高二数学经典教案全集圆锥曲线方程Word文件下载.docx
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推导分4步完成,每步重点讲解,关键步骤加以补充说明.)
3.疑点:
椭圆的定义中常数加以限制的原因.
分三种情况说明动点的轨迹.)
三、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.
四、教学过程
(一)椭圆概念的引入
前面,大家学习了曲线的方程等概念,哪一位同学回答:
问题1:
什么叫做曲线的方程?
求曲线方程的一般步骤是什么?
其中哪几个步骤必不可少?
对上述问题学生的回答基本正确,否则,教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,在已有知识基础上去探求新知识.
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.
问题3:
圆的几何特征是什么?
你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索?
一般学生能回答:
“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的轨迹命题如:
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”
教师要加以肯定,以鼓励同学们的探索精神.
比如说,若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”,那么动点轨迹是什么呢?
这时教师示范引导学生绘图:
取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13),当绳长大于F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆.
教师进一步追问:
“椭圆,在哪些地方见过?
”有的同学说:
“立体几何中圆的直观图.”有的同学说:
“人造卫星运行轨道”等……
在此基础上,引导学生概括椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调:
(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外,得到的不是椭圆,而是椭球形,使学生认识到需加限制条件:
“在平面内”.
(2)这里的常数有什么限制吗?
教师边演示边提示学生注意:
若常数=|F1F2|,则是线段F1F2;
若常数<|F1F2|,则轨迹不存在;
若要轨迹是椭圆,还必须加上限制条件:
“此常数大于|F1F2|”.
(二)椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义,可以知道它的基本几何特征,但对椭圆还具有哪些性质,我们还一无所知,所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程?
根据求曲线方程的一般步骤,可分:
(1)建系设点;
(2)点的集合;
(3)代数方程;
(4)化简方程等步骤.
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图2-14).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(-1,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
(3)代数方程
(4)化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演,其余同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示:
①原方程要移项平方,否则化简相当复杂;
注意两次平方的理由详见问题3说明.整理后,再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
②为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义,下节课还要
(a>b>0).
关于证明所得的方程是椭圆方程,因教材中对此要求不高,可从略.
示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0).这里c2=a2-b2.
2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)
0)、F2(c,0),这里c2=a2-b2;
-c)、F2(0,c),这里c2=a2+b2,只须将
(1)方程的x、y互换即可得到.
教师指出:
在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
(三)例题与练习
例题 平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程.
分析:
先根据题意判断轨迹,再建立直角坐标系,采用待定系数法得出轨迹方程.
解:
这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用F1、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
∵2a=10,2c=8.
∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.∴b=3
因此,这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想,焦点F1、F2放在y轴上,线段F1F2的垂直平分
练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
练习2 下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是 [ ]
由学生口答,答案为D.
(四)小结
1.定义:
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.
3.图形如图2-15、2-16.
4.焦点:
F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0,c).
五、布置作业
1.如图2-17,在椭圆上的点中,A1与焦点F1的距离最小,|A1F1|=2,A2
F1的距离最大,|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
是过F1的直线被椭圆截得的线段长,求△ABF2的周长.
作业答案:
4.由椭圆定义易得,△ABF2的周长为4a.
椭圆的几何性质
通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用.
通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力.
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等.
椭圆的几何性质及初步运用.
引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.)
椭圆离心率的概念的理解.
先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.)
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.)
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.
(一)复习提问
1.椭圆的定义是什么?
2.椭圆的标准方程是什么?
学生口述,教师板书.
(二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是银板几何的基本问题之一,本节课就根据椭圆的标准方程:
(a>
0,b>0)来研究椭圆的几何性质.
.说明:
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
1.范围
从标准方程中得出:
即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±
a和直线y=±
b所围成的矩形里(图2-18).注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.
2.对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.
设问:
为什么“把x换成-x,或把y换成-y?
,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢?
事实上,在曲线的方程里,如果把x换成-x而方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上,所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.
同时向学生指出:
如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具有另一种对称.如:
如果曲线关于x轴和原点对称,那么它一定关于y轴对称.
事实上,设P(x,y)在曲线上,因为曲线关于x轴对称,所以点P1(x,-y)必在曲线上.又因为曲线关于原点对称,所以P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲线上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上,所以曲线关于y轴对称.
最后指出:
x轴、y轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.
3.顶点
只须令x=0,得y=±
b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;
令y=0,得x=±
a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出:
椭圆有四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).
教师还需指出:
(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b;
(2)a、b的几何意义:
a是长半轴的长,b是短半轴的长;
这时,教师可以小结以下:
由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得到较正确的图形.
4.离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义:
等到介绍椭圆的第二定义时,再讲清离心率e的几何意义.
先分析椭圆的离心率e的取值范围:
∵a>c>0,∴0<e<1.
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:
(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;
(3)当e=0时,c=0,a=b两焦点重合,椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形就是圆了.
(三)应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识,掌握用描点法画图的基本方法,给出如下例1.
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
本例前一部分请一个同学板演,教师予以订正,估计不难完成.后一部分由教师讲解,以引起学生重视,步骤是:
(2)描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19).要强调:
利用对称性可以使计算量大大减少.
本例实质上是椭圆的第二定义,是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的,同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤,因此,要详细讲解:
设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M
将上式化简,得:
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).
这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是椭圆.
由此例不难归纳出椭圆的第二定义.
(四)椭圆的第二定义
1.定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数
线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率.
2.说明
这时还要讲清e的几何意义是:
椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.
(五)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的,同一曲线由于坐标系选取不同,方程的形式也不同,但是最后得出的性质是一样的,即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质,类似可以理解第二个标