学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)资料下载.pdf

学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)资料下载.pdf

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如，构造三阶具体操作：

一居上行正中央上出框时往下填右出框时往左填排重便在下格填（注意是原数3的下格）注意：

6的右上方经过卷纸筒应该对应的是左下方“4”的位置，已经有数“4”了，7就要在原数6的下方写。

同学们自己试试5阶、7阶：

）56398742156398742156398742121321342156342156374215638742156398742112010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.23、楼梯法（适合奇数阶）3、楼梯法（适合奇数阶）要点：

1、构造楼梯2、数字按顺序斜排3、把幻方外的数字平移进幻方上到下，下到上，左到右，右到左如，构造五阶具体操作：

5410391528142017131925612182411172316222131692215208211427251311924125186114171023在四边都构造楼梯按顺序排好数把幻方外的数字平移进幻方上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就OK啦2010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.34、四阶（对角线法）4、四阶（对角线法）总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。

但因为四阶阶数不大，作为拓展，程老师也给大家补充一下四阶的一种简单构造方法对角线法。

1、按顺序写数2、对角互换（注意有大对角和小对角）12345678910111213141516大对角互换小对角互换小知识：

幻方数量知多少？

小知识：

三阶幻方只有一种基本形式（经过旋转、反射，有8种变形）四阶幻方有880种基本形式五阶幻方有275305224种基本形式！

三、幻方拓展三、幻方拓展如：

三阶幻方基本型（从1-9）每个数都加1仍然是一个幻方，幻和增加了3幻方的基本型可以拓展为更多的幻方！

那么我们记住基本型，遇到很多题就简单多啦！

例2例2请编出一个三阶幻方，使幻和为24。

解析：

基本型三阶幻方幻和是15,幻和增加了24-15=9每个数应增加93=3每个数加3每个数加3先写出基本型OK啦当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？

拓展：

请用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制一个三阶幻方解析：

这是一个等差数列，将它与基本型中的1-9对应好111315171921232527对应123456789162313567891011124141511623135111089761241415149235781651034689274923578167125681011492010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.4abcdefghi对应的数填在对应的位置对应的数填在对应的位置先写出基本型OK啦四、三阶幻方小窍门1、中心数=幻和3四、三阶幻方小窍门1、中心数=幻和3证明：

对于这一个三阶的幻方，我们只看红色的四条线，每条线三个数的和都=幻和四条红线的总和：

4个幻和。

四条红线的总和也是9个数再多加3遍中心数那么就有9个数+3中心数=4个幻和而9个数的总和也是幻方中三行的和，等于3个幻和那么就有3个幻和+3中心数=4个幻和3中心数=1个幻和中心数=幻和3反过来，幻和=中间数3幻和=中间数32、角块等于对角两棱块之和的一半c=（a+b）22、角块等于对角两棱块之和的一半c=（a+b）2证明：

设中心数为d，那么幻和为3d则第一行中间的数为3d-d-a=2d-a第三行最右的数为3d-c-d=2d-c因为c+（2d-a）+=b+（2b-c）+所以c+（2d-a）=b+（2b-c）c-a=b-c2c=a+bc=（a+b）2例3例3在下图的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方492357816172713151923251121cbac2d-adba2d-cA12DB152016C112010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.51234ceadb21234341243212143解析解析：

已知中心数，先求幻和=153=45那么就容易填啦！

同学们自己算算吧。

A=19，B=10，C=18，D=14（提高）学案1（提高）学案1在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90解析：

告诉了幻和，先求中间数=903=30告诉了相邻2个棱块，一定能求对角角块=（23+57）2=40，得到右图接下来就容易了吧？

同学们自己计算吧！

（尖子）学案1（尖子）学案1按要求完成幻方

（1）只求x

（2）如果中间格填入100，请在

（1）的基础上完成所有格的填数。

想想窍门2，95=（x+19）2，那么可算出x=171中间数是100，可求出幻和是300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！

最后答案：

你填对了吗？

五、数独要点：

找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。

例4五、数独要点：

例4在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4。

先看对角线，a处只能填1，b处就只能填3。

以此类推，c填3，d填4，e填4最终填完为235740233057x199512342241711051811001995291762010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.6六、数阵图关键点：

找特殊重叠部分

（一）计算法线和-数和=六、数阵图关键点：

找特殊重叠部分

（一）计算法线和-数和=重叠部分重叠部分重叠部分就是多算的部分多算的部分例：

把17这7个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的3个数的和都等于12。

计算法解析：

计算法线和：

123=36数和：

1234567=28线和-数和：

36-28=8重叠部分是8中间的那个重叠数被计算了3次（3条线），多计算了2次！

多计算了2次！

所以重叠数应该是82=4多算的次数中间数填4，其余6个数两两组合，都应该等于8，故1、7一组，2、6一组,3、5一组。

（二）试算法适用范围：

除开重叠数，每条线还有每条线还有22个数个数的辐射型数阵图重叠数选择：

重叠数选择：

最小、最大、正中间例：

把17这7个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的3个数的和都相等。

除开中间的重叠数，每条线还有2个数。

中间数一定只能选择1,4,7。

中间数选1时，其余的小的找大的，配组为2-7,3-6,4-5中间数选4时，其余的小的找大的，配组为1-7,2-6,3-5中间数选7时，其余的小的找大的，配组为1-6,2-5,3-42010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.7学案2学案2把17这7个数分别填入图中的圆圈内，使得每个圆周和每条直线上的3个数的和都相等。

先不看圆周，那么本题就与上题一样了，那么中间数只能选择1,4,7。

增加了圆周的限制条件，会怎样呢？

只看圆周，除了最中间的数，其余六个数平均分成2个圆，1234567=28，设每个圆之和为k，则有28-中间数=2k28-中间数=2k，那么中间数必须是偶数。

所以只能是4。

剩下的数平分成两个圆，应是1,5,6与2,3,7。

同学们可以先填入一个圆周，再结合每条直线上的配组应是1-7,2-6,3-5，那么得到答案如右上图。

例5例5能否将数0,1,2，9分别填入下图的各个圆中，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？

解析解析：

先找到突破口，同学们都容易想到最中间的那个圆。

在这个题中，它有什么特殊的地方呢？

一是它连接的阴影三角形最多，还有一点，当你把这个圆去掉，发现只有三个独立的阴影三角形了。

设一个阴影三角形的和为k，那么就有0129=45，45-中间数=3k45-中间数=3k，那么中间数必须是3的倍数，只能是0,3,6,9。

我们逐一试验。

当中间数填0时当中间数填0时，每个阴影三角形的和k=453=15，那么a+b+0=c+d+0=e+f+0=15,即a+b=c+d=e+f=15，但1-9中，只有6+9=7+8=15，找不出第3对等于15的，所以中间数不能填0。

同理可分析，中间数也不能填9，具体过程同学们自己试试吧。

中间数只能填3和6。

接下来程老师把中间数填3的过程解析一遍，填6的情况同学们就自己试试啦。

41562370abcdef2010年四年级秋季班第八讲幻方与数阵图程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.8中间数填3中间数填3，每个阴影三角形的和k=（45-3）3=14，那么a+b+3=c+d+3=e+f+3=14,即a+b=c+d=e+f=11，剩下的数中，2+9=4+7=5+6=11，同时，0+99+55=1+66+77=22+44+8=14结合这两个条件，将2,9,4,7,5,6填进去，得到后面的三个数就好填啦！

自己试试吧。

例6例6将1-9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。

想一想，怎样填才能使五个数的和尽可能大？

cba解析解析：

129=45，把每条边的五个数之和设为k，那么三条边之和等于452-（a+b+c）,即90-（a+b+c）=3k。

要使k最大，那么（a+b+c）应该最小，同时还要保证是3的倍数。

取a+b+c=1+2+3=6，于是3k=90-6=84，k=28。

关键是怎么填呢？

发现剩下的6个三角形是两个两个组合在一起的，那么我们把它们合在一起看，易知：

A比C大1，B比A大1，那么C,A,B构成一个公差是1的等差数列。

剩下的数中4+8=12,6+7=13,5+9=14，即满足条件。

当然，还可以5+7=12,4+9=13，6+8=14，给出一种填法如下9576843213295674