初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版docWord格式文档下载.docx

1、4k 4 2t 1 16 t t 4 4（mod8） 0 mod8 ,所以，平方数 1 mod8 ,4 mod8 .评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数 a ，有 a 0 ， 1，2（ mod4 ） ，所以， a 0 ，1（ mod4） ；又 a 0， 1， 2， 3，4（ mod8） ，所以，a 0，1， 4 mod8 20.1.2 求证：一个十进制数被 9 除所得的余数，等于它的各位数字被 9 除所得的余数解析设这个十进制数 A anan 1 a2a1a0 因 10 1（ mod9） ，故对任何整数 k 1，有k k10 1 1 mod9因此A a a a a an n 1 2

2、 1 0n n 1a 10 a 10 a 10 an n 1 1 0a a 1 a1 a0 mod9 n n即 A 被 9 除所得的余数等于它的各位数字之和被 9 除所得的余数评注 （1） 特别地，一个数能被 9 整除的充要条件是它的各位数字之和能被 9 整除 （2） 算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论20.1.3 求证： （1）19998 55 17 ；（2）2 n8 3 7；（3）100017 19 1 解析 （1） 因55 1 mod8 ，所以55 1 mod8 ，55 17 1 17 16 0 mod8 ，于是8 （55 17） （2） 因为3 9 1（mod8） ，2n3 1（

3、mod8），所以3 7 1 7 0 mod8，即（3） 因为 19 2 mod17 ，4 419 2 16 1 mod17 ，所以 250 2501000 419 19 1 1 mod17 ，n n n n20.1.4 对任意的正整数 n ，证明： 2903 803 464 261 A 能被 1897 整除解析 1897 7 271，7 与 271 互质因为2903 5 mod7 ，803 5 mod7 ，464 2 mod7 ， 261 2 mod7 ，n n n n n n n n所以 A 2903 803 464 261 5 5 2 2 0 mod7 ，故 7| A又因为2903 193

4、 mod271 ，803 261 mod271 ，464 193 mod271 ，所以A2903 803 464 261193 261 193 261 0 mod271，故 271| A因（7 ，271）=1 ，所以 1897 整除 A 20.1.5 证明：2222 55555555 2222 能被 7 整除解析 因为5555 4 mod7 ，34 64 1 mod7 ，2222 2222 2 22205555 4 4 4 16 2 mod 7 因为2222 3 mod7 ，3 2 mod7 ，3 1 mod7 ，所以5555 5555 5 55502222 3 3 39252 2 63 3

5、3 3 2 2 35 mod7 5555 2222 2 5 mod 7 0 mod 7 ，即7 | 5555 2222 20.1.6 求最大的正整数 n ，使得解析 因为1024n 整除3 1 能被 21024 512 256 1 1283 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 ，而对于整数 k 1，有k3 1 1 1 2 mod4，所以，式右边的 11 个括号中， （3+1） 是 4 的倍数，其他的 10 个都是 2 的倍数，但不是 4 的倍数故n 的最大值为1220.1.7 求使 2 1为7 的倍数的所有正整数 n 解析 因为2 8 1 mod7 ，所以对n按模 3进行分类讨论（1） 若

6、 n 3k ，则n 3 k k2 1 2 1 8 1 1 1 0 mod7（2） 若 n 3k 1，则n 3 k2 1 2 2 1 2 8 12 1 1 1 mod 7;（3） 若 n 3k 2，则n 2 3 k2 1 2 2 1 4 8 14 1 1 3 mod 7所以，当且仅当 3| n 时， 2 1为 7 的倍数20.1.8 设 n是正整数，求证： 7 不整除 4n 1 14 4 mod7 ，4 2 mod 7 ，4 1 mod 7 所以当 n 3k 时，n 34 1 4 1 1 1 2 mod7当 n 3k 1时，4 1 4 4 1 4 1 5 mod7当 n 3k 2时，4 1 4

7、16 1 16 1 3 mod7n 所以，对一切正整数 n ，7 不整除 4 120.1.9 今天是星期日，过1003 天是星期几 ?解析3 27 1 mod 7 ，所以 33 33100 33 3 3 1 3 3 4 mod7 因此，过3 天是星期四20.1.10 求33 26（257 46） 被 50 除所得的余数解析 257 7 mod50 ，33 33257 7 mod50 又7 49 1 mod50 ，所以47 1 mod 50 833 47 7 7 7 mod50 33从而257 46 7 46 3 mod50 33 26 26（257 46） 3 mod50 由于53 243 7

8、 mod50 103 49 1 mod50 ，所以203 1 mod50 于是26 20 53 3 3 3 7 3 21 29 mod50 故（257 46 ） 除以 50 所得的余数为 2920.1.11 （1） 求 33 除19982 的余数；（2） 求 8 除2n 17 1的余数解析 （1） 先找与 1 mod33 同余的数因为2 32 1 mod33 ，2 1 mod33 1991998 10 5 32 2 2 2 8 25 mod33 故所求的余数为25（2） 因为7 1 mod8 ，所以2n 1 2 1n ， 7 1 1 mod87 1 2 6 mod8即余数为620.1.12 求

9、5 5 5 5 51 2 3 99 100 除以 4 所得的余数解析 因为2n 0 mod 4 ，2n 1 2n 1 mod 4 ，所以1 2 3 99 1001 3 5 99 50 0 mod4 20.1.13 形如F 2 1， n 0，1，2， 的数称为费马数证明：当 n 2时， Fn 的末位数字是 7解析 当 n 2时， 2n 是 4 的倍数，故令 2n 4t F2 14t t t2 1 16 1 6 1 7 mod10F 的末位数字是 7评注费马数的头几个是 F0 3， F1 5 ， F2 17 ， F3 257 ， F4 65537 ，它们都是素数费马便猜测：对所有的正整数 n ，F 都是素数然而，这一猜测是错误的首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数 F5 是合数有兴趣的读者可以自己去证明20.1.14 已知 n 19 191 919 1 919 ，求 n 被 9 除后所得商的个位数字是多少 ?1919 1919个n 19 191 919 1 9191919 1 9 1 91919 20 2 2 4 mod9 所以 9 |n 4 又 n 4 的个位数字是 5，故 n 被 9 除后所得商的个位数字是 520.1.15 求9992 的末两位数2 1 0 mod 25 ，2 1 mod 25 ， 100 1002 1 1 mod25 ，