11群和编码离散数学讲义海南大学共十一讲要点Word格式.docx

1、BmBn，称e是（m,n）编码函数。bBm，e（b）Bn叫做b的码词Code worde（b）比b多几位0，1用来查错和纠错。将要发出的word b编码得到x=e（b）,发送后接收到xt，如果没有干扰，xxt，be-1（xt）.如果有干扰，x和xt有k位出错，即有1位到k位错误。x的权（weight）：x含有1的个数，记做|x|.奇偶校验码parity check code：如果bb1b2bm，令e（b）b1b2bm bm+1,bm+1=0, if |b|是偶数，bm+1=1, if |b|是奇数。bm+1=0, 当且仅当 b含有偶数个1。m3e（000）=0000e（001）=0011e（0

2、10）=0101e（011）=0110e（100）=1001e（101）=1010e（110）=1100e（111）=1111对任意b，e（b）的权总是偶数。设b=111，xe（b）=1111.如果接收到有一位错xt1101，xt的权是奇数，发现有错。xt的权是偶数，无法判断有错。例3（m，3m）编码函数：e：BmB3m， bb1b2bm，e（b）b1b2bmb1b2bmb1b2bm.e（000）=000000000e（001）=001001001e（010）=010010010e（011）=011011011e（100）=100100100e（101）=101101101e（110）=110

3、110110e（111）=111111111可以发现一位或两位错误。海明距离（x,y）：Hamming distance设x，yBm，（x,y） =|xy|（x,y）等于x，y中对应不相等的位置的个数。例4求海明距离x=110110, y=000101x=001100, y=010110解. （a）（x,y）=4. （b） （x,y）=3.定理1. 设x,y,zBm，则（x,y） =（y,x）.（x,y）0.（x,y）=0 iff x=y.（x,y）（x,z）（z,y）证明.（d） |ab|a|+|b|.（x,y）=|xy |=|xzzy|xz|+|zy|=（x,y）+（x,y）一个编码函数e

4、：BmBn的最小距离minimun distance： min（e（x）,e（y） | x,yBm.例5 e（00）=00000e（01）=01110e（10）=00111 e（11）=11111min（e（x）,e（y）=2.定理2. 一个（m，n）编码e：BmBn能查出至多k位错误当且仅当最小海明距离k1。证明. 设最小海明距离k1。 发出xe（b）, 收到xt，xxt，（x, xt）k，则xt不是一个编码，查出错误。反之. 设最小海明距离rk。（x, xt）r，xt可能是另一个编码无法判断错误。例6. 能查几位错？群编码Group codesBmBn叫做群编码，如果Ran（e）=e（Bm

5、）=e（b） | bBm 是Bn 的一个子群。例7.（1） e（000）=000000000是群编码。（2）e（000）=000000e（001）=001100e（010）=010011e（011）=011111e（100）=100101e（101）=101001e（110）=110110e（111）=111010也是群编码。定理3. 设e：BmBn是一个群编码，则e的最小海明距离等于非零元的最小权。证明. 设是e的最小海明距离，是非零元的最小权。（x,y）, |z|.（x,y） =|xy|。|z|z0|（z,0）。因此。例8. 例7（1）3. （2）2.例9. 布尔矩阵的加法和乘法：定理4.

6、布尔矩阵的乘法对加法满足分配律：设D，E是mp布尔矩阵，F是pn布尔矩阵，则（DE）*F=（D*F）（E*F）.定理5. 设非负整数mn, r=m-n, H是nr布尔矩阵。fH：BnBr, fH（x）=x*H. 则fH是群Bn到Br内的同态映射。 证明. 任意x，yBn, fH（xy）（xy）*H =（x*H）（y*H）= fH（x） fH（y）.推论1. N=xBn | x*H=是Bn的正规子群。令mr.设rk,如果传送x，接收xtx, d（xt ）=b,无法纠正这r个错。设k1r2k，令xt= b1b2bk bk1bn ,（xt,x）rkk，（xt,x）k，x比x更接近x，无法纠错。例3. e是如下（3，8）编码，d是最大似然解码函数。问（e，d）能纠几位错？解. e的最小海明距离3。32k1，k1。能纠1位错。群编码的最大似然解码定理2. 设H是G的子群，aG，则 f:HaH，f（h）=ah是一一对应。例9.5命题3.BmBn是群编码，即Ne（Bm）