北师大版高中数学选修2-1教案.docx

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第一讲常用逻辑用语

（一）

§1　命　题

1.了解命题的概念.（重点）

2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.（难点）

3.熟练判断命题的真假性.（易混点）

（1）定义：

可以判断，用文字或符号表述的语句叫命题．

（2）分类

（3）形式：

通常把命题表示为“若p则q”的形式，其中p是，q是．

1.四种命题

互逆命题

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和

互否命题

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

和

互为逆否命题

一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

和

2.四种命题之间的关系

互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．

考点一命题及其真假判断

例1．命题：

“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（　　）

A．逆命题　　　　　 B．否命题C．逆否命题 D．等价命题

例2.将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断相应命题的真假．

（1）正数a的平方根不等于0；

（2）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形．

练习1.命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为________，结论为________．

练习2.①x2－5x＋6＝0.

②函数f（x）＝x2是偶数．

③若ac＞bc则b＞c.

④证明x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．以上语句是命题的为________．

练习3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：

（1）若a2＋b2＝0，则a，b都为0；

（2）两个奇数的和是偶数．

名师指津

1．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，要先将命题改写成“若p，则q”的形式，明确条件是什么，结论是什么，然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题．

2．“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”．

考点二四种命题的真假判断

例3.设命题为“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．

名师指津

对一个原命题来说，其逆命题和否命题、原命题和逆否命题同真同假．在进行真假判断时，应抓住四个命题之间的关系，在二者之间选择较简单的命题进行判断．

练习1.设命题为：

“若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根”．试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．

练习2.将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大，”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．

练习3.写出命题“已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2”的逆命题．

基础通关

一、选择题

1.下列语句不是命题的有（　　）

①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？

②2x－1＞3.

③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等.

A.①②　　　　　B.①③C.②④D.①②③

2.若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是（　　）

A.命题p是真命题B.命题p的否命题是假命题

C.命题p的逆否命题是假命题D.命题p的否命题是真命题

3.（2016·烟台高二检测）命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是（　　）

A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直

C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形

4.（2016·大理高二检测）在下列命题中，真命题是（　　）

A.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B.“若b＝3，则b2＝9”的逆命题

C.若x∈R，则x2＋3＜0D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

5.（2016·湖北黄冈调研）给出命题：

若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图像不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（　　）

A.3　　B.2C.1　　 D.0

二、填空题

6.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题.

7.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f（x）＝3＋log2x的图像与g（x）的图像关于________对称，则函数g（x）＝________.（填上你认为可以成为真命题的一种情况既可）

8.给定下列命题：

①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；

③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.

其中真命题的序号是________.

三、解答题

9.（2016·苏州高二检测）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假.

（1）偶数能被2整除；

（2）奇函数的图像关于原点对称.

10.分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：

（1）若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；

（2）四条边相等的四边形是正方形.

[能力提升]

1.有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.

其中真命题的序号为（　　）

A.①②B.②③C.①③D.③④

2.（2016·长春高二检测）若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是（　　）

A.互逆命题　　　　B.互否命题C.互逆否命题D.不确定

3.（2016·唐山高二检测）下列说法正确的是________.

①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”.

②“正多边形都相似”的逆命题是真命题.

③“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题.

4.若方程x2＋2px－q＝0（p，q是实数）没有实数根，则p＋q<.

（1）判断上述命题的真假，并说明理由.

（2）试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由.

§2　充分条件与必要条件

1.理解充分条件、必要条件的概念.（重点）

2.掌握充分条件、必要条件的判断.（难点）

命题

真假

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

pq

pq

条件关系

p是q的条件

q是p的条件

p不是q的条件

q不是p的条件

定理关系

判定定理给出了的充分条件

性质定理给出了的必要条件

考点三充分条件的判断

例1.

（1）下列各题中，p是q的充分条件的是________.

①p：

（x－2）（x－3）＝0，q：

x－2＝0；

②p：

两个三角形相似，q：

两个三角形全等；

③p：

m＜－2，q：

方程x2－x－m＝0无实根

（2）“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件.

（3）设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件.

名师指津

1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题.

2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件.

考点四必要条件的判断

例2.在以下各题中，分析p与q的关系：

（1）p：

x＞2且y＞3，q：

x＋y＞5；

（2）p：

y＝x2，q：

函数是偶函数；

（3）p：

一个四边形的四个角都相等，q：

四边形是正方形.

名师指津

1.判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件.

2.也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件.

练习1.分析下列各项中p与q的关系.

（1）p：

α＝，q：

cosα＝；

（2）p：

（x＋1）（x－2）＝0，q：

x＋1＝0.

考点五充分条件与必要条件的应用

例3.是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件？

如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.

名师指津

1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.

2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式组，再进行求解.

例4.“0＜x＜5”的一个必要条件是（　　）

A.x＞5　　　　　 B.x2－5x＞0C.0＜x＜4 D.x＜5

练习1.使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分条件是（　　）

A.x＜0B.x≥0C.x∈{－1,3,5}D.x≤－或x≥2

练习2.（2016·广州高二检测）已知：

p：

x＞1；q：

x＞2；则p是q的（　　）

A.充分条件　　　　　 B.必要条件C.即不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确

基础达标

一、选择题

1.“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的（　　）

A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件

2.a＜0，b＜0的一个必要条件为（　　）

A.a＋b＜0　　　　　B.a－b＞0C.＞1D.＜－1

3.“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的（　　）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分条件是（）

A.a≤0B.a＞0C.a＜－1D.a＜1

二、填空题

5.满足sinα＝的一个充分条件是α＝____（填一角即可）.

6（2016·赤峰高二检测）已知“x＞k”是“＜1”的充分条件，则k的取值范围是________.

7.已知p：

x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：

x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}.若p是﹁q的充分条件，则实数m的取值范围是________.

能力提升

1.不等式1－＞0成立的充分条件是（　　）

A.x＞1B.x＞－1C.x＜－1或0＜x＜1D.x＜0或x＞1

2.（2016·天津高二检测）设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的（　　）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2016·长春高二检测）如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件.

4.已知p：

x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a＞b恒成立的实数b的取