11群和编码离散数学讲义海南大学共十一讲要点Word格式.docx
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Bm→Bn,
称e是(m,n)编码函数。
b∈Bm,e(b)∈Bn叫做b的码词Codeword
e(b)比b多几位0,1用来查错和纠错。
将要发出的wordb编码得到x=e(b),发送后接收到xt,如果没有干扰,x=xt,b=e-1(xt).
如果有干扰,x和xt有≤k位出错,即有1位到k位错误。
x的权(weight):
x含有1的个数,记做|x|.
奇偶校验码paritycheckcode:
如果b=b1b2…bm,
令e(b)=b1b2…bmbm+1,
bm+1=0,if|b|是偶数,
bm+1=1,if|b|是奇数。
bm+1=0,当且仅当b含有偶数个1。
m=3
e(000)=0000
e(001)=0011
e(010)=0101
e(011)=0110
e(100)=1001
e(101)=1010
e(110)=1100
e(111)=1111
对任意b,e(b)的权总是偶数。
设b=111,x=e(b)=1111.
如果接收到有一位错xt=1101,
xt的权是奇数,发现有错。
xt的权是偶数,无法判断有错。
例3.(m,3m)编码函数:
e:
Bm→B3m,
b=b1b2…bm,
e(b)=b1b2…bmb1b2…bmb1b2…bm.
e(000)=000000000
e(001)=001001001
e(010)=010010010
e(011)=011011011
e(100)=100100100
e(101)=101101101
e(110)=110110110
e(111)=111111111
可以发现一位或两位错误。
海明距离δ(x,y):
Hammingdistance
设x,y∈Bm,δ(x,y)=|xy|
δ(x,y)等于x,y中对应不相等的位置的个数。
例4.求海明距离
x=110110,y=000101
x=001100,y=010110
解.(a)δ(x,y)=4.
(b)δ(x,y)=3.
定理1.设x,y,z∈Bm,则
δ(x,y)=δ(y,x).
δ(x,y)≥0.
δ(x,y)=0iffx=y.
δ(x,y)≤δ(x,z)+δ(z,y)
证明.
(d)|ab|≤|a|+|b|.
δ(x,y)=|x
y|=|xzzy|
≤|xz|+|zy|=δ(x,y)+δ(x,y)
一个编码函数e:
Bm→Bn的最小距离minimundistance:
min{δ(e(x),e(y))|x,y∈Bm}.
例5.e(00)=00000
e(01)=01110
e(10)=00111
e(11)=11111
min{δ(e(x),e(y))}=2.
定理2.一个(m,n)编码e:
Bm→Bn能查出至多k位错误当且仅当最小海明距离≥k+1。
证明.设最小海明距离≥k+1。
发出x=e(b),收到xt,x≠xt,
δ(x,xt)≤k,则xt不是一个编码,查出错误。
反之.设最小海明距离=r≤k。
δ(x,xt)=r,xt可能是另一个编码无法判断错误。
例6.
能查几位错?
群编码Groupcodes
Bm→Bn叫做群编码,如果Ran(e)=e(Bm)={e(b)|b∈Bm}
是Bn的一个子群。
例7.
(1)e(000)=000000000
是群编码。
(2)
e(000)=000000
e(001)=001100
e(010)=010011
e(011)=011111
e(100)=100101
e(101)=101001
e(110)=110110
e(111)=111010
也是群编码。
定理3.设e:
Bm→Bn是一个群编码,则e的最小海明距离等于非零元的最小权。
证明.设δ是e的最小海明距离,η是非零元的最小权。
δ=δ(x,y),η=|z|.δ(x,y)=|xy|≥η。
η=|z|=|z0|=δ(z,0)≥δ。
因此δ=η。
例8.例7
(1)δ=3.
(2)δ=2.
例9.布尔矩阵的加法和乘法:
定理4.布尔矩阵的乘法对加法满足分配律:
设D,E是m×
p布尔矩阵,F是p×
n布尔矩阵,则(DE)*F=(D*F)(E*F).
定理5.设非负整数m<
n,r=m-n,H是n×
r布尔矩阵。
fH:
Bn→Br,fH(x)=x*H.则fH是群Bn到Br内的同态映射。
证明.任意x,y∈Bn,
fH(xy)=(xy)*H=(x*H)(y*H)
=fH(x)fH(y).
推论1.N={x∈Bn|x*H=
}是Bn的正规子群。
令m<
r布尔矩阵
r=n-m行
令eH:
Bm→Bn
eH(b1b2…bm)=b1b2…bmx1x2…xr,
x1=b1h11+b2h21+…+bmhm1,
x2=b1h12+b2h22+…+bmhm2,
xr=b1h1r+b2h2r+…+bmhmr,
定理6.令x=y1y2…ymx1…xr,则x*H=
当且仅当存在b∈Bm,x=eH(b).
证明.设x*H=
y1h11+y2h21+…+ymhm1+x1=0
y1h12+y2h22+…+ymhm2+x2=0
y1h1r+y2h2r+…+ymhmr+xr=0
两边同加xi,
y1h11+y2h21+…+ymhm1+x1+x1=0+x1
y1h11+y2h21+…+ymhm1=x1
y1h12+y2h22+…+ymhm2=x2
y1h1r+y2h2r+…+ymhmr=xr
x=eH(y).
设存在b∈Bm,x=eH(b).
b1h11+b2h21+…+bmhm1+x1=0
b1h12+b2h22+…+bmhm2+x2=0,
b1h1r+b2h2r+…+bmhmr+xr=0
即x*H=
.
推论2.eH(Bm)={eH(b)|b∈Bm}是Bn的子群。
eH是群编码。
证明.eH(Bm)=ker(fH).
例11.m=2,n=5,给出群编码
eH:
B2→B5,
解.eH(00)=00x1x2x3,
x1=x2=x3=0,eH(00)=00000.
eH(01)=01x1x2x3,
x1=0,x2=1,x1=1,
eH(01)=01011
eH(10)=10110,
eH(11)=11101.
δ=3.可查2位。
11.2解码和纠错Decodinganderrorcorrection
例1
设奇偶编码e:
Bm→Bm+1,
令d:
Bm+1→Bm是解码函数,
任意y=y1y2…ymym+1,
d(y)=y1y2…ym.
d(e(b)=b.
d◦e=1Bm.
d可以解码,不能纠错。
设编码e:
Bm→Bn,
Bn→Bm是e的解码函数,
如果传送x=e(b),接收xt,至多k位错,d(xt)=b,就称d为e的k位纠错解码,也称(e,d)k位纠错。
例2
(m,3m)编码,定义解码函数d:
B3m→Bm,对
y=y1y2…ymym+1…y2my2m+1…y3m,
d(y)=z1z2…zm,
zi=1if{zi,zi+m,zi+2m}含有至少2个1.
zi=0if{zi,zi+m,zi+2m}含有少于2个1.
d是1位纠错解码
最大似然解码函数maximumlikelihooddecodingfunction
列出Bm中所有2m个元素:
x
(1),x
(2),……,
如果接收的是xt,找出第一个x(s),使
δ(x(s),xt)=min1≤i≤2m{δ(x(i),xt)}.
取d(xt)=e-1(x(s))=b.
称d为e的最大似然解码函数。
d与列出Bm中2m个元素的次序有关。
定理1.
设e:
Bm→Bn是编码,d:
Bn→Bm是e的最大似然解码函数。
则(e,d)能纠至多k位错当且仅当e的最小距离至少2k+1。
设e的最小距离至少2k+1。
令b∈Bm,x=e(b)∈Bn,如果发送x,接收xt,至多k位错。
δ(x,xt)≤k.
设z是一个编码,z≠x,
2k+1≤δ(x,z)≤δ(x,xt)+δ(xt,z)≤k+δ(xt,z).
δ(xt,z)≥k+1.
于是z不可能是xt的源码,x是唯一的与xt最接近的编码,d(xt)=b.
因此(e,d)k位纠错。
反之,假设最小海明距离r≤2k。
令x=e(b),x’=e(b’),δ(b,b’)=r.
x=b1b2…bn,
x’=b1’b’2…b’n,
不妨设b1≠b’1,b2≠b’2…,br≠b’r
bi=b’i,i>
r.
设r≤k,如果传送x,接收xt=x’,d(xt)=b’,无法纠正这r个错。
设k+1≤r≤2k,
令xt=b1’b’2…b’kbk+1…bn,,
δ(xt,x’)≤r-k≤k,
δ(xt,x)≥k,x’比x更接近x,无法纠错。
例3.
e是如下(3,8)编码,
d是最大似然解码函数。
问(e,d)能纠几位错?
解.e的最小海明距离=3。
3≥2k+1,k≤1。
能纠1位错。
群编码的最大似然解码
定理2.
设H是G的子群,a∈G,则f:
H→aH,f(h)=ah是一一对应。
例§
9.5命题3.
Bm→Bn是群编码,
即N=e(Bm)=