初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版docWord格式文档下载.docx
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4k42t116tt44（mod8）．
0mod8,
所以，平方数1mod8,
4mod8.
评注事实上，我们也可以这样来证：
因为对任意整数a，有a0，±
1，2（mod4），所以，a0，
1（mod4）；
又a0，±
1，±
2，±
3，4（mod8），所以，
a0，1，4mod8．
20.1.2★求证：
一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数．
解析设这个十进制数Aanan1a2a1a0．
因101（mod9），故对任何整数k≥1，有
kk
1011mod9
．
因此
Aaaaaa
nn1210
nn1
a10a10a10a
nn110
aa1a1a0mod9．
nn
即A被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数．
评注
（1）特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．
（2）算术中的“弃
九
验算法”就是依据本题的结论．
20.1.3★★求证：
（1）
1999
85517；
（2）
2n
837
；
（3）
1000
17191．
解析
（1）因551mod8，所以
551mod8，
5517117160mod8，
于是
8（5517）．
（2）因为
391（mod8），
2n
31（mod8）
，所以
37170mod8
，即
（3）因为192mod17，
44
192161mod17，所以
250250
10004
191911mod17，
nnnn
20.1.4★★对任意的正整数n，证明：
2903803464261
A能被1897整除．
解析18977271，7与271互质．因为
29035mod7，8035mod7，
4642mod7，2612mod7，
nnnnnnnn
所以A290380346426155220mod7，故7|A
又因为
2903193mod271，
803261mod271，
464193mod271，
所以
A
2903803464261
1932611932610mod271
，故271|A
因（7，271）=1，所以1897整除A．
20.1.5★证明：
22225555
55552222能被7整除．
解析因为55554mod7，
3
4641mod7，
2222222222220
5555444162mod7．
因为22223mod7，
32mod7，
31mod7，所以
5555555555550
2222333
925
226
3333223
5mod7．
5555222225mod70mod7，
即
7|55552222．
20.1.6★★求最大的正整数n，使得
解析因为
1024
n整除．
31能被2
10245122561128
31313313131，①
而对于整数k≥1，有
k
31112mod4
，
所以，①式右边的11个括号中，（3+1）是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故
n的最大值为12．
20.1.7★求使21为7的倍数的所有正整数n．
解析因为281mod7，所以对n按模3进行分类讨论．
（1）若n3k，则
n3kk
212181110mod7
（2）若n3k1，则
n3k
21221281
2111mod7
;
（3）若n3k2，则
n23k
21221481
4113mod7
所以，当且仅当3|n时，21
为7的倍数．
20.1.8★设n是正整数，求证：
7不整除4n1．
1
44mod7，
42mod7，
41mod7．所以
当n3k时，
n3
4141112mod7
当n3k1时，
41441415mod7
当n3k2时，
4141611613mod7
n所以，对一切正整数n，7不整除41
20.1.9★今天是星期日，过
100
3天是星期几?
解析
3271mod7，所以
3333
1003
3331334mod7．
因此，过
3天是星期四．
20.1.10★★求
3326
（25746）被50除所得的余数．
解析2577mod50，
3333
2577mod50．
又
7491mod50，所以
4
71mod50．
8
334
7777mod50．
33
从而
257467463mod50．
332626
（25746）3mod50．
由于
5
32437mod50．
10
3491mod50，所以
20
31mod50．于是
26205
3333732129mod50．
故
（25746）除以50所得的余数为29．
20.1.11★
（1）求33除
1998
2的余数；
（2）求8除
2n1
71的余数．
解析
（1）先找与1mod33同余的数．因为
2321mod33，
21mod33．
199
19981053
2222825mod33．
故所求的余数为25．
（2）因为71mod8，所以
2n121
n，711mod8
7126mod8
即余数为6．
20.1.12★求
55555
12399100除以4所得的余数．
解析因为2n0mod4，
2n12n1mod4，所以
12399100
13599500mod4．
20.1.13★形如
F21，n0，1，2，⋯的数称为费马数．证明：
当n≥2时，Fn的末位数字是7．
解析当n≥2时，2
n是4的倍数，故令2n4t．
F
21
4ttt
21161617mod10
F的末位数字是7．
评注费马数的头几个是F03，F15，F217，F3257，F465537，它们都是素数．费马便猜
测：
对所有的正整数n，
F都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证
明了下一个费马数F5是合数．有兴趣的读者可以自己去证明．
20.1.14★★已知n191919191919，求n被9除后所得商的个位数字是多少?
19191919
个
n191919191919
19191919
191920224mod9．
所以9|n4．又n4的个位数字是5，故n被9除后所得商的个位数字是5．
20.1.15★★求
999
2的末两位数．
210mod25，
21mod25，
100100
211mod25，
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