高三导数复习案2Word文件下载.docx

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如果，那么f（x）在这个区间内为常数．

问题探究1：

若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）>

0吗？

f′（x）>

0是否是f（x）在（a，b）内单调递增的充要条件？

2．函数的极值与导数

（1）函数的极小值

函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在x＝a附近其他点的函数值都小，

f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点

a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．

（2）函数的极大值

函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大

，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近，左侧，右侧，则点b

叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值.

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

问题探究2：

若f′（x0）＝0，则x0一定是f（x）的极值点吗？

[做一做]

1．下列函数中，在定义域内为增函数的是（　　）

A．y＝－

　B．y＝x3＋x2＋xC．y＝lg|x|D．y＝x＋

2．若f（x）＝

，e<

a<

b，则（　　）

A．f（a）>

f（b）B．f（a）＝f（b）C．f（a）<

f（b）D．f（a）f（b）>

1

3．若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2]B．（－∞，－1]C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）

4．已知函数y＝

的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，0）和（2，＋∞）C．（1，2）D．R

5．函数f（x）＝ex－x的单调递增区间是________．

6.若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是

单调函数，则实数k的取值范围是________．

理清导数与函数单调性的关系

（1）f′（x）>

0（或<

0）是f（x）在（a，b）内单调递增（或递减）的充分不必要条件；

（2）f′（x）≥0（或≤0）是f（x）在（a，b）内单调递增（或递减）的必要不充分

条件（f′（x）＝0不恒成立）．

注意：

由函数f（x）在区间[a，b]内单调递增（或递减），可得f′（x）≥0

（或≤0）在该区间恒成立，而不是f′（x）>

0）恒成立，“＝”不能少．

1、考点探究

考点一：

利用导数判断或证明函数的单调性

例1：

已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1＋ax）－

.讨论f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性．

对点训练1：

已知函数f（x）＝

，判断函数f（x）的单调性

[规律方法]导数法证明函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤：

（1）求f′（x）；

（2）确认f′（x）在（a，b）内的符号；

（3）作出结论：

0时为增函数；

f′（x）<

0时为减函数.

考点二：

求函数单调区间

1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求　f′（x），令f′（x）＝0，求出它在定义域内的一切实根；

（3）把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；

（4）确定f′（x）在各个开区间内的符号，根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性．

2．证明可导函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤

（1）求f′（x）；

（2）确认f′（x）在（a，b）内的符号；

（3）作出结论：

f′（x）>

0时，f（x）为增函数；

f′（x）<

0时，f（x）为减函数．

特别提醒：

判断函数单调性时，要先明确函数的定义域，然后对函数求导，再解不等式f′（x）>

0和f′（x）<

0.

例2：

1.设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1,f

（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间

2.已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R），求函数f（x）的单调区间

[规律方法]　导数法求函数单调区间的一般步骤：

（2）求导数f′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>

0；

（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．

对点训练2:

1.已知函数f（x）＝ax2－（2＋5a）x＋5lnx（a∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）在x＝3和x＝5处的切线互相平行，求a的值；

（2）求f（x）的单调区间；

2.已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋ax2＋bx，其中函数g（x）的图象在点（1，g

（1））

处的切线平行于x轴．

（1）确定a与b的关系；

（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性．

点评：

（1）含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有

以下几种可能：

①方程f′（x）＝0是否有根；

②若f′（x）＝0有根，求出根后是

否在定义域内；

③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．

（2）本题求解先分a＝0和a>

0两种情况，再比较

和1的大小．

考点3：

利用单调性求参数的范围

已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）＝0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．

0在（a，b）上成立是f（x）在（a，b）上单调递增的充分条件．

例3:

1.已知函数f（x）＝2x2－ax＋lnx在其定义域上不单调，求实数a的取值范围．

2.已知函数f（x）＝x2＋2alnx（a≠0）．

①若函数f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线斜率为2，求实数a的值；

②若函数g（x）＝

＋f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

[规律方法]　根据函数单调性确定参数范围的方法：

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相

应单调区间的子集．

（2）转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′（x）≥0；

若函数

单调递减，则f′（x）≤0”来求解．

对点训练3：

1.设f（x）＝－

x3＋

x2＋2ax.若f（x）在

上存在单调递增区间，求a的取值范围．

2.已知函数f（x）＝exlnx－aex（a∈R）．

①若f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y＝

x＋1垂直，求a的值；

②若f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

强化训练1.

1.设f（x）＝ln（1＋x）－x－ax2.

（1）当x＝1时，f（x）取到极值，求a的值；

（2）当a满足什么条件时，f（x）在区间

有单调递增区

2.已知函数f（x）＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.

（1）当t＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程

（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．

3．已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f

（2））处的切线的倾斜角为45°

，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·

在区间（t，3）内总不是单调函数，求m的取值范围

4.已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

考点4：

求函数极值

运用导数求可导函数　y＝f（x）极值的步骤：

（1）先求函数的定义域，再求函数　y＝f（x）的导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）检查f′（x）在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．

对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

例4：

1.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极大值点有（　　）

A．1个　　　B．2个C．3个D．4个

2.已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1,f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

对点训练4：

1.已知函数f（x）＝

.求f（x）的极大值和极小值分别为_____

2.已知a，b是实数，1和－1是函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

①求a和b的值；

②设函数g（x）的导函数g′（x）＝f（x）＋2，求g（x）的极值点．

3.已知函数f（x）＝ax－lnx，g（x）＝eax＋3x，其中a∈R.

（1）求f（x）的极值；

（2）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．

考点5：

利用极值求参数范围

已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；

反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．

例5：

1.已知x＝3是函数f（x）＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________

2.已知函数f（x）＝xlnx－

x2.

（1）当a＝1时，函数y＝f（x）有几个极值点？

（2）是否存在实数a，使函数f（x）＝xlnx－

x2有两个极值？

若存在，求实数a的取值范围；

若不存在，请说明理由．

对点训练5：

1.已知函数f（x）＝（x2＋ax＋a）

，（a为常数，e为自然对数的底数）．

（1）当a＝0时，求f′

（2）；

（2）若f（x）在x＝0时取得极小值，试确定a的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y＝g（x）是否能与直线3x－2y＋m＝0（m为确定的常数）相切，并说明理由．

2.已知函数

（1）若曲线

轴，求函数

h（x）的单调区间

（2）F（x）