组合数学试题资料下载.pdf

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八，用红、蓝二种颜色对1n的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？

注，注，1-4、6题各题各15分，第分，第5题题10分，第分，第7题题8分，第八题分，第八题7分。

分。

北京邮电大学20052006学年第1学期北京邮电大学20052006学年第1学期组合数学期末试题答案一，（15）解：

由于正负号不能相连，故先将正号排好，产生n+1个空档。

-5分则负号只能排在两个正号之间，这相当于从n+1个数中取m个数的组合，故有-10分1nm+种方式。

-15备注：

若写出备注：

若写出mn+1时为时为0，m=n+1时为时为1，给，给5分分二，（19分）解：

设A表示是1-100内某个数的平方的集合，则|A|=10,-4分设B表示是1-100内某个数的立方的集合，则|B|=4,-8分|AB|=2,-12分由容斥原理得100|100104288ABABA=+=+=B-19分三，（15分）证明：

将此三角形剖分成9个小的边长为1/3的等边三角形。

-5分由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，-12分此时，这两点的距离不超过小三角形边长1/3。

从而得证。

-15分四，（15分）解：

（1）由于没有三条对角线共点，所以这凸多边形任取4点，组成的多边形内唯一的一个四边形，确定唯一一个交点，-5分从而总的交点数为C（10,4）=210-10分

（2）如图，不妨取顶点1，考察由1出发的对角线被其他对角线剖分的总数。

不妨设顶点标号按顺时针排列，取定对角线1i一个在右侧，则与对角线1i相交的其他对角线必定一个顶点在左侧，于是，这种交点总数为（10-i）（i-2）-1分从而此对角线被剖分成（10-i）（i-2）+1段-2分2i101从而由顶点1出发的所有对角线被分割成的小段总数为-4分从而全体对角线被分割的小段总数为：

93（10）

（2）1）91jii=+=10914552=条-5分五，（6分）解：

原式=11111111111=+=+nknknnknnknkk+1（）k+1（）11011（11111）1011（111（0）11=+=）+=+=+=+=+nknkknknnnnnknnnnnk+1（）（）-6分六，（15分）解：

对应齐次递推关系的特征方程为x2+6x+9=0特征根x1=x2=-3,所以齐次递推关系的通解为an=（k1+k2n）（-3）n-5分设特解为C，则C+6C+9C=3-7分所以C=3/16,所以通解为an=3/16+（k1+k2n）（-3）n-10分由初始条件可得：

3/16+k1=0，k1=-3/163/16+（k1+k2）（-3）=1k2=-1/12所以nn313a（）（3）161216=+-15分七，（8分）解：

设an表示涂色的方案数，定义a0=1，则an的指数型母函数为24212223000（）（1.）2!

4!

2!

（1.）1!

11（）（）2211（3）（31）2!

2nenxxxxxnnnnnnnxxxfxnxxxneeeee!

nxxxnn=+=+=+=+=+n-4分所以1（31）2nna=+-8分另外，直接由组合方法求得结果为另外，直接由组合方法求得结果为20312

（1）22=+=nnnkknnk亦可。

八，（7分）解：

设an表示涂色的方案数，考察第一个方格的染色方案，若染红色，则下一个必须染蓝色，于是剩下的方格染色方案数恰为an-2,若第一个方格染蓝色，则剩下的方格染色方案数恰为an-1,由加法原理，我们建立如下递推关系：

an=an-1+an-2-3分确定初始条件:

显然，对一个方格有两种方案，对两个方格有3种方案：

第一个红第二个蓝色，第一个蓝第二个红色，二个都是蓝色，即a1=2,a2=3-4分求解此递推关系，实际上它是斐波那契数列Fn+1，特征方程为,解得特征根为012=xx251,251=+=得通解为,于是有nnnkka21+=+=+=22212132kkkk则10535,1053521=+=kk从而nnna1053510535+=-7分另外，若直接由组合方法求得另外，若直接由组合方法求得1201nnknkak+=+=亦对。

注：

由于组合问题求解方法众多，不一一列出。

北京邮电大学20052006学年第1学期北京邮电大学20052006学年第1学期组合数学期末试题（计算机院）姓名姓名班级班级学号学号成绩成绩一，有颜色不同的4盏灯。

（20分）

（1）把它们按不同的顺序全部挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？

（2）每次使用一盏、二盏、三盏或四盏按一定的次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？

（3）在

（2）中如果信号与灯的次序无关，共有多少种不同的信号？

二，

（1）在边长为1的等边三角形内任意放5个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/2。

而放4个点则结论不成立。

（2）由此推广，确定最小的m（n）,使当放m（n）点在边长为1的等边三角形内时其中必有两点的距离不大于1/n（20分）三，把m个负号和n个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，问有多少不同的排法。

（15分）四，求解递推关系12013214,6nnnaaaaa（15分）五，在1和10000之间不能被4、5和6整除的数有多少个？

（15分）六，用红白2种颜色对1n的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求偶数个方格涂成白色，问有多少种方法？

（8分）七，用红、蓝二种颜色对1n的方格涂色，每个方格只能涂一种颜色，如果要求涂成红色的两个方格不能相邻，问有多少种方法？

（7分）北京邮电大学20052006学年第1学期北京邮电大学20052006学年第1学期组合数学期末试题答案（计算机院）一，（20分）解:

（1）由于颜色不同,这相当于1,2,3,4上的一个全排列,从而有4!

=24种不同的信号.6分

（2）由于可以使用的灯盏数可以不同,从而由

（1）我们有种不同信号.8分6444342414=+PPPP（3）,这里,信号与灯的次序无关,从而是一个组合问题,与

（2）类似不同的信号种类有种不同的信号.1544342414=+CCCC-6分二，（20分）解:

（1）将此三角形剖分成4个小的边长为1/2的边三角形。

-4分由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/2.-10分但若将4个点放入则不行,实际上只要在三角形中心放一个点,在三个顶点附近各放一个点即可,如图.-15分

（2）,由此推广,将此三角形剖分成n个小的边长为1/n的等边三角形。

将个点放入此三角形中,由鸽巢原理，必有两点在某一个小三角形内，此时，这两点的距离不超过1/n-5分2n三，（15分）解：

若写出mn+1时为时为0，m=n+1时为时为1，给，给5分分四，（15分）解:

对应齐次递推关系的特征方程为x2-3x+2=0-3分特征根x1=2,x2=1,所以齐次递推关系的通解为an=k1+k22n-5分由于1是特征根,所以设特解为Cn，则Cn-3C（n-1）+2C（n-2）=1.7分所以C=-1,所以通解为an=-n+k1+k22n-10分由初始条件可得：

k1+k2=4，k1+2k2-1=6解得k1=1,k2=3.所以an=-n+1+32n-15分五，（15分）解：

用A,B,C分别表示1-10000之间被4，5和6整除的数的集合。

于是由容斥原理问题是求|ABC|。

-2分100001000010000|A|2500,|B|2000,|C|1666,4561000010000|AB|500,|AC|833,45431000010000|CB|333,|ABC|166,65453=-10分|ABC|10000（|A|B|C|）（|AB|AC|BC|）|ABC|10002500200016665008333331665334=+=+=-15分六，（8分）解：

设an表示涂色的方案数，定义a0=1，则an的指数型母函数为2421220（）（1.）2!

11（）

（1）221（21）2!

=+=+=+=+nenxxxxnnnxxxfxnxxxneeeexn-3分所以12

（1）=nnan-8分注：

若规定偶数不含0，则12-1

（1）=nnan。

另外可直接由组合方法求，答案为2102

（1）2=nnknnk。

七，（7分）解：

第一个红第二个蓝色，第一个蓝第二个红色，二个都是蓝色，即a1=2,a2=3-4分求解此递推关系，实际上它是斐波那契数列Fn+1，特征方程为,解得特征根为012=xx251,251=+=得通解为,于是有nnnkka21+=+=+=22212132kkkk则10535,1053521=+=kk从而nnna1053510535+=-7分另外，若直接由组合方法求得另外，若直接由组合方法求得1201+=+=nnknkak亦对。