第3章部分习题参考解答资料下载.pdf
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求,有E?
220022000222200220(/2)/2ln2ln(/2)/2)ln212/2(/2)(/2)4(/2)llllLLEdeLLdeLLLzeL+=+=+=+?
3.2点电荷位于,另一点电荷1qq=1(,0,0)Pa22qq=位于,求空间的零电位面。
2(,0,0)Pa解:
两个点电荷q+和在空间产生的电位2q222222012(,)4()()qqxyzxayzxayz=+令(,)0xyz=,则有222222120()()xayzxayz=+即222224()()2xayzxayz+=+故得22254()(332)xayza+=由此可见,零电位面是一个以点5(,0,03a)为球心、43a为半径的球面。
3.3电场中有一半径为a的圆柱体,已知圆柱体内、外的电位函数分别为1220,cos,aaAa=
(1)求圆柱内、外的电场强度;
(2)这个圆柱是什么材料制成的?
其表面上有电荷分布吗?
试求之。
(1)由E=?
,可得a时,0E=?
a时,22()cos()cosaaEeAeA=?
22221cos1sinaaeAeA=+?
(2)该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为n002cosSaaeDeEA=?
3.4已知的空间中没有电荷,试判断下列函数中哪些是可能的电位解?
0y
(1);
(2);
(3)coshyexcosyex2sincosexx;
(4)sinsinsinxyz。
在电荷体密度0=的空间,电位函数应满足拉普拉斯方程。
20=
(1)222222(cosh)(cosh)(cosh)yyyexexexxyz+=2coshyex0所以函数不是空间中的电位解;
coshyex0y
(2)222222(cos)(cos)(cos)yyyexexexxyz+=coscos0yyexex+=所以函数是空间中可能的电位解;
cosyex0y(3)222222(sincos)(sincos)(sincosexxexxexxyz+)x224sincos2sincosexxexx=+0所以函数2sincosexx不是空间中的电位解;
0y(4)222222(sinsinsin)(sinsinsin)(sinsinsin)xyzxyzxyzxyz+3sinsinsin0xyz=所以函数sinsinsinxyz不是空间中的电位解。
0y3.5一半径为0R的介质球,介电常数为r0=,其内均匀地分布着体密度为的自由电荷,试证明该介质球中心点的电位为2r0r02123R+。
由高斯定理dSDSq=?
,得0rR时,3202443RrD=,即30223RDr=,30122003RDEr=故介质球中心点的电位为00003222000r12000r0r00r0021(0)dddd()363232RRRRRRRrErErrrRr+=+=+=+=33.6电场中有一半径为、介电常数为a的介质球,已知球内、外的电位函数分别为3010020coscos2EraEr=+(ra)02003cos2Er=+(ra)试验证介质球表面上的边界条件,并计算介质球表面上的束缚电荷密度。
在介质球表面上001000003(,)coscoscos22aEaaEEa=+=+02003(,)cos2aEa=+0100002()3coscoscos22raEEr0E=+02003cos2raEr=+故有12(,)(,)aa=,120rararr=可见,1和2满足球表面上的边界条件。
介质球表面的束缚电荷密度为n20r2()PSraePeE=?
0020003()()cos2raEr=+3.7两块无限大导体平板分别置于0x=和xd=处,板间充满电荷,其体电荷密度为0xd=,极板的电位分别设为0和,如图题3.7所示,求两导体板之间的电位和电场强度。
0U()x0=0U=0dx图题图题3.7解:
两导体板之间的电位满足泊松方程20=,故得2020d1dxxd=解此方程,得3006xAxBd=+在处,0x=0=,故0B=在xd=处,0U=,故30006dUAdd=+,得0006UdAd=+所以30000066xUdxdd=+20000026xxxUdEeexdd=+?
3.8试证明:
同轴线单位长度的静电储能2e2lqWC=。
式中为单位长度上的电荷量,C为单位长度上的电容。
lq证:
证:
由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为()2lqE=内外导体间的电压为ddln22bbllaaqqbUEa=则同轴线单位长度的电容为2ln(/)lqCUba=同轴线单位长度的静电储能为2222e111d2dln222222llblVaqqqbWEVaC=13.9有一半径为a、带电量q的导体球,其球心位于介电常数分别为1和2的两种介质分界面上,设该分界面为无限大平面。
试求:
(1)导体球的电容;
(2)总的静电能量。
图题图题3.9a21oq解:
(1)由于电场沿径向分布,根据边界条件,在两种介质的分界面上,故有1t2tEE=12EEE=。
由于111DE=、222DE=,所以12DD。
由高斯定理,得1122DSDSq+=,即221222rErEq+=所以2122()qEr=+导体球的电位212121()dd2()2()aaqqaErrra=+故导体球的电容122()()qCaa=+
(2)总的静电能量为2e121()24()qWqaa=+3.10两平行的金属板,板间距离为d,竖直地插入介电常数为的液态介质中,两板间加电压U,试证明液面升高02001()2Uhgd=式中的为液体的质量密度,为重力加速度。
g图题图题3.10dU0Lh解:
设金属板的宽度为a、高度为。
当金属板间的液面升高为h时,其电容为L0()aLhahCdd=+金属板间的静电能量为0022e01()22aUUhLhdWC=+液体受到竖直向上的静电力为02ee0()2aUWFhd=而液体所受重力gFmgahdg=eF与gF相平衡,即200()2aUahdgd=故得到液面上升的高度2200002()1()22UUhdggd=3.11同轴电缆的内导体半径为,外导体内半径为;
内、外导体之间填充两层有损耗介质,其介电常数分别为ac1和2,电导率为1和2,两层介质的分界面为同轴圆柱面,分界面半径为b。
当外加电压为时,试求:
(1)介质中的电流密度和电场强度分布;
(2)同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。
0U解:
(1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由dSJSI=?
,可得电流密度2IJe=?
()ac介质中的电场1112JIEe=?
()ab2222JIEe=?
()bc由于01212ddlnln22bcabIbIcUEEab=+=+?
于是得到120212ln(/)ln(/)UIbacb=+故两种介质中的电流密度和电场强度分别为12021ln(/)ln(/)UJebacb=+?
()ac20121ln(/)ln(/)UEebacb=+?
()ab10221ln(/)ln(/)UEebacb=+?
()bc
(2)同轴电缆单位长度的漏电阻为02112ln(/)ln(/)2UbacbRI+=由静电比拟,可得同轴电缆单位长度的电容为12212ln(/)ln(/)Cbacb=+3.12在电导率为的无限大均匀介质内,有两个半径分别为1R和2R的理想导体小球,两小球之间的距离为d(设、),试求两个小导体球面之间的电阻。
(注:
只需求一级近似解)1dR?
2dR?
此题可采用静电比拟的方法求解。
假设位于介电常数为的介质中的两个小球分别带电荷和,由于两球间的距离、,两小球表面的电位为qq1dR?
11211()4qRdR=,22111()4qRdR=所以两小导体球面间的电容为1212141111qC2RRdRdR=+由静电比拟,得到两小导体球面间的电导为1212141111IG2RRdRdR=+故两个小导体球面间的电阻为121111111()4RGRRdRdR=+2r23.13在一块厚度为d的导体板上,由两个半径为和的圆弧和夹角为1r的两半径割出的一块扇形体,如图题3.13所示。
(1)沿导体板厚度方向的电阻;
(2)两圆弧面间的电阻;
沿方向的两电极间的电阻。
设导体板的电导率为。
1r2rdJ图题图题3.13解:
(1)设沿厚度方向的两电极的电压为U,则有111UEd=,111UJEd=,22111121()2UIJSrrd=故得到沿厚度方向的电阻为1122122()UdR1Irr=
(2)设内外两圆弧面电极之间的电流为U,则2rdISIJ2222=,222JIErd=,2122221dlnrrIrUErdr=故得到两圆弧面之间的电阻为222211lnUrRIdr=(3)设沿方向的两电极的电压为3U,则有UE330dr=由于与3E无关,所以得到33UEer=?
,333UJEer=?
,231332331ddlnrSrdUdUrIJeSrrr=?
故得到沿方向的电阻为3332ln(/)UR1Idrr=3.14有用圆柱坐标系表示的电流分布0()()zJeJ=a?
,试求矢量磁位A?
和磁感应强度B?
。
由于电流只有分量,且仅为圆柱坐标ze?
的函数,故A?
也只有分量,且仅为ze?
的函数。
记a和a的矢量位分别为1A?
和2A?
由于在a时电流为零,所以211001()()zzAAJ=a()2221()()0zzAA=(a)由此可解得310011()ln9z1AJC=+D()lnACD222z=+2C2zA式中,C、可由和满足的边界条件确定:
11D2D1zA0时,1()zA为有限值,若令此有限值为零,则得C10=、。
10D=a=时,12()()zzAaAa=12zzaaAA=即300221ln9JaCaD=+,2002113JaCa=由此可解得32013CJ0=a,320011(ln)33DJaa=故3101()9zA0J=(a)3332000000111113()ln(ln)(ln)3333zAJaJaaJaa=+a()空间的磁感应强度为20011()()3JBAe=?
(a)3.15无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面,如图题3.15所示,试求:
(1)两种磁介质中的磁感应强度1B?
和2B?
;
(2)磁化电流分布。
10=2=Ixz图题图题3.15解:
(1)由安培环路定理,可得2IHe=?
所以得到0102IBHe=?
22IBHe=?
(2)磁介质在的磁化强度0200()12IMBHe=?
则磁化电流体密度0m0()1d1d1()()d2dzzIJMeMe0=?
由22IBHe=?
看出,在0=处,2B?
具有奇异性,所以在磁介质中0=处存在磁化线电流mI。
以轴为中心、z为半径作一个圆形回路C,由安培环路定理,有m001dCIIIBl+=?
故得到m0
(1)II=在磁介质的