全国高中数学联赛四川初赛真题及答案资料下载.pdf

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）（2222cabcabcba则P是Q的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x满足cos1log2x，其中02，则函数|3|2|1|）（xxxf的最大值等于圣才学习网8、设二项式01221212222）13axaxaxaxaxnnnnn（记nnaaaT220，1231nnaaaR，则nnnRTlim9、已知ABC的三边长分别为3、4、5，点P为ABC内部（不含边界）一动点，则点P到三边距离之积的最大值等于10、在长方体1111DCBAABCD中，棱6AB，21BBBC，点P是线段1BC上的一动点，则1PBAP的最小值是11、集合,21241|RxxAx，012|2txxxB，若ABA，则实数t的取值范围是.12、直线1l与直线2l平行，1l上有5个不同的点，2l上有10个不同的点，将1l上的点与2l上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有个（用具体的数字作答）三、解答题13、已知奇函数）（xf在定义域3,3内是减函数，且0）2（）2（2xfxxf，求实数x的取值范围14、如图，已知PBPA，是O的两条切线，PCD是O的一条割线，E是AB与PD的交点证明：

DECEPDPCOEPDCBA圣才学习网15、如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为21ll，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交21ll，于BA，两点又已知该双曲线的离心率25e（I）求证：

|OBABOA、依次成等差数列；

（II）若），（05F，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度16、设正实数cba,，满足cba，且9222cba证明：

aabc31l2l1FCODAByx圣才学习网二二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准详细参考答案及评分标准说明：

说明：

1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和分和0分两档；

其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.分两档；

其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题（每小题5分，共30分）1、下列函数中，以2为最小正周期的偶函数是（）A、xxy2cos2sinB、xxy2cos2sinC、xxy2cossin2D、xxy2cos2sin22解：

在A中，取4x，则1y；

取4x，则1y，从而y不是偶函数；

在B中，xy4sin21，它不是偶函数；

在C中，22cos1xy，它的最小正周期为；

在D中，xy4cos，符合条件故答案选D2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙为4:

3的概率是A、12835B、165C、74D、85圣才学习网解：

符合条件的概率为128352747C故答案选A3、函数2xy的图象1F与它按向量）1,（ma平移后的函数图象2F在1x处的切线互相垂直，则实数m的值为（）A、4543、BC、43D、45解：

因为2）1（y，故2F的函数为12）（mxy，其在1x处的切线的斜率为）（mk122，由1122）（m知45m故答案选D4、设数列na满足：

21a，nnaa111，记数列na的前n项之积为nP，则2009P的值为（）A、21B、1C、21D、1解：

因为1111111112nnnnaaaa，于是nnnnaaaa11111123，故na是以3为周期的周期数列又21a，212a，13a，从而13P所以，1126692009PP）（故答案选B5、已知关于yx,的方程组kykxkyx22222仅有一组实数解，则符合条件的实数k的个数是（）A、1B、2C、3D、4解：

若0k，显然方程组仅有一组解（0，0），故0k符合条件；

若0k，则2222kyx的图象是一个以）0,0（为圆心，以|2kr为半径的圆，而kykx2表示直线圣才学习网由题设条件知|21|2|2kkk，即222214kkk，解得1k综上所述，符合条件的实数k共有3个故答案选C6、已知cba,均为大于0的实数，设命题P：

）（2222cabcabcba则P是Q的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件解：

一方面，若P成立，则acb，故2）（acba，即2aacab同理：

2bbcba，2ccbca所以，）（2222cabcabcba，即Q成立另一方面，若Q成立，取2,1acb，这时以cba,为长度的线段不能构成三角形的三边，即P不成立综上所述，P是Q的充分但不必要条件故选A二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x满足cos1log2x，其中02，则函数|3|2|1|）（xxxf的最大值等于解：

由条件知2,1cos1，则42x，从而|3|21）（xxxf当32x时，xxxxf5|3|21）（，此时最大值为3；

当43x时，73|3|21）（xxxxf，此时最大值为5综上所述，）（xf在4x时取到最大值58、设二项式01221212222）13axaxaxaxaxnnnnn（圣才学习网记nnaaaT220，1231nnaaaR，则nnnRTlim解：

取1x，得niina2022；

取1x，得niiina202）1（4从而24222nnnT，24222nnnR于是14242limlim2222nnnnnnnnRT故答案填19、已知ABC的三边长分别为3、4、5，点P为ABC内部（不含边界）一动点，则点P到三边距离之积的最大值等于解：

设543cba，则ABC为直角三角形，其面积为6ABCS记点P到三边cba，的距离分别为cbahhh，则122ABCcbaSchbhah故1516604）3（133cbacbacbachbhahabcabcchbhahhhh等号当且仅当12cbacbachbhahchbhah，即PCAPBCPABSSS，亦即P为ABC的重心时取得故答案填151610、在长方体1111DCBAABCD中，棱6AB，21BBBC，点P是线段1BC上的一动点，则1PBAP的最小值是解：

如图，将11CBB沿1BC为轴旋转至与平面1ABC共面，得12CBB，则1352ABB，故21PBAPPBAP25135cos26226222）（AB等号当且仅当P为2AB与1BC的交点时取得B2PB1C1D1A1DCBA圣才学习网故答案填2511、集合,21241|RxxAx，012|2txxxB，若ABA，则实数t的取值范围是.解：

因为12|xxA，BA故0122txx在1,2x上恒成立又txx21，而1,2x时2,251xx所以t225，即45t所以，实数t的取值范围是45,（故答案填45,（12、直线1l与直线2l平行，1l上有5个不同的点，2l上有10个不同的点，将1l上的点与2l上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有个（用具体的数字作答）解：

经过任何一个交点的两条线段的4个端点，两个在1l上，两个在2l上，以它们为顶点，构成一个四边形，这个交点就是四边形对角线的交点所以，任何一个交点与两个顶点在1l上，两个顶点在2l上的四边形一一对应所以，所求的交点个数共有45021025CC故答案填450三、解答题13、已知奇函数）（xf在定义域3,3内是减函数，且0）2（）2（2xfxxf，求实数x的取值范围解：

由）（xf的定义域知3233232xxx解3232xx得31x解323x得51x所以有31x5分因为）（xf是奇函数，得）2（）2（）2（2xfxfxxf10分又因为）（xf在定义域内单减，故xxx222圣才学习网解得1x或2x15分由、得32x，即实数x的取值范围为3,2（20分14、如图，已知PBPA，是O的两条切线，PCD是O的一条割线，E是AB与PD的交点证明：

DECEPDPC证法一：

连结BCADAC，和BD，则PBDPBCPADPACSSSSPDPC5分PACPDA，PBCPDB22ADACSSPADPAC，22BDBCSSPBDPBCBDBCADAC10分BDBCADACADACPDPC22又ACEDBE，BCEDAEDEAEDBAC,AECEDABC15分故由、得DECEPDPC20分证法二：

（同证法一前）BDBCADACADACPDPC22又ADBACBBDEDAEBCEACEBDEBCEDAEACESSSSSSSSSSDECE15分而180ADBACB，ADBACBsinsinDBDACBACADBDBDAACBCBACDECEsinsin由、知DECEPDPC20分OEPDCBA圣才学习网15、如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为21ll，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交21ll，于BA，两点又已知该双曲线的离心率25e（I）求证：

（II）若），（05F，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度解：

（I）如图，由已知452e，即4522ac，故2254ca从而222251cacb，故21525ccab设BOFAOF，则21tan5分故34tan1tan22tantan2AOB，即34|OAAB令）0（3|mmOA，则mAB4|，mOB5|，满足|2|ABOBOA，所以，|OBABOA、依次成等差数列10分（II）由已知52c，代入，得1,422ba，于是双曲线的方程为1422yx设直线AB的斜率为k，则2cottantanAFOBFXk于是直线AB的方程为：

）5（2xy15分联立14）5（222yxxy，消y得084532152xxl2l1FCODAByx圣才学习网故弦CD的长度341584154）532（5151|22kCD20分16、设正实数cba,，满足cba，且