全二次函数讲义用二次函数解决问题Word格式文档下载.docx

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审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，

找出等量关系（即函数关系）．

② 

设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

③ 

列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

④ 

按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.

⑤ 

检验所得解是否符合实际：

即是否为所提问题的答案．

⑥ 

写出答案．

注：

常见的问题：

求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、

抛物线的模型问题等.

解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

2、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：

恰当地建立直角坐标系；

将已知条件转化为点的坐标；

合理地设出所求函数关系式；

代入已知条件或点的坐标，求出关系式；

利用关系式求解问题．

（1）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，

利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，

再利用函数的图象及性质去研究问题.

在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

（2） 

对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

首先必须了解二次函数的基本性质；

学会从实际问题中建立二次函数的模型；

借助二次函数的性质来解决实际问题.

【典型例题】

类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值

【例题1】某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，

对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．

调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y1=-3/8x+36，

而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．

（1）试确定b，c的值；

（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；

（不要求指出x的取值范围）

（3）“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?

最大利润是多少?

【答案与解析】

【点评】

在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，

有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，

有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．

类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

【例题2】某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，

现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，

装货后的最大高度应是多少m？

【思路点拨】

因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，

将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．

解：

建立如图平面直角坐标系：

设抛物线的解析式为y=ax2，

由题意得：

点A的坐标为（2，﹣4.4），

∴﹣4.4=4a，

解得：

a=﹣1.1，

∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2，

当x=1.2时，

y=﹣1.1×

1.44=﹣1.584，

∴线段OB的长为1.584米，

∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，

∴装货后的最大高度为2.816米，

故答案为：

2.816米．

利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：

（1）恰当地建立直角坐标系；

（2）将已知条件转化为点的坐标；

（3）合理地设出所求函数关系式；

（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式；

（5）利用关系式求解问题．

类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

【例题3】如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，

当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐，

已知篮筐中心到地面的距离为3.05m，若该运动员身高1.8m，

在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，

问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少?

如图所示，在直角坐标系中，点A（1.5，3.05）表示篮筐，点B（0，3.5）表示球运行的最大高度，

点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，

设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，

由于抛物线开口向下，则点B（0，3.5）为顶点坐标，

∴y=ax2+3.5．

∵抛物线y=ax2+3.5经过点A（1.5，3.05），

∴3.05＝a·

1.52+3.5，

∴a=-1/5.

∴抛物线解析式为y=-1/5x2+3.5．

∴n=-1/5×

（-2.5）2+3.5，

∴n＝2.25．

∴球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-（1.8+0.25）＝0.20（米）．

首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，

然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，

结合已知条件，得到实际问题的解．

类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题

【例题4】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，

下部是一个矩形ABCD．

（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．

①求隧道截面的面积S（m）2关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；

②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（π取3.14，结果精确到0.1米）

①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；

②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．

解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，

再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．