第二十二章一元二次方程导学案修订文档格式.docx
《第二十二章一元二次方程导学案修订文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二十二章一元二次方程导学案修订文档格式.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：
__________．
问题
（2）如图，如果
，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：
________．
整理得：
_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：
_______．整理，得：
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：
请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？
或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：
（1）都只含一个未知数x；
（2）它们的最高次数都是2次的；
（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：
去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：
4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动：
请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；
一次项、一次项系数；
常数项．
分析：
通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：
2x2+2x-4=0
其中：
二次项2x2，二次项系数2；
一次项2x，一次项系数2；
常数项-4．
三、巩固练习
教材练习1、2
四、应用拓展
例3．求证：
关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：
m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>
0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．教材P28习题22．11、2．
教学反思
第二课时
教学内容
1．一元二次方程根的概念；
2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；
由解给出根的概念；
再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
1．重点：
判定一个数是否是方程的根；
2．难点关键：
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
教学过程
一、复习引入
请同学独立完成下列问题．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么，列表：
根据题意，可得方程为___________．
整理，得_________．
问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为_______m．列表：
9
10
11
根据题意，得________．
整理，得________．
老师点评（略）
提问：
（1）问题1中一元二次方程的解是多少？
问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？
问题2呢？
（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．
（3）如果抛开实际问题，问题
（1）中还有x=-6的解；
问题2中还有x=-12的解．
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看：
x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；
同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0
要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
三、巩固练习
教材P28思考题练习1、2．
例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？
可能等于10吗？
说说你的理由．
（2）完成下表：
x
12
13
14
15
16
17
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．
（1）x不可能小于5．理由：
如果x<
5，则宽（x-5）<
0，不合题意．
x不可能等于10．理由：
如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
10
11
12
13
……
-100
-84
-66
-46
-24
26
54
（2）
（3）铁片长x=15cm
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．
1．教材P28复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9．
22.2.1直接开平方法
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：
通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
一、复习引入
请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°
，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
问题2：
设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：
x·
2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±
即x1=2
，x2=-2
可以验证，2
和-2
都是方程
x·
2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2
秒后△PBQ的面积等于8cm2．
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±
，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
回答是肯定的，把2t+1变为上面的
升级会员 