洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案资料下载.pdf

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（1）aS错误2

（2）aR正确（3）,4,3aS正确（4）,1,3,4aR正确（5）RS=错误（6）aS正确（7）aR错误（8）R正确（9）aR正确（10）S错误（11）R错误（12）3,4正确5、列举出集合,ABC的例子，使其满足AB，BC且AC答：

Aa=，Ba=，显然AB，Ca=，显然BC，但是AC。

6、给出下列集合的幂集

（1）,ab答：

幂集,abab

（2）,aa答：

幂集,aaaaaaaa7、设Aa=，给出A和2A的幂集答：

2,Aa=22,Aaa=8、设128,Aaaa=由17B和31B所表示的A的子集各是什么？

应如何表示子集2,67,aaa和13,aa答：

170001000148,BBaa=3310001111145678,BBaaaaa=2,670100011070,aaaBB=，1310100000160,aaBB=9、设1,2,3,4,5U=，1,4A=，1,2,5B=，2,4C=，确定集合：

（1）AB

（2）（）ABC（3）（）ABC（4）（）（）ABAC（5）（）AB（6）AB（7）（）BC（8）BC（9）22AC（10）22AC答：

（1）3,4B=，4AB=

（2）1AB=，1,3,5C=，（）1,3,5ABC=（3）2BC=，（）1,2,4ABC=（4）1,2,4,5AB=，1,2,4AC=，（）（）1,2,4ABAC=（5）（）2,3,4,5AB=（6）2,3,5A=，2,3,4,5AB=（7）1,2,4,5BC=，（）3BC=（8）3,4B=，1,3,5C=，3BC=（9）2,1,4,1,4A=，2,2,424C=，221,1,4AC=（10）22,4AC=10、给定自然数集N的下列子集：

1,2,7,8A=，2|50Bii=，|330Ciii=可被整数，0|2,06kDiikZk=求下列集合：

（1）（）ABCD答：

1,2,3,4,5,6,7B=，0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30C=，1,2,4,8,16,32,64D=（）0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64ABCD=

（2）（）ABCD=4（3）（）BAC解：

0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30AC=，（）4,5BAC=（4）（）ABD解：

3,4,5,6ABBA=，（）1,2,3,4,5,6,8,16,32,64ABD=11、给定自然数集N的下列子集|12Ann=是偶数且或是奇数且（6）|6nn是的倍数答：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11A=，1,2,3,4,5,6,7,8B=2,4,6,8,C=，3,6,9,12,D=，1,3,5,7,E=2,4,6,8BC=3,6,9=AD10=（）ABDE（4）|369nnnn=或或369,10,11,12,3,6,9,10,11,12,（）ADB=（5）2,4,6,8,10,11,13,15,（）（）（）AEEBADB=（6）|66,12,18,24,30nn=是的倍数CD12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。

（1）若aA，则aAB5答：

正确，根据集合并的定义

（2）若aA，则aAB答：

显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须a同时属于A和B（3）若aAB，则aB答：

正确（4）若AB，则ABB=答：

错误（5）若AB，则ABA=答：

正确（6）若aA，则aAB答：

错误（7）若aA，则aAB答：

正确13、设,ABC是任意的集合，下述论断哪些是正确的？

说明理由

（1）若ABAC=，则BC=答：

不正确，反例，设A=，则不论,BC是什么集合，都有ABAC=，但显然,BC不一定相等。

（2）当且仅当ABB=，有AB；

答：

正确，证明如下：

若ABB=，则对aA，有aABB=，则有aB，因此有AB。

反之，若AB，则ABB=显然成立。

（3）当且仅当ABA=，有AB答：

若ABA=，则对aA，因此aAB，则aB，则有AB。

若AB，则aA，有aB，因此由aA，可以得出aAB，因此AAB，又ABA，有ABA=。

6（4）当且仅当AC，有（）ABC=答：

不正确，因为（）ABCABC=，因此不一定需要满足AC，而若AB=也可以满足。

例如：

Aabc=，,Bde=，,Cab=，（）ABC=成立，而AC不成立。

（5）当且仅当BC，有（）ABCA=答：

不正确，因为若BC，有（）ABCA=成立，但是反之不成立，反例如下:

1,2,3,4,5A=，1,6B=，1,2C=，而2,3,4,5AB=，（）1,2,3,4,5ABC=，但是BC不成立。

14、设,ABCD是集合，下述哪些论断是正确的？

说明理由。

（1）若,ABCD，则（）ACBD答：

正确，证明：

对aAC，则aA或aC，因为,ABCD，因此aB或aD，因此aBD，即（）ACBD成立。

（2）若,ABCD，则（）ACBD答：

正确（3）若AB，CD，则（）ACBD答：

正确（4）若,ABCD，则（）ACBD答：

不正确。

例如若,ABCD，但是AC=，BD=，则（）ACBD=。

15、设,AB是两个集合，问：

（1）如果ABB=，那么A和B有什么关系？

因为ABB=，而ABABB=，即对aB有,aAaB，因此7AB=。

（2）如果ABBA=，那么A和B有什么关系？

充要条件是AB=。

证明：

因为ABBA=的（）（）ABABAA=，从而有AAB=，即AB，同理可证明BA，因此AB=。

16、设,AB是任意集合，下述论断哪些是正确的？

（1）222ABAB=答：

例如,Aab=，,Bbc=，则,ABabc=2,ABabcabacbcabc=2,Aabab=，2,Bbcbc=显然222ABAB=不成立。

（2）222ABAB=答：

成立。

对22ABC，则2AC且2BC，则,CACB，则CAB，因此2ABC。

反之，若2ABC，则CAB，则CA且CB，因此2AC，且2BC，因此22ABC，即222ABAB=。

（3）2

（2）AA=答：

显然不成立，因为左边集合肯定含有，而右边不含有。

17、在一个班级的50个学生中，有26人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩；

21人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。

假如有17人在两次考试中都没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?

分别用,AB表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，U表示全体学生集合：

则#（）26A=，#（）21B=，#（）501733AB=，则两次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为26+21-33=14人。

18、设,ABC是任意集合，运用成员表证明：

（1）（）（）（）（）ABACACAB=证明：

8ABCAACABACAB左边右边00011000000011100000010111011101111101111000010000101011101111000100001110111011（3）（）（）（）ABCABAC=证明：

ABCABAC（）（）ABACBC（）ABC0000000000100010010000100110001010011101101100101100101011100010由上得证左右两边相等。

19、由S和T的成员表如何判断ST？

应用成员表证明或否定（）（）ABBCAB答：

先分别给出集合（）（）ABBC和AB的成员表如下：

ABCABBC（）BC（）（）ABBCBAB000001010001010010010110000011110000100101111101110011110110000111110000观察上述表格，我们发现（）（）ABBC所标记的列中，仅在第五列为1，这9意味着当元素,uAuB且uC时，（）（）uABBC，而在其他情形下，元素（）（）uABBC。

而集合AB所标记的列中，第五和第六行均为1，这意味着,uAuB且uC时，uAB，当,uAuB，且uC时，也有uAB。

所以当元素（）（）uABBC时也有uAB，反之不然，因此（）（）ABBCAB成立。

20、12,rAAA为U的子集，12,rAAA至多能产生多少不同的子集？

构造由12,rAAA所产生的集合的成员表，显然该成员表由2r个行所组成。

在该成员表中不同的列可由2r为的二进制数000011111分别表示，而不同的列所标记的集合不相同的，因此由12,rAAA至多可以产生22r个不同的集合。

21、证明分配律、等幂律和吸收律91分配律（）（）（）ABCABAC=证明：

对（）aABC，则有aA且aBC，即有aA，且aB或aC，也即有aAB或aAC，即（）（）aABAC，因此左边右边。

对（）（）aABAC，则aAB或aAC，即aA且aB，或aA且aC，即有aA或aBC，因此（）aABC，因此右边左边。

2吸收律（）AABA=证明：

（）AABA显然成立，对aA，则显然有aAB，因此有（）aAAB，因此有（）AAAB成立。

22、设,ABC是任意集合，运用集合运算定律证明：

（1）（）BABAU=10证明：

（）（）（）（）（）（）BABABABABAAABBUABBABU=左边右边

（2）（）（）（）（）（）（）ABBCCAABBCCA=证明：

（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）BACCACABCAACCBBAACAACCCBBAACAC=左边右边（3）（）（）（）（）（）（）ABBCACABABCABC=证明：

（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）BACAABCBAAACABCBACABCBABCABCBCABCBBCABBBCBCABCBCABAC=右边由上题的证明可知左边=右边，得证。

23、用得摩根定律证明（）（）ABABC补集是（）（）（）ABABAC。

（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）ABABCABABCABABCABABCABABAC=24、设iA为某些实数的集合，定义为0|11|1（1,2,）iAaaAaaii=试证明：

01iiAA=11证明：

设1iiaA=，则比存在整数k，使得kaA，因此有11ak，于是1a,因此0aA。

另一方面，设0aA，则有1a，若0a，则有1aA，因此1iiaA=。

若01a，因此11111akb=解：

定义域6,5,4,3,2D=，5,