第3章部分习题参考解答资料下载.pdf

1、求，有 E?220022000222200220（/2）/2ln2ln（/2）/2）ln212/2（/2）（/2）4（/2）llllLLEdeLLdeLLLzeL+=+=+=+?3.2 点电荷位于，另一点电荷1qq=1（,0,0）Pa22qq=位于，求空间的零电位面。2（,0,0）P a解：两个点电荷q+和在空间产生的电位 2q222222012（,）4（）（）qqx y zxayzxayz=+令（,）0 x y z=，则有 222222120（）（）xayzxayz=+即 222224（）（）2xayzxayz+=+故得 22254（）（332）xayza+=由此可见，零电位面是一个以点5（

2、,0,03a）为球心、43a为半径的球面。3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为 1220,cos,aaAa=（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？其表面上有电荷分布吗？试求之。（1）由E=?，可得 a时，0E=?a时，22（）cos（）cosaaEeAeA=?22221cos1sinaae Ae A=+?（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 n002cosSaaeDeEA=?3.4 已知的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？0y（1）；（2）；（3）coshyexcosyex2sin

3、cosexx；（4）sin sinsinxyz。在电荷体密度0=的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程。20=（1）222222（cosh）（cosh）（cosh）yyyexexexxyz+=2coshyex0 所以函数不是空间中的电位解；coshyex0y（2）222222（cos）（cos）（cos）yyyexexexxyz+=coscos0yyexex+=所以函数是空间中可能的电位解；cosyex0y（3）222222（sin cos）（sin cos）（sin cosexxexxexxyz+）x 224sin cos2sin cosexxexx=+0 所以函数2sin cosexx不是空间

4、中的电位解；0y（4）222222（sin sin sin）（sin sin sin）（sin sin sin）xyzxyzxyzxyz+3sin sinsin0 xyz=所以函数sin sinsinxyz不是空间中的电位解。0y 3.5 一半径为0R的介质球，介电常数为r0=，其内均匀地分布着体密度为的自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为2r0r02123R+。由高斯定理dSDSq=?，得 0rR时，3202443Rr D=，即30223RDr=，30122003RDEr=故介质球中心点的电位为 00003222000r12000r0r00r0021（0）dddd（）363232RRRRR

5、RRrE rErrrRr +=+=+=+=33.6 电场中有一半径为、介电常数为a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为 3010020coscos2E ra Er=+（ra）02003cos2E r=+（ra）试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。在介质球表面上 001000003（,）coscoscos22aE aaEE a=+=+02003（,）cos2aE a=+0100002（）3coscoscos22r aEEr0E=+02003cos2r aEr=+故有12（,）（,）aa=，120r ar arr=可见，1和2满足球表面上的边界条件。介质球表面的束缚电

6、荷密度为 n20r2（）PSr aePeE=?0020003（）（）cos2r aEr=+3.7 两块无限大导体平板分别置于0 x=和xd=处，板间充满电荷，其体电荷密度为0 xd=，极板的电位分别设为0和，如图题3.7所示，求两导体板之间的电位和电场强度。0U（）x0=0U=0dx 图题图题 3.7 解：两导体板之间的电位满足泊松方程20=，故得2020d1dxxd=解此方程，得 3006xAxBd=+在处，0 x=0=，故 0B=在xd=处，0U=，故30006dUAdd=+，得0006UdAd=+所以30000066xUdxdd=+20000026xxxUdEeexdd=+?3.8 试证

7、明：同轴线单位长度的静电储能2e2lqWC=。式中为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。lq证：证：由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为（）2lqE=内外导体间的电压为 ddln22bbllaaqqbUEa=则同轴线单位长度的电容为 2ln（/）lqCUb a=同轴线单位长度的静电储能为 2222e111d2 dln2222 22llblVaqqqbWEVaC=1 3.9 有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为1和2的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电能量。图题图题 3.9 a21oq解：（1）由于电场沿径向分布

8、，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有 1t2tEE=12EEE=。由于111DE=、222DE=，所以12DD。由高斯定理，得 1 122DSD Sq+=，即221222rErEq+=所以 2122（）qEr=+导体球的电位 212121（）dd2（）2（）aaqqaE rrra=+故导体球的电容 122（）（）qCaa=+（2）总的静电能量为 2e121（）24（）qWq aa=+3.10 两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入介电常数为的液态介质中，两板间加电压U，试证明液面升高 02001（）2Uhgd=式中的为液体的质量密度，为重力加速度。g 图题图题 3.10 dU0Lh解：

9、设金属板的宽度为a、高度为。当金属板间的液面升高为h时，其电容为 L0（）a LhahCdd=+金属板间的静电能量为 0022e01（）22aUUhLhdWC=+液体受到竖直向上的静电力为 02ee0（）2aUWFhd=而液体所受重力 gFmgahd g=eF与gF相平衡，即 200（）2aUahdgd=故得到液面上升的高度 2200002（）1（）22UUhdggd=3.11 同轴电缆的内导体半径为，外导体内半径为；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为ac1和2，电导率为1和2，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。当外加电压为时，试求：（1）介质中的电流密度和电场强度

10、分布；（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。0U解：（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由dSJSI=?，可得电流密度 2IJe=?（）ac 介质中的电场 1112JIEe=?（）ab 2222JIEe=?（）bc 由于 01212ddlnln22bcabIbIcUEEab=+=+?于是得到 120212ln（/）ln（/）UIb ac b=+故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 12021ln（/）ln（/）UJeb ac b =+?（）ac 20121ln（/）ln（/）UEeb ac b=+?（）ab 10221ln（/）ln（/）UEeb ac b=+?（）bc（2）同轴电缆

11、单位长度的漏电阻为 02112ln（/）ln（/）2Ub ac bRI+=由静电比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为12212ln（/）ln（/）Cb ac b=+3.12 在电导率为的无限大均匀介质内，有两个半径分别为1R和2R的理想导体小球，两小球之间的距离为d（设、），试求两个小导体球面之间的电阻。（注：只需求一级近似解）1dR?2dR?此题可采用静电比拟的方法求解。假设位于介电常数为的介质中的两个小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，两小球表面的电位为 qq1dR?11211（）4qRdR=，22111（）4qRdR=所以两小导体球面间的电容为 1212141111qC2RRdRdR=+

12、由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 1212141111IG2RRdRdR=+故两个小导体球面间的电阻为 121111111（）4RGRRdRdR=+2r2 3.13 在一块厚度为d的导体板上，由两个半径为和的圆弧和夹角为1r的两半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。（1）沿导体板厚度方向的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；沿方向的两电极间的电阻。设导体板的电导率为。1r2rdJ 图题图题 3.13 解：（1）设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有 111UEd=，111UJEd=，22111121（）2UIJ Srrd=故得到沿厚度方向的电阻为 1122122（）UdR1Irr=（2）设内

13、外两圆弧面电极之间的电流为U，则 2rdISIJ2222=，222JIErd=，2122221dlnrrIrUErdr=故得到两圆弧面之间的电阻为 222211lnUrRIdr=（3）设沿方向的两电极的电压为3U，则有 UE330dr=由于与3E无关，所以得到 33UEer=?，333UJEer=?，231332331ddlnrSrdUdUrIJeSrrr=?故得到沿方向的电阻为 3332ln（/）UR1Idrr=3.14 有用圆柱坐标系表示的电流分布0（）（）zJeJ=a?，试求矢量磁位A?和磁感应强度B?。由于电流只有分量，且仅为圆柱坐标ze?的函数，故A?也只有分量，且仅为ze?的函数。

14、记a和a的矢量位分别为1A?和2A?由于在a时电流为零，所以 211001（）（）zzAAJ=a （）2221（）（）0zzAA=（a）由此可解得 310011（）ln9z1AJC=+D（）lnACD 222z=+2C2zA 式中，C、可由和满足的边界条件确定：11D2D1zA 0时，1（）zA为有限值，若令此有限值为零，则得C10=、。10D=a=时，12（）（）zzAaAa=12zzaaAA=即 300221ln9J aCaD=+，2002113J aCa=由此可解得 32013CJ0=a，320011（ln）33DJ aa=故 3101（）9zA0J=（a）333200000011111

15、3（）ln（ln）（ln）3333zAJ aJ aaJ aa=+a （）空间的磁感应强度为 20011（）（）3JBAe=?（a）3.15 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，如图题3.15所示，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度1B?和2B?；（2）磁化电流分布。10=2=Ixz 图题图题 3.15 解：（1）由安培环路定理，可得 2IHe=?所以得到 0102IBHe=?22IBHe=?（2）磁介质在的磁化强度 0200（）12IMBHe=?则磁化电流体密度 0m0（）1 d1 d1（）（）d2dzzIJMeMe0=?由22IBHe=?看出，在0=处，2B?具有奇异性，所以在磁介质中0=处存在磁化线电流mI。以轴为中心、z为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有 m001dCIIIBl+=?故得到 m0（1）II=在磁介质的