洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案资料下载.pdf
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(1)aS错误2
(2)aR正确(3),4,3aS正确(4),1,3,4aR正确(5)RS=错误(6)aS正确(7)aR错误(8)R正确(9)aR正确(10)S错误(11)R错误(12)3,4正确5、列举出集合,ABC的例子,使其满足AB,BC且AC答:
Aa=,Ba=,显然AB,Ca=,显然BC,但是AC。
6、给出下列集合的幂集
(1),ab答:
幂集,abab
(2),aa答:
幂集,aaaaaaaa7、设Aa=,给出A和2A的幂集答:
2,Aa=22,Aaa=8、设128,Aaaa=由17B和31B所表示的A的子集各是什么?
应如何表示子集2,67,aaa和13,aa答:
170001000148,BBaa=3310001111145678,BBaaaaa=2,670100011070,aaaBB=,1310100000160,aaBB=9、设1,2,3,4,5U=,1,4A=,1,2,5B=,2,4C=,确定集合:
(1)AB
(2)()ABC(3)()ABC(4)()()ABAC(5)()AB(6)AB(7)()BC(8)BC(9)22AC(10)22AC答:
(1)3,4B=,4AB=
(2)1AB=,1,3,5C=,()1,3,5ABC=(3)2BC=,()1,2,4ABC=(4)1,2,4,5AB=,1,2,4AC=,()()1,2,4ABAC=(5)()2,3,4,5AB=(6)2,3,5A=,2,3,4,5AB=(7)1,2,4,5BC=,()3BC=(8)3,4B=,1,3,5C=,3BC=(9)2,1,4,1,4A=,2,2,424C=,221,1,4AC=(10)22,4AC=10、给定自然数集N的下列子集:
1,2,7,8A=,2|50Bii=,|330Ciii=可被整数,0|2,06kDiikZk=求下列集合:
(1)()ABCD答:
1,2,3,4,5,6,7B=,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30C=,1,2,4,8,16,32,64D=()0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64ABCD=
(2)()ABCD=4(3)()BAC解:
0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30AC=,()4,5BAC=(4)()ABD解:
3,4,5,6ABBA=,()1,2,3,4,5,6,8,16,32,64ABD=11、给定自然数集N的下列子集|12Ann=是偶数且或是奇数且(6)|6nn是的倍数答:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11A=,1,2,3,4,5,6,7,8B=2,4,6,8,C=,3,6,9,12,D=,1,3,5,7,E=2,4,6,8BC=3,6,9=AD10=()ABDE(4)|369nnnn=或或369,10,11,12,3,6,9,10,11,12,()ADB=(5)2,4,6,8,10,11,13,15,()()()AEEBADB=(6)|66,12,18,24,30nn=是的倍数CD12、判断以下哪些论断是正确的,哪些论断是错误的,并说明理由。
(1)若aA,则aAB5答:
正确,根据集合并的定义
(2)若aA,则aAB答:
显然不正确,因为根据集合交运算的定义,必须a同时属于A和B(3)若aAB,则aB答:
正确(4)若AB,则ABB=答:
错误(5)若AB,则ABA=答:
正确(6)若aA,则aAB答:
错误(7)若aA,则aAB答:
正确13、设,ABC是任意的集合,下述论断哪些是正确的?
说明理由
(1)若ABAC=,则BC=答:
不正确,反例,设A=,则不论,BC是什么集合,都有ABAC=,但显然,BC不一定相等。
(2)当且仅当ABB=,有AB;
答:
正确,证明如下:
若ABB=,则对aA,有aABB=,则有aB,因此有AB。
反之,若AB,则ABB=显然成立。
(3)当且仅当ABA=,有AB答:
若ABA=,则对aA,因此aAB,则aB,则有AB。
若AB,则aA,有aB,因此由aA,可以得出aAB,因此AAB,又ABA,有ABA=。
6(4)当且仅当AC,有()ABC=答:
不正确,因为()ABCABC=,因此不一定需要满足AC,而若AB=也可以满足。
例如:
Aabc=,,Bde=,,Cab=,()ABC=成立,而AC不成立。
(5)当且仅当BC,有()ABCA=答:
不正确,因为若BC,有()ABCA=成立,但是反之不成立,反例如下:
1,2,3,4,5A=,1,6B=,1,2C=,而2,3,4,5AB=,()1,2,3,4,5ABC=,但是BC不成立。
14、设,ABCD是集合,下述哪些论断是正确的?
说明理由。
(1)若,ABCD,则()ACBD答:
正确,证明:
对aAC,则aA或aC,因为,ABCD,因此aB或aD,因此aBD,即()ACBD成立。
(2)若,ABCD,则()ACBD答:
正确(3)若AB,CD,则()ACBD答:
正确(4)若,ABCD,则()ACBD答:
不正确。
例如若,ABCD,但是AC=,BD=,则()ACBD=。
15、设,AB是两个集合,问:
(1)如果ABB=,那么A和B有什么关系?
因为ABB=,而ABABB=,即对aB有,aAaB,因此7AB=。
(2)如果ABBA=,那么A和B有什么关系?
充要条件是AB=。
证明:
因为ABBA=的()()ABABAA=,从而有AAB=,即AB,同理可证明BA,因此AB=。
16、设,AB是任意集合,下述论断哪些是正确的?
(1)222ABAB=答:
例如,Aab=,,Bbc=,则,ABabc=2,ABabcabacbcabc=2,Aabab=,2,Bbcbc=显然222ABAB=不成立。
(2)222ABAB=答:
成立。
对22ABC,则2AC且2BC,则,CACB,则CAB,因此2ABC。
反之,若2ABC,则CAB,则CA且CB,因此2AC,且2BC,因此22ABC,即222ABAB=。
(3)2
(2)AA=答:
显然不成立,因为左边集合肯定含有,而右边不含有。
17、在一个班级的50个学生中,有26人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩;
21人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。
假如有17人在两次考试中都没有取得优秀成绩,问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?
分别用,AB表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合,U表示全体学生集合:
则#()26A=,#()21B=,#()501733AB=,则两次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为26+21-33=14人。
18、设,ABC是任意集合,运用成员表证明:
(1)()()()()ABACACAB=证明:
8ABCAACABACAB左边右边00011000000011100000010111011101111101111000010000101011101111000100001110111011(3)()()()ABCABAC=证明:
ABCABAC()()ABACBC()ABC0000000000100010010000100110001010011101101100101100101011100010由上得证左右两边相等。
19、由S和T的成员表如何判断ST?
应用成员表证明或否定()()ABBCAB答:
先分别给出集合()()ABBC和AB的成员表如下:
ABCABBC()BC()()ABBCBAB000001010001010010010110000011110000100101111101110011110110000111110000观察上述表格,我们发现()()ABBC所标记的列中,仅在第五列为1,这9意味着当元素,uAuB且uC时,()()uABBC,而在其他情形下,元素()()uABBC。
而集合AB所标记的列中,第五和第六行均为1,这意味着,uAuB且uC时,uAB,当,uAuB,且uC时,也有uAB。
所以当元素()()uABBC时也有uAB,反之不然,因此()()ABBCAB成立。
20、12,rAAA为U的子集,12,rAAA至多能产生多少不同的子集?
构造由12,rAAA所产生的集合的成员表,显然该成员表由2r个行所组成。
在该成员表中不同的列可由2r为的二进制数000011111分别表示,而不同的列所标记的集合不相同的,因此由12,rAAA至多可以产生22r个不同的集合。
21、证明分配律、等幂律和吸收律91分配律()()()ABCABAC=证明:
对()aABC,则有aA且aBC,即有aA,且aB或aC,也即有aAB或aAC,即()()aABAC,因此左边右边。
对()()aABAC,则aAB或aAC,即aA且aB,或aA且aC,即有aA或aBC,因此()aABC,因此右边左边。
2吸收律()AABA=证明:
()AABA显然成立,对aA,则显然有aAB,因此有()aAAB,因此有()AAAB成立。
22、设,ABC是任意集合,运用集合运算定律证明:
(1)()BABAU=10证明:
()()()()()()BABABABABAAABBUABBABU=左边右边
(2)()()()()()()ABBCCAABBCCA=证明:
()()()()()()()()()()()()()BACCACABCAACCBBAACAACCCBBAACAC=左边右边(3)()()()()()()ABBCACABABCABC=证明:
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()BACAABCBAAACABCBACABCBABCABCBCABCBBCABBBCBCABCBCABAC=右边由上题的证明可知左边=右边,得证。
23、用得摩根定律证明()()ABABC补集是()()()ABABAC。
()()()()()()()()()()()ABABCABABCABABCABABCABABAC=24、设iA为某些实数的集合,定义为0|11|1(1,2,)iAaaAaaii=试证明:
01iiAA=11证明:
设1iiaA=,则比存在整数k,使得kaA,因此有11ak,于是1a,因此0aA。
另一方面,设0aA,则有1a,若0a,则有1aA,因此1iiaA=。
若01a,因此11111akb=解:
定义域6,5,4,3,2D=,5,