学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)资料下载.pdf

1、如，构造三阶具体操作：一居上行正中央 上出框时往下填 右出框时往左填 排重便在下格填（注意是原数 3 的下格）注意：6 的右上方经过卷纸筒应该对应的是左下方“4”的位置，已经有数“4”了，7 就要在原数 6 的下方写。同学们自己试试 5 阶、7 阶：）56398742156398742156398742121321342156342156374215638742156398742112010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.2 3、楼梯法（适合奇数阶）3、楼梯法（适合奇数阶）要点：1、构造楼梯 2、数字按顺序斜排 3、把幻方外的数字平移

2、进幻方上到下，下到上，左到右，右到左 如，构造五阶具体操作：5 4 10 3 9 15 2 8 14 20 1 7 13 19 25 6 12 18 2411 17 2316 22 21 3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23 在四边都构造楼梯按顺序排好数把幻方外的数字平移进幻方上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就 OK 啦2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.3 4、四阶（对角线法）4、四阶（对角线法）总体来说，偶数阶的幻方构造比

3、奇数阶要复杂。但因为四阶阶数不大，作为拓展，程老师也给大家补充一下四阶的一种简单构造方法对角线法。1、按顺序写数 2、对角互换（注意有大对角和小对角）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 大对角互换 小对角互换 小知识：幻方数量知多少？小知识：三阶幻方只有一种基本形式（经过旋转、反射，有 8 种变形）四阶幻方有 880 种基本形式 五阶幻方有 275305224 种基本形式！三、幻方拓展 三、幻方拓展 如：三阶幻方基本型（从 1-9）每个数都加 1 仍然是一个幻方，幻和增加了 3 幻方的基本型可以拓展为更多的幻方！那么我们记住基本型，遇到很多题就简单多啦

4、！例 2 例 2 请编出一个三阶幻方，使幻和为 24。解析：基本型三阶幻方幻和是 15,幻和增加了 24-15=9 每个数应增加 93=3 每个数加 3 每个数加 3 先写出基本型 OK 啦 当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？拓展：请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好 11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9 162313567891011124141511623135111089761241415149235

5、781651034689274923578167125681011492010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.4 abcdefghi 对应的数填在对应的位置 对应的数填在对应的位置 先写出基本型 OK 啦 四、三阶幻方小窍门 1、中心数=幻和3 四、三阶幻方小窍门 1、中心数=幻和3 证明：对于这一个三阶的幻方，我们只看红色的四条线，每条线三个数的和都=幻和 四条红线的总和：4 个幻和。四条红线的总和也是 9 个数再多加 3 遍中心数 那么就有 9 个数+3中心数=4 个幻和 而 9 个数的总和也是幻方中三行的和，等于 3 个幻和 那

6、么就有 3 个幻和+3中心数=4 个幻和 3中心数=1 个幻和 中心数=幻和3 反过来，幻和=中间数3幻和=中间数3 2、角块等于对角两棱块之和的一半 c=（a+b）2 2、角块等于对角两棱块之和的一半 c=（a+b）2 证明：设中心数为 d，那么幻和为 3d 则第一行中间的数为 3d-d-a=2d-a 第三行最右的数为 3d-c-d=2d-c 因为 c+（2d-a）+=b+（2b-c）+所以 c+（2d-a）=b+（2b-c）c-a=b-c 2c=a+b c=（a+b）2 例 3 例 3 在下图的 A、B、C、D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方 4923578161727131519

7、23251121cbac2d-adba2d-cA12DB152016C112010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.5 1234ceadb21234341243212143解析解析：已知中心数，先求幻和=153=45 那么就容易填啦！同学们自己算算吧。A=19，B=10，C=18，D=14 （提高）学案 1 （提高）学案 1 在下图空格中填入 7 个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为 90 解析：告诉了幻和，先求中间数=903=30 告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块=（23+57）2=40，得到右图 接下来就容易了吧？同

8、学们自己计算吧！（尖子）学案 1 （尖子）学案 1 按要求完成幻方 （1）只求 x （2）如果中间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。想想窍门 2，95=（x+19）2，那么可算出 x=171 中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！最后答案：你填对了吗？五、数独 要点：找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。例 4 五、数独 要点：例 4 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是 1,2,3,4。先看对角线，a 处只能填 1，b 处就只能填 3。以此类推，c 填 3，d 填 4，e

9、填 4 最终填完为 235740233057x199512342241711051811001995291762010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.6 六、数阵图 关键点：找特殊重叠部分（一）计算法 线和-数和=六、数阵图 关键点：找特殊重叠部分（一）计算法 线和-数和=重叠部分重叠部分 重叠部分就是多算的部分 多算的部分 例：把 17 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的 3 个数的和都等于 12。计算法 解析：计算法 线和：123=36 数和：1234567=28 线和-数和：36-28=8重叠部分是 8 中间的那

10、个重叠数被计算了 3 次（3 条线），多计算了 2 次！多计算了 2 次！所以重叠数应该是 8 2=4 多算的次数 中间数填 4，其余 6 个数两两组合，都应该等于 8，故 1、7 一组，2、6 一组,3、5 一组。（二）试算法 适用范围：除开重叠数，每条线还有每条线还有 2 2 个数个数的辐射型数阵图 重叠数选择：重叠数选择：最小、最大、正中间 例：把 17 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的 3 个数的和都相等。除开中间的重叠数，每条线还有 2 个数。中间数一定只能选择 1,4,7。中间数选 1 时，其余的小的找大的，配组为 2-7,3-6,4-5 中间数选 4 时，其余的

11、小的找大的，配组为 1-7,2-6,3-5 中间数选 7 时，其余的小的找大的，配组为 1-6,2-5,3-4 2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.7 学案 2 学案 2 把 17 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使得每个圆周和每条直线上的 3 个数的和都相等。先不看圆周，那么本题就与上题一样了，那么中间数只能选择 1,4,7。增加了圆周的限制条件，会怎样呢？只看圆周，除了最中间的数，其余六个数平均分成 2 个圆，1234567=28，设每个圆之和为 k，则有 28-中间数=2k28-中间数=2k，那么中间数必须是偶数。所以只能

12、是 4。剩下的数平分成两个圆，应是 1,5,6 与 2,3,7。同学们可以先填入一个圆周，再结合每条直线上的配组应是 1-7,2-6,3-5，那么得到答案如右上图。例 5 例 5 能否将数 0,1,2，9 分别填入下图的各个圆中，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的数之和相等？解析解析：先找到突破口，同学们都容易想到最中间的那个圆。在这个题中，它有什么特殊的地方呢？一是它连接的阴影三角形最多，还有一点，当你把这个圆去掉，发现只有三个独立的阴影三角形了。设一个阴影三角形的和为 k，那么就有 0129=45，45-中间数=3k45-中间数=3k，那么中间数必须是 3 的倍数，只能是 0,3,6,9。

13、我们逐一试验。当中间数填 0 时当中间数填 0 时，每个阴影三角形的和 k=453=15，那么 a+b+0=c+d+0=e+f+0=15,即 a+b=c+d=e+f=15，但 1-9 中，只有 6+9=7+8=15，找不出第 3 对等于 15 的，所以中间数不能填 0。同理可分析，中间数也不能填 9，具体过程 同学们自己试试吧。中间数只能填 3 和 6。接下来程老师把中间数填 3 的过程解析一遍，填 6 的情况同学们就自己试试啦。41562370abcdef2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪四年级秋季班（七级下）四年级秋季班（七级下）8.8 中间数填 3中间数填 3，每个阴影

14、三角形的和 k=（45-3）3=14，那么 a+b+3=c+d+3=e+f+3=14,即 a+b=c+d=e+f=11，剩下的数中，2+9=4+7=5+6=11，同时，0+9 9+5 5=1+6 6+7 7=2 2+4 4+8=14 结合这两个条件，将 2,9,4,7,5,6 填进去，得到 后面的三个数就好填啦！自己试试吧。例 6例 6 将 1-9 分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的 每 五 个 数 相 加 和 相 等。想 一 想，怎 样 填 才 能 使 五 个 数 的 和 尽 可 能 大？cba 解析解析：129=45，把每条边的五个数之和设为 k，那么三条边之和等于 452-（a+b+c）,即 90-（a+b+c）=3k。要使 k 最大，那么（a+b+c）应该最小，同时还要保证是 3 的倍数。取a+b+c=1+2+3=6，于是 3k=90-6=84，k=28。关键是怎么填呢？发现剩下的 6 个三角形是两个两个组合在一起的，那么我们把它们合在一起看，易知：A 比 C 大 1，B 比 A 大 1，那么 C,A,B 构成一个公差是 1 的等差数列。剩下的数中 4+8=12,6+7=13,5+9=14，即满足条件。当然，还可以 5+7=12,4+9=13，6+8=14，给出一种填法如下 957684321 3295674