考研数学三知识点总结资料下载.pdf

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间断点处左右极限存在但不相等。

f（x0+0）f（x00）第二类间断点：

间断点处左右极限至少有一个是重要极限limx0sinxx=1limx（1+1x）x=elimx0（1+x）1x=ex趋向于0时的等价无穷小sinxxtanxxarcsinxxarctanxx1cosx12x2ln（1+x）xloga（x+1）xlnaex1xax1xlnan1+x1xn（1+bx）a1abx导数公式（ax）=axlna（logax）=1xlna（tanx）=sec2x（cotx）=csc2x（secx）=secxtanx（cscx）=cscxcotx（arcsinx）=11x2（arccosx）=11x2（arctanx）=11+x2（arccotx）=11+x2sin（ax+b）（n）=ansin（ax+b+n2）cos（ax+b）（n）=ancos（ax+b+n2）（1ax+b）（n）=

（1）nann!

（ax+b）n+1ln（ax+b）（n）=

（1）n1（n1）!

an（ax+b）n积分公式dxx2a2=lnx+x2a2+Cdxa2x2=arcsinxa+Cdxx2a2=12lnxax+a+Cdxx2+a2=1aarctanxa+Cdxa2x2+b2=1abarctanaxb+csecxdx=lnsecx+tanx+ccscxdx=lncscxcotx+ca2x2dx=a22arcsinx2+x2a2x2+cx2a2dx=x2x2a2a22lnx+x2a2+c02sinnxdx=02cosnxdx=（n1）!

n!

2（n为偶数）02sinnxdx=02cosnxdx=（n1）!

（n为奇数）02f（sinx）dx=02f（cosx）dx0xf（sinx）dx=20f（sinx）dx=02f（sinx）dx0xf（t）dt0xf（t）dt0af（x）dx=120af（x）+f（x）dxaaf（x）dx=0af（x）+f（x）dxfx（x,y）,fy（x,y）在（x0,y0）连续z=f（x,y）在（x0,y0）可微f（x,y）在（x0,y0）连续二重积分特点积分区域D关于x轴对称Df（x,y）d=0f为y的奇函数，即f（x,y）=f（x,y）Df（x,y）d=2D1f（x,y）df为y的偶函数，即f（x,y）=f（x,y）积分区域D关于y轴对称Df（x,y）d=0f为x的奇函数，即f（x,y）=f（x,y）Df（x,y）d=2D1f（x,y）df为x的偶函数，即f（x,y）=f（x,y）积分区域关于原点对称Df（x,y）d=0f为x，y的奇函数，即f（x,y）=f（x,y）Df（x,y）d=2D1f（x,y）df为x，y的偶函数，即f（x,y）=f（x,y）函数展开式ex=1+x+12!

x2+1n!

xn=k=0nxkk!

sinx=x13!

x3+15!

x5+

（1）n11（2n1）!

x2n1=k=0n

（1）kx2k+1（2k+1）!

cosx=112!

x2+14!

x4+

（1）n1（2n）!

x2n=k=0n

（1）kx2k（2k）!

ln（1+x）=x12x2+13x3+

（1）n11nxn=k=1n

（1）k1xkk11+x=k=0n

（1）kxk11x=k=0nxk多元函数极值：

驻点（x0,y0）满足fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0且A=fxx（x0,y0）,B=fxy（x0,y0）,C=fyy（x0,y0）B2AC0时是最小值，A0时，（x0,y0）不是极值点。

B2AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。

一阶线性微分方程：

y+p（x）y=q（x）公式法通解：

y=ep（x）dxq（x）ep（x）dxdx+C二阶常系数线性微分方程：

y+py+qy=0，特征方程：

r2+pr=q=0=p24q0时，有两个相异实根r1r2，通解y=f（x）=C1er1x+C2er2x=p24q=0时，有二重根r，通解y=f（x）=（C1+C2x）erx=p24q0i不是特征根，y*=Acosx+Bsinxi是特征根，y*=x（Acosx+Bsinx）差分一般形：

yt+1+ayt=f（t），通解yt=C（a）tf（x）形式特解形式f（t）=Pn（t）Pn（t）为n次多项式a+10，y=Qn（t）a+1=0，y=tQn（t）f（t）=Mbta+b0，y=Abta+b=0，y=Atbtf（t）=Mcost+Nsinty=Acost+Bsint渐近线x=a是垂直渐近线limxaf（x）=，必须是a左右都趋于无穷。

x+时，y=b是水平渐近线limx+f（x）=bx+时，y=kx+b是斜渐近线limx+f（x）x=k，且limx+f（x）kx=b在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x时的情况。

级数n=1Un收敛的必要条件是limnUn=0若级数n=1Un收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。

n=0aqn，当q1时收敛，当p1时发散。

正项级数审敛法之一：

比较判别法n=1Un和n=1Vn为正项级数，且limxVnUn=A当0A+时，n=1Un和n=1Vn有相同的敛散性。

当A=0时，n=1Un收敛，则n=1Vn收敛；

n=1Vn发散，则n=1Un发散。

当A=+时，n=1Vn收敛，则n=1Un收敛；

n=1Un发散，则n=1Vn发散。

正项级数审敛法之二：

比值判别法limnUn+1Un=p当p1时，级数n=1Un发散当p=1时，比值判别法失效交错级数n=1

（1）nUn级数审敛莱布尼斯判别法若满足UnUn+1，即Un单调减少，且limnUn=0，则收敛。

幂级数收敛半径l=limnan+1an或l=limnnanR=1l，0l1时收敛，当q1时发散线性代数线性代数A为n阶矩阵，A可逆A0r（A）=nAx=0只有零解A与单位矩阵E等价A的特征值全不为0A的行/列向量组线性无关A是mn矩阵，b为m维列向量，Ax=b对于任何b总有解bRm，常数C1,C2,Cn，使（a1,a2,an）（C1C2Cn）=bA的列向量a1,a2,an可以表示任一m维列向量nm矩阵B，使AB=E向量组a1,a2,an与1=（100）,2=（010）n=（001）等价向量组秩r（a1,a2,an）=r（A）=mA行向量线性无关范德蒙行列式1111x1x2x3xnx12x22x32xn2x1n1x2n1x3n1xnn1=1jin（xixj）kA=knAAB=ABA*=An1A1=A1（kA）*=kn1A*A*=AA1（A*）1=（A1）*=AA（A*）*=An2A（An）1=（A1）n（kA）1=1kA1（AB）1=B1A1（A1）T=（AT）1（A*）T=（AT）*（kA）T=kAT（AB）T=BTAT（A+B）T=AT+BTAA*=A*=AEA=（abcd）的伴随阵A*=（dbca）即主对角线互换，副对角线变号。

A0*B=A*0B=AB，0AB*=*AB0=

（1）mnAB（B00C）n=（Bn00Cn）（B00C）1=（Bn00C1）（0BC0）1=（0C1B10）r（A*）=n，若r（A）=nr（A*）=1，若r（A）=n1r（A*）=0，若r（A）n1A经过有限次初等变换为B，则A，B等价A，B为同型矩阵mn，且r（A）=r（B）存在可逆矩阵P，Q，使A=PBQ（注意，即使AB为n阶方阵，未必有A=B）A，B是n阶矩阵，存在可逆矩阵P，使P1AP=B，则A、B相似，ABEA=EB，即A、B有相同的特征值i=1naii=i=1nbii，即A、B有相同的迹r（A）=r（B）A=BA、B是n阶实对称阵，若存在可逆矩阵C，使CTAC=B，则A、B合同。

记为AB实对称阵ABAB二次型xTAx与xTBx有相同的正负惯性指数r（A）=r（B）A是mn阶矩阵Ax=0有非零解r（A）n。

即，若mn，则必有非零解。

Ax=b有唯一解r（A）=r（A）=nAx=b有无穷解r（A）=r（A）nAx=b无解r（A）+1=r（A）b不能由A列向量线性表出基础解系三条件1.向量组a1,a2,as是方程组的解2.向量之间线性无关3.向量个数s=nr（A）两个向量组可以互相线性表出，则两向量组等价。

若向量组（I）可由向量组（II）线性表出，且r（I）=r（II），则（I）（II）等价。

A为n阶矩阵齐次方程Ax=0非齐次方程Ax=bA0只有零解有唯一解A=0有非零解无解或者多解向量组a1,a2,as线性相关（a1a2as）（x1x2xs）=0有非零解r（a1,a2,as）0是必要条件）A的顺序主子式全大于零（aii0是必要条件）存在可逆矩阵C，使得A=CTC对于二次型A，r（A）=正、负惯性指数之和概率概率分布参数定义域分布率期望方差0-1分布P1，0pkq1kppq二项分布（B）n，p0,1,nCnkpkqnknpnpq几何分布p1,2,pqk11pqp2超几何分布n，N，MCMkCNMnkCNnnp（p=M/N）npqNnN1柏松分布（P）0自然数kk!

e均匀分布（U）a，b（a，b）1baa+b2（ba）212指数分布（E）（0,+）ex112正态分布（N）,（,+）12e（x）222标准正态分布=0,=1（,+）12ex2201A，B不相容P（AB）=0，即AB=A，B独立P（AB）=P（A）P（B）切比雪夫大数定律（注：

所有大数定律都要求样本相互独立）limnP1ni=1nXi1ni=1nEXi=1EXiDXi存在，且DXi有上限伯努力大数定律limnP1ni=1nXiP=1Xi为参数P的的0-1分布辛钦大数定律limnP1ni=1nXi=1Xi同分布同期望，EXi=列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）limnP1n（i=1nXin）x=（x），即i=1nXinn=1ni=1nXi/nN（0,1）（x）是标准正态分布，=DX拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布）limnPYnnpnp（1p）x=（x），即Ynnpnp（1p）N（0,1）X=1ni=1nXiS2=1n1i=1n（XiX）2=1n1i=1n（Xi2nX2）E（X）=E（Xi）=D（X）=D（X）n=2nE（S2）=D（X）=2设XN（0,1），Y2（n），则t=XYnt1a（n）=ta（n）t2F（1,n）X2（n1）Y2（n2），则F=X/n1Y/n2，记为F（n1,n2）FF（n1,n2）1FF（n2,n1）F1a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）设XN（0,1）XN（,2n）X/n=n（X）N（0,1）12i=1n（Xi）22（n）（n1）S22=i=1n（XiX）22（n1）X/n（n1）S22/（n1）=X/nS=n（X）St（n1）n（X）2S2F（1,n1）X与Y不相关Cov（X,Y）=0EXY=EXEY