p1,p2,pn,令令m=p1p2pn+1.显然显然,pim,1in.因此因此,要么要么m本身本身是素数，要么存在大于是素数，要么存在大于pn的素数整除的素数整除m,矛盾矛盾.54-54-1111素数的分布素数的分布（续续）（n）:

小于等于n的素数个数.例如（0）=

（1）=0,

（2）=1,（3）=（4）=2,（5）=3.n103104105106107（n）n/lnn（n）n/lnn168122995927849866457914510868686723826204211.1591.1321.1041.0851.07154-54-1212素数的分布素数的分布（续续）补充定理补充定理当当nn6767时时,定理定理19.3（19.3（素数定理素数定理）54-54-1313素数测试素数测试定理定理19.4如果如果a是合数是合数,则则a必有小于等于必有小于等于的真因子的真因子.证证由性质由性质19.8,a=bc,其中其中1ba,1c（）2=a,矛盾矛盾.推论推论如果如果a是合数是合数,则则a必有小于等于必有小于等于的素因子的素因子.证证由定理由定理19.4,a有小于等于有小于等于的真因子的真因子b.如果如果b是素数是素数,则结论成立则结论成立.如果如果b是合数是合数,由性质由性质19.9和性质和性质19.5,b有有素因子素因子pb.根据性质根据性质19.2,p也是也是a的因子的因子,结论也结论也成立成立.54-54-1414实例实例例例3判断判断157和和161是否是素数是否是素数.解解,都小于都小于13,小于小于13的素数有的素数有:

2,3,5,7,11.检查结果如下检查结果如下:

2157,3157,5157,7157,11157结论结论:

157是素数是素数.2161,3161,5161,7|161（161=723）结论：

结论：

161是合数是合数.54-54-1515埃拉托斯特尼埃拉托斯特尼（EratostheneEratosthene）筛法筛法12345678910123456789101234567891012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697989910054-54-1616119.29.2最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数公约数、最大公约数公倍数、最小公倍数辗转相除法互素54-54-1717最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数dd是是aa与与bb的的公因子公因子（公约数公约数）:

dd|aa且且dd|bbmm是是aa与与bb的的公倍数公倍数:

aa|mm且且bb|mm定义定义11.311.3设设aa和和bb是两个不全为是两个不全为00的整数的整数,称称aa与与bb的公因子中的公因子中最大的为最大的为aa与与bb的的最大公因子最大公因子,或或最大公约数最大公约数,记作记作gcd（gcd（a,ba,b）.设设aa和和bb是两个非零整数是两个非零整数,称称aa与与bb最小的正公倍数为最小的正公倍数为aa与与bb的的最小公倍